【考前三个月】高考数学必考题型过关练：第21练(含答案).pdf

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1、第 21 练解三角形问题 题型一活用正、余弦定理求解三角形问题 例 1(1)(2013 辽宁 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c.若 asin Bcos Ccsin Bcos A 1 2b，且 ab，则 B 等于 ( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D. 5 6 (2)在 ABC 中， acos Abcos B，则 ABC 的形状为 _ 破题切入点(1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行 化简，可求得sin B 的值，再结合ab 的条件即可判断得出结果 (2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理

2、将条件化为 角的形式，再转化判断即可 答案(1)A(2)等腰三角形或直角三角形 解析(1)由条件得 a bsin Bcos C c bsin Bcos A 1 2， 依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A 1 2， sin(AC)1 2 ，从而 sin B 1 2， 又 ab，且 B(0， )，因此 B 6. (2)方法一因为 acos Abcos B， 所以由余弦定理，得a b 2c2a2 2bc b a 2c2b2 2ac ， 即 a2(b2 c2 a2)b2(a2 c 2b2 )， 所以 (a 2 b2 c2)(a2b2)0. 所以 a2b2 c 2 或 ab. 所以 A

3、BC 为等腰三角形或直角三角形 方法二因为 acos Abcos B， 由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B， 所以 sin 2Asin 2B. 又 A，B 为ABC 的内角， 所以 2A2B 或 2A2B ， 即 AB 或 AB 2. 所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 题型二正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧 例 2(2013 江苏 )如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙 两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min. 在甲出发

4、2 min 后，乙从A 乘缆 车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min ，山路 AC 长为 1 260 m，经测量 cos A 12 13，cos C 3 5. (1)求索道 AB 的长； (2)问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 破题切入点(1)在ABC 中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形 内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB 的长； (2)设出在乙出发t min 后甲、乙距离最短

5、时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果； (3)在ABC 中，利用正弦定理求得BC 的长，再分别计算出甲、乙到达C 点的时间，然后由 甲、乙在C 处相互等待不超过3 min 为条件列出不等式计算即可求得 解(1)在 ABC 中，因为cos A12 13，cos C 3 5， 所以 sin A 5 13，sin C 4 5. 从而 sin Bsin (AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65. 由正弦定理 AB sin C AC sin B，得 AB AC sin Bsin C 1 260 63 65 4 51 040(

6、m) 所以索道AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A 处 130t m， 所以由余弦定理得 d 2(10050t)2(130t)22130t(10050t)12 13 200(37t270t 50)， 由于 0t1 040 130 ，即 0t8， 故当 t 35 37(min)时，甲、乙两游客距离最短 (3)由正弦定理 BC sin A AC sin B， 得 BC AC sin Bsin A 1 260 63 65 5 13 500(m) 乙从 B 出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走71

7、0 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得3 500 v 710 50 3，解得 1 250 43 v 625 14 ， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在 1 250 43 ， 625 14 (单位： m/min) 范围内 题型三解三角形中相关交汇性问题 例 3已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，向量 m(sin B,1cos B)与 向量 n(2,0)的夹角 的余弦值为 1 2. (1)求角 B 的大小； (2)若 b3，求 ac 的范围 破题切入点(1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三

8、角函数关系式及二倍角 公式进行恒等变形即可解决问题； (2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin Asin C 化为 sin(A 3)，并求出 sin(A 3)的取值范 围，再根据正弦定理，求出 ac 的范围， 也可以利用余弦定理结合基本不等式求出ac 的范 围 解(1)因为 m(sin B,1cos B)，n(2,0)， 所以 m n2sin B. 又|m|sin2B 1cos B 2 sin2Bcos2B2cos B1 2 1cos B 4sin 2B 2 2|sin B 2|， 因为 00，因为 |m|2sin B 2. 而|n|2， 所以 cos m n |m| |n| 2sin B

9、4sin B 2 4sin B 2 cos B 2 4sin B 2 cos B 2 ， 即 cos B 2 1 2. 由 0b3，所以3ac2， 即 ac(3， 2 总结提高(1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断一般地， 斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在 解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的 范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象 (2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有 关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根

10、据题意画出其示意图，示意图起着关 键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等 有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答 1(2013 陕西 )设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 bcos C ccos Basin A， 则 ABC 的形状为 () A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D不确定 答案B 解析由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos C sin Ccos Bsin 2A，即 sin(BC) sin2A，所 以 sin A1，由 0A ，得 A 2，所以 ABC

11、为直角三角形 2(2014 课标全国 )钝角三角形ABC 的面积是 1 2，AB1，BC 2，则 AC 等于 () A5 B.5 C2 D1 答案B 解析S 1 2AB BCsin B 1 21 2sin B1 2， sin B 2 2 ，B 4 或3 4 . 当 B 3 4 时，根据余弦定理有AC2 AB2 BC2 2AB BCcos B1225，AC5，此时 ABC 为钝角三角形，符合题意； 当 B 4时，根据余弦定理有 AC2AB2BC22AB BCcos B 1221， AC1，此时 AB 2AC2BC2，ABC 为直角三角形，不符合题意故 AC5. 3(2014 江西 )在 ABC

