【考前三个月】高考数学必考题型过关练：第16练(含答案).pdf

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1、第 16 练函数的极值与最值 题型一函数极值与极值点的判断、求解问题 例 1(2013 浙江 )已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k 1,2)，则 ( ) A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值 破题切入点对函数 f(x)求导之后，将k1,2 分别代入讨论 答案C 解析当 k1 时， f(x)e x x1，f(1)0. x 1 不是 f(x)的极值点 当 k2 时， f(x)(x1)(xe xex2) 显然

2、 f(1)0，且 x 在 1 的左边附近f(x)0， f(x)在 x1 处取到极小值故选C. 题型二根据函数的极值来研究函数图象问题 例 2已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c 等于 () A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 破题切入点结合函数的极值点，作出函数大致图象来解决 答案A 解析y3x23， 当 y0 时， x 1. 则当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表： x (， 1) 1(1,1)1(1， ) y y c2c2 当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c 20 或 c20，c 2或 c 2. 题型三函数的极值问题 例

3、3已知函数f(x) mx x 2 n(m，nR)在 x 1 处取得极值2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设函数 g(x)ln x a x，若对任意的 x1R，总存在 x21，e，使得 g(x2)f(x1)7 2，求实数 a 的取值范围 破题切入点(1)对函数进行求导，结合题中条件列出方程组，解出参数的值 (需验证 )，即可得 到函数的解析式 (2)利用导数讨论函数g(x)的最小值，通过求解不等式得出实数a 的取值范围 解(1)f(x)m x 2 n 2mx2 x 2 n2 mx2mn x 2n2 ， 由于 f(x)在 x1 处取得极值2，故 f (1)0，f(1)2， 即 mnm

4、1n 20， m 1 n2， 解得 m4，n1，经检验，此时f(x)在 x1 处取得极值 故 f(x) 4x x 21. (2)由(1)知 f(x)的定义域为R，且 f(x) f(x) 故 f(x)为奇函数， f(0)0. 当 x0 时， f(x)0， f(x) 4 x 1 x 2， 当且仅当x1 时取 “ ” 当 x3 2，不符合题意 综合所述， a 的取值范围为 (，e 题型四函数的最值问题 例 4已知函数f(x) 1 2x 2ln x. (1)求函数 f(x)在区间 1，e上的最大值、最小值； (2)求证：在区间 (1， )上，函数f(x)的图象在函数g(x)2 3x 3 的图象的下方

5、破题切入点(1)f(x)在闭区间 1，e上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处 取得所以首先要研究f(x)在1，e上的单调性 (2)f(x)的图象在函数g(x) 2 3x 3 的图象的下方，即g(x)f(x)在(1， )上恒大于0. (1)解当 x 1，e时， f(x)x 1 x 0， 所以 f(x)在区间 1， e上为增函数 所以当 x1 时， f(x)取得最小值 1 2； 当 xe 时， f(x)取得最大值 1 2e 21. (2)证明设 h(x)g(x)f(x)2 3x 31 2x 2ln x，x(1， )， 则 h(x)2x2x 1 x 2x 3x21 x x1 2x 2x

6、 1 x . 当 x(1， )时， h(x)0，h(x)在区间 (1， )上为增函数，所以h(x)h(1) 1 60. 所以对于x(1， )，g(x)f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方 总结提高(1)准确把握函数极值与最值的概念，极值是函数的局部性质，在所给的区间上极 大值和极小值不一定唯一，且极大值不一定大于极小值，而最值是函数的整体性质，在所给 的区间上最大值一定大于最小值，且最大值和最小值都是唯一的 (2)函数在 x0处取得极值，有 f(x0) 0，而 f(x0)0 不一定有 f(x)在 x0处取得极值 (3)两者之间的联系，求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比

7、较而得出最大值和最 小值 1(2014 课标全国 )函数 f(x)在 xx0处导数存在若 p：f(x0) 0；q：x x0是 f(x)的极值 点，则 () Ap 是 q 的充分必要条件 Bp 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件 Cp 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案C 解析当 f(x0)0 时， xx0不一定是f(x)的极值点， 比如， yx3在 x0 时， f (0)0， 但在 x0 的左右两侧f(x)的符号相同， 因而 x0 不是 yx 3的极值点 由极值的定义知，x x0是 f(x)的极值点必有f(x0)0. 综上知

8、， p 是 q 的必要条件，但不是充分条件 2(2013 辽宁 )设函数 f(x)满足 x 2f (x)2xf(x)e x x ，f(2) e 2 8 ，则 x0 时， f(x)() A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 答案D 解析由 x2f(x)2xf(x) e x x ， 得 f (x)e x2x2f x x 3，令 g(x)e x2x2f(x)，x 0， 则 g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex 2 e x x x2 e x x .令 g(x)0，得 x2. 当 x2 时， g(x)0；当 0x2 时， g (x)0， g(x

9、)在 x2 时有最小值g(2)e 28f(2)0， 从而当 x0 时， f(x)0， 则 f(x)在(0， )上是增函数， 函数 f(x)无极大值，也无极小值 3(2014 江西 )在同一直角坐标系中，函数yax 2 xa 2与 ya 2x32ax2xa(a R)的图象 不可能 的是 ( ) 答案B 解析分两种情况讨论 当 a0 时，函数为y x 与 yx，图象为D，故 D 有可能 当 a0 时，函数 yax2x a 2的对称轴为 x 1 2a，对函数 ya 2x32ax2xa，求导得 y 3a 2x24ax1(3ax1)(ax 1)，令 y0，则 x 1 1 3a， x2 1 a.所以对称轴

10、 x 1 2a介于两个极 值点 x1 1 3a， x2 1 a之间， A、C 满足， B 不满足，所以 B 是不可能的故选B. 4设变量 a，b 满足约束条件 ba， a3b4， a 2. z|a3b|的最大值为m，则函数 f(x) 1 3x 3m 16x 2 2x2 的极小值等于() A 4 3 B 1 6 C2 D. 19 6 答案A 解析据线性规划可得(a3b)min 8， (a3b)max 2， 故 2|a3b|8，即 m 8， 此时 f(x)x2x2(x2) (x1)， 可得当 x1 时 f(x)0， 当 10， 故当 x2 时函数取得极小值， 即 f(x)极小值f(2) 4 3.

