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1、第 7 练基本初等函数问题 题型一指数函数的图象和性质 例 1已知函数f(x)2|2x m|(m 为常数 )，若 f(x)在区间 2， )上是增函数，则 m 的取值范围 是_ 破题切入点判断函数t|2xm|的单调区间，结合函数y2t的单调性，得m 的不等式，求 解即可 答案(， 4 解析令 t|2x m|， 则 t|2x m|在区间 m 2 ， )上单调递增， 在区间 (， m 2上单调递减而 y2 t 为 R 上的增函数， 所以要使函数f(x)2|2x m|在2， )上单调递增， 则有m 2 2， 即 m4， 所以 m 的取值范围是(，4故填 (，4 题型二对数函数的图象和性质 例 2函数
2、y2log4(1x)的图象大致是 ( ) 破题切入点求出函数y2log4(1x)的定义域并判断函数的单调性，即可得出结论 答案C 解析函数 y2log4(1x)的定义域为 (，1)，排除 A、B；又函数 y2log4(1x)在定义域 内单调递减，排除D.选 C. 题型三幂函数的图象和性质 例 3已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为 2，且当 10 且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有 () A00 Ba1 且 b0 C01 且 b1 时，不论上下怎样平 移，图象必过第一象限 y a x b1 的图象经过第二、三、四象限， 只可能 01， 解得 bbaBbca CacbDabc 答
3、案D 解析因为alog361log321 1 log23，blog5101log521 1 log25， clog 714 1 log721 1 log27，显然 abc. 3 (2014 福建 )若函数 ylogax(a0， 且 a1)的图象如图所示， 则下列函数图象正确的是() 答案B 解析由题意 ylogax(a0，且 a1)的图象过 (3,1)点，可解得 a3.选项 A 中， y3 x(1 3) x， 显然图象错误；选项B 中， y x 3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中， y(x) 3 x3，显 然与所画图象不符；选项D 中， ylog3(x)的图象与 y log3x 的图象关于
4、y 轴对称显然不 符故选B. 4设 a0，b0() A若 2 a2a2b3b，则 ab B若 2 a2a 2b 3b，则 ab D若 2 a2a2b3b，则 a0 时有 2 x2xb. 5“ lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y 2xz 成立”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析由 lg x，lg y，lg z 成等差数列，可以得出2lg ylg xlg z，根据对数函数的基本运算可 得， y 2xz，但反之，若 y 2xz，并不能保证 x，y，z 均为正数，所以不能得出lg x，lg y，lg z 成等差数列故选A. 6已
5、知 x，y 为正实数，则 () A2 lg xlg y2lg x2lg y B2 lg(xy) 2 lg x 2lg y C2 lg x lg y2lg x2lg y D2 lg(xy)2lg x 2lg y 答案D 解析2 lg(xy) 2 lg xlg y2lg x 2lg y. 7已知 01 . 首先作出函数y 1 2 1x， x1 1 2 x1， x1 的图象，如图所示 由图象可知要使函数y 1 2 1xm，x1 1 2 x1m，x1 的图象与x 轴有公共点，则m1,0) 9已知函数f(x) 1 5 xlog 3x，若实数 x0是方程 f(x)0 的解，且 00 解析当 x0 时， f
6、(x)(1 5) x log 3x 是减函数， 又 x0是方程 f(x)0 的根，即 f(x0) 0. 当 0f(x0)0. 10(2014 乐山模拟 )定义两个实数间的一种新运算“*”： x* yln(e xey)，x，yR.当 x*xy 时， x * y.对任意实数a，b，c，给出如下命题： a*bb* a； (a*b) c(ac)*( bc)； (a*b) c(ac)*( bc)； (a*b)* c a*(b*c)； * a*b ab 2 . 其中正确的命题有_(写出所有正确的命题序号) 答案 解析因为 a*b ln(e aeb)，b* aln(eb ea)， 所以 a*bb*a，即 对
7、； 因为 (a* b)cln(e aeb)cln(eaeb)ec ln(ea cebc) (ac)*( bc)，所以 对； 只需令 中的 c 为 c，即有结论 (a* b)c (ac)*( bc)，所以 对； 因为 (a* b)* cln(e aeb)* clneln(eaeb)ec ln(eaebe c)， a*( b*c)a*ln(e bec)lneaeln(ebec) ln(eaebe c)， 所以 (a* b)* ca*( b*c)，即 对； 设 * a*bx，则 x* xa*b， 所以 ln(ex e x)ln(eaeb)， 所以 2exeaeb， 所以 xln e a eb 2 ，
8、即 * a* b ln e aeb 2 ln 2e a eb 2 ab 2 ，故 对 故正确的命题是 . 11设函数f(x)ax 2bxb1(a0) (1)当 a1，b 2 时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意bR，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围 解(1)当 a1，b 2 时， f(x)x22x3， 令 f(x)0，得 x3 或 x 1. 所以，函数f(x)的零点为3 和 1. (2)依题意，方程ax 2bxb1 0 有两个不同实根 所以， b24a(b 1)0 恒成立， 即对于任意b R， b 2 4ab4a0 恒成立， 所以有 (4a)24(4a)0)，n 为正
9、整数， a，b 为常数曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切 线方程为xy1. (1)求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的最大值 解(1)因为 f(1)b，由点 (1，b)在 xy1 上， 可得 1b1，即 b0. 因为 f(x)anx n1a(n1)xn，所以 f(1) a. 又因为切线xy1 的斜率为 1， 所以 a 1，即 a1.故 a1，b0. (2)由(1)知， f(x) x n(1 x) xnxn1， f(x)(n1)x n1 n n1 x . 令 f (x)0，解得 x n n1 ， 在 0， n n1 上， f(x)0， 故 f(x)单调递增； 而在 n n1， 上， f (x)0， 故 f(x)单调递减 故 f(x)在(0， )上的最大值为 f n n1 n n1 n 1 n n 1 n n n1 n1.