12、中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若 c 2(ab)2 6，C 3， 则 ABC 的面积是 () A3 B.9 3 2 C.3 3 2 D3 3 答案C 解析c2(ab)26，c2a2b22ab6. C 3， c 2a2b22abcos 3 a 2 b2ab. 由 得 ab6 0，即 ab6. SABC 1 2absin C 1 26 3 2 33 2 . 4在 ABC 中， ABC 4，AB 2，BC3，则 sinBAC 等于 () A. 10 10 B. 10 5 C.3 10 10 D. 5 5 答案C 解析设 CD 为 AB 边上的高，则由题设知BDCD 3 2 2 ，

13、AD 3 2 2 2 2 2 ， AC 9 2 1 2 5， sinBACsin( BAC) 3 2 2 5 3 10 10 . 5若 ABC 的内角 A、B、C 所对的边a、 b、c 满足 (a b) 2c24，且 C60 ，则 ab 的值 为() A. 4 3 B843 C1 D.2 3 答案A 解析a2b2 2abc24，cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 4 2ab 2ab 1 2，ab 4 3. 6在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 C2A，cos A 3 4，b5，则 ABC 的面积为 () A. 157 4 B. 157 2 C.5 7 4 D

14、.5 7 2 答案A 解析cos A 3 4，cos C2cos 2A11 8， sin C 37 8 ，tan C3 7， 如图，设AD3x， AB4x，CD53x，BD7x. 在 RtDBC 中， tan C BD CD 7x 53x 3 7， 解之得： BD7x 3 7 2 ，SABC 1 2BD AC 157 4 . 7在 ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，C 3，c 3，则 a23cos A sin B 的值为 _ 答案4 解析由正弦定理，得 a sin A c sin C? a2sin A. 所以 a2 3cos A sin B 2sin A23cos A si

15、n B 4sin A 3 sin B 4. 8在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 b2， B 3且 sin 2Asin(A C)sin B，则 ABC 的面积为 _ 答案3 解析sin 2Asin Bsin(AC)， 2sin Acos Asin(AC)sin(AC)， 2sin Acos A2cos Asin C. ABC 是锐角三角形，cos A0， sin Asin C，即 ACB 3， SABC 1 222 3 2 3. 9设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 A 3，a 3，则 b2c2的取值范 围为 _ 答案(3,6 解析由正弦

16、定理，得 a sin A b sin B c sin C2， b2sin B， c2sin C， 所以 b2c2 4(sin2Bsin2C) 2(1 cos 2B1 cos 2C) 4 2cos 2B2cos 2(2 3 B) 43sin 2Bcos 2B 4 2sin(2B 6) 又 0B2 3 ， 所以 62B 6 7 6 . 所以 12sin(2 B 6)2. 所以 3b 2 c26. 10(2014 课标全国 )已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角A，B，C 的对边， a2，且 (2 b)(sin Asin B)(cb)sin C，则 ABC 面积的最大值为_ 答案3 解析 a

17、sin A b sin B c sin C2R，a2， 又(2b)(sin Asin B) (cb)sin C 可化为 (ab)(ab)(cb) c， a 2b2c2bc， b2c2a2bc. b 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2cos A，A60 . ABC 中， 4 a 2b2c22bc cos 60 b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc 时取 “”)， SABC 1 2 bc sin A 1 24 3 2 3. 11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东 60 方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时13 海里的速度向正西方向的C

18、地行驶，企图抓 捕正在 C 地捕鱼的中国渔民此时，C 地位于中国海监船的南偏东45 方向的 10 海里处，中 国海监船以每小时30 海里的距离赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(21.41，3 1.73，6 2.45) 解如图，过点A 作 ADBC，交 BC 的延长线于点D. 因为 CAD 45 ，AC10 海里， 所以 ACD 是等腰直角三角形 所以 ADCD 2 2 AC 2 2 10 5 2(海里 ) 在 RtABD 中，因为 DAB60 ， 所以 BDADtan 60 5235 6(海里 ) 所以 BCBD CD(565 2)海里 因为中国海监船以每小时30 海里的速度航行， 某

19、国军舰正以每小时13 海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间 t1 AC 30 10 30 1 3(小时 )， 某国军舰到达C 点所用的时间t2 BC 13 562 13 5 2.451.41 13 0.4(小时 ) 因为 1 30.4， 所以中国海监船能及时赶到 12在 ABC 中，角 A 为锐角，记角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设向量m (cos A， sin A)， n(cos A， sin A)，且 m 与 n的夹角为 3. (1)求 m n 的值及角 A 的大小； (2)若 a7，c3，求 ABC 的面积 S. 解(1)因为 |m|cos2Asin2A1， |n|cos 2A sin A21， 所以 m n|m| |n| cos 3 1 2. 因为 m ncos2Asin 2Acos 2A， 所以 cos 2A 1 2. 因为 0A 2， 02A ， 所以 2A 3， A 6. (2)因为 a7，c3，A 6， 及 a2b2c22bccos A， 所以 7b233b， 即 b 23b40， 解得 b 1(舍去 )或 b4. 所以 S1 2bcsin A 1 24 3sin 6 3.