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1、第 14 练高考对于导数几何意义的必会题型 题型一直接求切线或切线斜率问题 例 1已知 f(x)x3f(2 3)x 2x，则 f(x)的图象在点 (2 3 ， f(2 3)处的切线斜率是 _ 破题切入点先对函数求导，将x 2 3 代入求得f(2 3)的值即是 答案1 解析f(x)3x22f(2 3)x1，令 x 2 3， 可得 f(2 3)3( 2 3) 22f(2 3) 2 31， 解得 f(2 3) 1， 所以 f(x)的图象在点 (2 3，f( 2 3)处的切线斜率是 1. 题型二转化为切线问题 例 2设点 P 在曲线 y 1 2e x 上，点 Q 在曲线 yln(2x)上，则 |PQ|
2、的最小值为 () A1ln 2 B.2(1ln 2) C1ln 2 D.2(1ln 2) 破题切入点结合图形，将 |PQ|的最小值转化为函数切线问题 答案B 解析由题意知函数y 1 2e x 与 yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx 对称，两曲线上点 之间的最小距离就是yx 与 y 1 2e x 上点的最小距离的2 倍设 y 1 2e x 上点 (x0，y0)处的切线与 直线 yx 平行则 1 2ex01，x0ln 2，y01， 点(x0，y0)到 yx 的距离为 |ln 21| 2 2 2 (1ln 2)， 则|PQ|的最小值为 2 2 (1ln 2)22(1 ln 2) 题型三综合
3、性问题 例 3(2013 课标全国 )已知函数f(x)e x(axb)x24x，曲线 yf(x)在点 (0，f(0)处的切线 方程为 y4x4. (1)求 a，b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 破题切入点先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于a，b 的方程组，求出a，b 的值；然后确定函数f(x)的解析式，求出其导函数，利用导函数的符号判断函数f(x)的单调性， 进而确定极值 解(1)f(x)ex(axb)aex2x 4 e x(axab)2x4， y f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x 4， f(0)a b44，f(0) b4， a 4，b4.
4、(2)由(1)知 f (x)4e x(x2)2(x2) 2(x 2)(2ex1)， 令 f (x)0 得 x1 2，x2ln 1 2， 列表： x (， 2) 2错误 !ln 1 2 错误 ! f(x)00 f(x)极大值极小值 y f(x)的单调增区间为(， 2)， ln 1 2， ； 单调减区间为2，ln 1 2 . f(x)极大值f(2)44e 2. 总结提高(1)熟练掌握导数的几何意义，审准题目，求出导数，有时需要设切点，然后根据 直线的点斜式形式写出切线方程 (2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转 化为求曲线的切线，找出平行线然后求出最小
5、值 (3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证 1已知直线yx1 与曲线 yln(xa)相切，则a 的值为 () A1 B2 C 1 D 2 答案B 解析设直线 yx1 切曲线 yln( xa)于点 (x0，y0)，则 y01x0，y0ln(x0a)， 又 y 1 x a， y|xx 0 1 x0a1，即 x 0a1. 又 y0ln(x0a)， 从而 y00，x0 1，a2. 2(2014 课标全国 )设曲线 yaxln(x1)在点 (0,0)处的切线方程为y 2x，则 a 等于 () A0 B1 C2 D3 答案D 解析令 f(x) axln(x1)，则 f(x)a 1 x1.由导数的几何意
6、义可得在点 (0,0)处的切线的 斜率为 f(0)a1.又切线方程为y2x，则有 a12，a3. 3(2014 自贡模拟 )曲线 y x x2在点 (1， 1)处的切线方程为 () Ay2x 1 By2x1 Cy 2x3 Dy 2x2 答案A 解析易知点 (1， 1)在曲线上，且y x 2x x2 2 2 x2 2， 所以切线斜率ky|x1 2 12. 由点斜式得切线方程为y12(x 1)，即 y2x1. 4曲线 yxln x 在点 (e， e)处的切线与直线xay1 垂直，则实数a 的值为 () A2 B 2 C.1 2 D 1 2 答案A 解析依题意得y1 ln x，y|xe1ln e2，
7、 所以 1 a2 1， a2，故选 A. 5(2014 大纲全国 )曲线 yxe x1 在点 (1,1)处切线的斜率等于() A2e Be C2 D1 答案C 解析yex 1xex1(x 1)ex1， 故曲线在点 (1,1)处的切线斜率为y |x12. 6已知函数f(x)x 33x，若过点 A(0，16)且与曲线 yf(x)相切的切线方程为y ax16，则 实数 a 的值是 () A 3 B 3 C6 D9 答案D 解析先设切点为M(x0， y0)，则切点在曲线 y0x 3 03x0上， 求导数得到切线的斜率kf(x0)3x 2 03， 又切线过A、 M 两点，所以k y016 x0 ， 则
8、3x2 03 y016 x0 . 联立 可解得 x0 2，y0 2， 从而实数a 的值为 ak 216 2 9. 7(2013 广东 )若曲线 y ax 2ln x 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴，则 a_. 答案 1 2 解析y2ax1 x，所以 y|x 12a10， 所以 a1 2. 8(2013 江西 )若曲线 y x 1( R)在点 (1,2)处的切线经过坐标原点，则 _. 答案2 解析yx 1， y| x1 . 曲线在点 (1,2)处的切线方程为y2 (x1)，将点 (0,0)代入得 2. 9(2014 江西 )若曲线ye x 上点P 处的切线平行于直线2xy10，则点P