11、5已知函数f(x)x 32bx2cx1 有两个极值点 x1，x2，且 x1 2，1，x21,2 ，则 f( 1)的取值范围是() A3 2，3 B3 2，6 C3,12 D3 2，12 答案C 解析方法一由于 f(x)3x24bxc， 据题意方程3x24bxc0 有两个根x1， x2， 且 x12， 1，x21,2， 令 g(x)3x24bx c， 结合二次函数图象可得只需 g 2 128bc0， g 1 34bc0， g 1 34b c0， g 2 128bc0， 此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2b c，问题转化为在上 述线性约束条件下确定目标函数f(1)

12、2bc 的最值问题，由线性规划易知3f(1)12， 故选 C. 方法二方程 3x2 4bxc0 有两个根x1，x2，且 x12， 1，x21,2的条件也可以通 过二分法处理，即只需g( 2)g(1)0，g(2)g(1)0 即可，利用同样的方法也可解答 6设函数 yf(x)在(0， )内有定义， 对于给定的正数K，定义函数fK(x) f x ，f x K， K，f x K， 若函数 f(x) ln x1 e x，且恒有fK(x)f(x)，则 () AK 的最大值为 1 e BK 的最小值为 1 e CK 的最大值为2 DK 的最小值为2 答案B 解析由于 f(x)ln x1 e x ， 所以 f

13、(x) 1 x ln x1 e x ， 令 g(x) 1 xln x1， 则 g(x) x 21 x0，此时 f(x)0， 当 x(1， )时， g(x)2 或 a0， 解得 a2 或 a0 时， (xk)f(x)x10，求 k 的最大值 解(1)f(x)的定义域为 (， )，f(x)exa. 若 a0，则 f (x)0， 所以 f(x)在( ， )上单调递增 若 a0，则当 x(，ln a)时， f(x)0. 所以， f(x)在( ，ln a)上单调递减，在(ln a， )上单调递增 (2)由于 a1 时， (x k)f(x)x1(xk)(e x1)x1. 故当 x0 时， (xk)f(x)

14、x10 等价于 k0) 令 g(x) x1 e x1x， 则 g(x) xe x1 e x121 e x e xx2 e x12. 由(1)知，函数h(x)exx2 在(0， )上单调递增， 又 h(1)e30. 所以 h(x)在(0， )上存在唯一零点 故 g(x)在(0， )上存在唯一零点 设此零点为 ，则 (1,2) 当 x(0， )时， g(x)0， 所以 g(x)在(0， )上的最小值为g( ) 又由 g( ) 0，得 e 2， 所以 g( ) 1(2,3) 由于 式等价于k0，函数 f(x)ln(1ax) 2x x2. (1)讨论 f(x)在区间 (0， )上的单调性； (2)若

15、f(x)存在两个极值点x1，x2，且 f(x1)f(x2)0，求 a 的取值范围 解(1)f(x) a 1ax 2 x2 2x x2 2 ax 24 a1 1ax x 2 2.(*) 当 a1 时， f (x)0. 此时 f(x)在区间 (0， )上单调递增 当 00. 故 f(x)在区间 (0，x1)上单调递减，在区间 (x1， )上单调递增 综上所述，当a1 时， f(x)在区间 (0， )上单调递增； 当 0 1 a且 x 2， 所以 2 1a a 1 a， 2 1a a 2， 解得 a1 2. 此时，由 (*) 式易知， x1，x2分别是 f(x)的极小值点和极大值点 而 f(x1)f

16、(x2) ln(1ax1) 2x1 x12ln(1 ax 2) 2x2 x22 ln1a(x1x2)a2x1x2 4x1x2 4 x1x2 x1x2 2 x1 x24 ln(2a1)2 4 a 1 2a 1 ln(2a1)2 2 2a12. 令 2a1x，由 0g(1)0. 故当 1 20. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为 (1 2，1) 12(2014 山东 )设函数 f(x) e x x 2k(2 xln x)(k 为常数， e2.718 28是自然对数的底数 ) (1)当 k0 时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围 解

17、(1)函数 y f(x)的定义域为 (0， ) f(x)x 2 e x 2xex x 4 k( 2 x 2 1 x) xe x2ex x 3 k x 2 x 2 x2 e xkx x 3 . 由 k0 可得 e xkx0， 所以当 x(0,2)时， f(x)0，函数 yf(x)单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2， ) (2)由(1)知， k 0 时，函数f(x)在(0,2)内单调递减， 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点； 当 k0 时，设函数g(x)exkx，x0， ) 因为 g(x) e xkexeln k， 当 00，yg(x)单调递增 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点 当 k1 时， 当 x(0，ln k)时， g(x)0，函数 yg(x)单调递增 所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k) 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当 g 0 0， g ln k 0， 0ln k2. 解得 eke 2 2 . 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为 (e， e 2 2 )