9、的坐标是 _ 答案(ln 2,2) 解析设 P(x0，y0)，ye x， y ex， 点 P 处的切线斜率为k ex0 2， x0ln 2，x0 ln 2， y0e ln 2 2， 点 P 的坐标为 (ln 2,2) 10设函数f(x) ax b x，曲线 yf(x)在点 (2，f(2)处的切线方程为 7x4y 120. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值， 并求此定值 (1)解方程 7x4y120 可化为 y 7 4x3. 当 x2 时， y 1 2. 又 f (x)a b x 2， 于是 2ab 2 1
10、 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故 f(x)x 3 x. (2)证明设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1 3 x 2知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为 yy0 1 3 x 2 0 (xx0)， 即 y(x0 3 x0)(1 3 x 2 0)(xx 0) 令 x0 得 y 6 x0， 从而得切线与直线x0 的交点坐标为 (0， 6 x0) 令 yx 得 yx2x0， 从而得切线与直线yx 的交点坐标为(2x0,2x0) 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0， yx 所围成的三角形面积为 1 2 6 x0 |2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线
11、与直线x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6. 11(2014 北京 )已知函数f(x)2x 33x. (1)求 f(x)在区间 2,1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线y f(x)相切，求t 的取值范围； (3)问过点 A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？ (只需写出结论 ) 解(1)由 f(x)2x33x 得 f(x)6x23. 令 f (x)0，得 x 2 2 或 x 2 2 . 因为 f(2) 10，f 2 2 2，f 2 2 2，f(1) 1， 所以 f(x)在区间 2,1上的最大值为f 2 2
12、2. (2)设过点 P(1， t)的直线与曲线yf(x)相切于点 (x0，y0)， 则 y02x3 03x0，且切线斜率为 k6x2 03， 所以切线方程为yy0(6x 2 03)(xx0)， 因此 ty0(6x2 03)(1x0)， 整理得 4x3 06x 2 0t30. 设 g(x)4x36x2t3， 则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切 ”等价于 “g(x)有 3 个不同的零点 ” g(x)12x 212x12x(x 1) 当 x 变化时， g(x)与 g (x)的变化情况如下： x ( ，0)0(0,1)1(1， ) g(x)00 g(x)t3t1 所以， g(0
13、)t3 是 g(x)的极大值， g(1)t1 是 g(x)的极小值 当 g(0)t30，即 t3 时， g(x)在区间 ( ，1和(1， )上分别至多有1 个零点， 所以 g(x)至多有 2 个零点 当 g(1)t10，即 t1 时， g(x)在区间 ( ，0)和0， )上分别至多有1 个零点， 所以 g(x)至多有 2 个零点 当 g(0)0 且 g(1)0， 所以 g(x)分别在区间 1,0)，0,1) 和1,2)上恰有 1 个零点 由于 g(x)在区间 (，0)和 (1， )上单调， 所以 g(x)分别在区间 (，0)和1， )上恰有 1 个零点 综上可知，当过点P(1，t)存在 3 条
14、直线与曲线yf(x)相切时， t 的取值范围是(3， 1) (3)过点 A(1,2)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切； 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线yf(x)相切； 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线y f(x)相切 12(2014 课标全国 )设函数 f(x) ae xln xbe x1 x ，曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为y e(x1) 2. (1)求 a，b； (2)证明： f(x)1. (1)解函数 f(x)的定义域为 (0， )， f(x)ae xln xa xe xb x 2e x1b xe x1 . 由题意可得f(1)2，f(1)e.故 a1，b 2. (2)证明由(1)知， f(x)e xln x2 xe x1， 从而 f(x)1 等价于 xln xxe x2 e. 设函数 g(x) xln x，则 g(x)1ln x. 所以当 x(0， 1 e)时， g(x)0. 故 g(x)在(0， 1 e)上单调递减， 在(1 e， )上单调递增， 从而 g(x)在(0， )上的最小值为g(1 e) 1 e. 设函数 h(x) xe x2 e， 则 h(x)e x(1x) 所以当 x(0,1)时， h(x)0； 当 x(1， )时， h(x)0 时， g(x)h(x)，即 f(x)1.