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1、第 5 练如何用好基本不等式 题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题 例 1(1)设正实数x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当 z xy取得最小值时， x2yz 的最大 值为 () A0 B.9 8 C2 D.9 4 (2)函数 y x 1 x3x1 的最大值为 _ 破题切入点(1)利用基本不等式确定 z xy取得最小值时 x，y，z 之间的关系，进而可求得x2y z 的最大值 (2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值 答案(1)C(2) 1 5 解析(1) z xy x 23xy4y2 xy x y 4y x 32 x y 4y x 31， 当且仅当x2y
2、 时等号成立， 因此 z4y 26y24y22y2， 所以 x2yz4y2y2 2(y1)22 2.故选 C. (2)令 tx 1 0，则 xt 2 1， 所以 y t t 21 3t t t 2t4. 当 t 0，即 x1 时， y0； 当 t0，即 x1 时， y 1 t 4 t 1 ， 因为 t 4 t 2 44(当且仅当t2 时取等号 )， 所以 y 1 t4 t 1 1 5， 即 y 的最大值为 1 5(当 t 2，即 x5 时 y 取得最大值 ) 题型二利用基本不等式求最值的综合性问题 例 2如图所示，在直角坐标系xOy 中，点 P(1，1 2)到抛物线 C：y 22px(p0)的
3、准线的距离为 5 4.点 M(t,1)是 C 上的定点， A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 的中点 Q(m，n)在直线 OM 上 (1)求曲线 C 的方程及t 的值； (2)记 d |AB| 14m 2，求 d 的最大值 破题切入点(1)依条件，构建关于p，t 的方程； (2)建立直线AB 的斜率 k 与线段 AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性 质或基本不等式求d 的最大值 解(1)y22px(p0)的准线 x p 2， 1 (p 2) 5 4，p 1 2， 抛物线 C 的方程为y2 x. 又点 M(t,1)在曲线 C 上， t1. (2)由(1)知，点 M(1
4、,1)，从而 nm，即点 Q(m，m)， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线 AB 的斜率为k(k 0) 且 A(x1，y1)，B(x2.y2)， 由 y 2 1x1， y 2 2x2， 得(y1y2)(y1 y2)x1x2， 故 k 2m 1， 所以直线AB 的方程为ym 1 2m(xm)， 即 x2my2m 2m0. 由 x2my2m 2m0， y 2x 消去 x， 整理得 y2 2my2m2 m 0， 所以 4m4m 20，y 1y22m， y1y22m 2m. 从而 |AB|1 1 k 2 |y1y2| 14m2 4m4m2 214m2 mm 2 d |AB| 14m 2
5、2 m 1 m m(1m)1， 当且仅当m1m，即 m 1 2时，上式等号成立 又 m 1 2满足 4m4m 20， d 的最大值为1. 总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时， 注意观察其是否具有“和 为定值 ”或“ 积为定值 ”的结构特点在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用， 而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值 (2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”， 所谓 “一正 ” 是指正数， “二定 ”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等 ”是指满足等 号成立的条件若连续使用
6、基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最 值就取不到 1小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(a a 2a2 ab 0， va. 2若函数f(x)x 1 x2 (x2)在 xa 处取最小值，则a 等于 () A12 B 13 C3 D 4 答案C 解析x2，f(x)x 1 x2x2 1 x22 2x2 1 x224， 当且仅当x2 1 x2，即 x3 时等号成立，即 a3，f(x)min4. 3设 a0，b0，若3是 3 a 与 3b的等比中项，则 1 a 1 b的最小值为 ( ) A8 B4 C1 D.1 4 答案B 解析因为 3a 3b3，所以 ab1. 1 a 1
7、b(ab) 1 a 1 b 2b a a b 2 2 b a a b4，当且仅当 b a a b， 即 ab 1 2时等号成立 4已知 ma 1 a 2(a2)，nx 2(x1 2)，则 m 与 n 之间的大小关系为 () AmnCmnD m n 答案C 解析ma 1 a 2(a2) 1 a224(a2)， 当且仅当a3 时，等号成立由x1 2得 x 21 4， n x 21 x 24 即 n(0,4，mn. 5已知正数x，y 满足 x2 2xy (xy)恒成立，则实数 的最小值为 () A1 B2 C3 D4 答案B 解析x0，y0， x 2y22xy(当且仅当x2y 时取等号 ) 又由 x
8、22xy (xy)可得 x22xy xy ， 而 x 2 2xy xy x x2y xy 2， 当且仅当x2y 时， x22xy x y max2. 的最小值为2. 6已知 a0，b0，若不等式 m 3ab 3 a 1 b0 恒成立，则 m 的最大值为 () A4 B16 C 9 D3 答案B 解析因为 a0，b0，所以由 m 3ab 3 a 1 b 0 恒成立得 m( 3 a 1 b)(3ab)10 3b a 3a b 恒成 立 因为 3b a 3a b 2 3b a 3a b 6， 当且仅当ab 时等号成立，所以10 3b a 3a b 16， 所以 m16，即 m 的最大值为16，故选
9、B. 7若正实数x，y 满足 2x y6xy，则 xy 的最小值是 _ 答案18 解析x0，y0,2xy6xy， 2 2xy6 xy，即 xy22xy60， 解得 xy18.xy 的最小值是18. 8已知 a0，b0，函数 f(x)x 2(aba 4b)xab 是偶函数，则 f(x)的图象与y 轴交点纵坐 标的最小值为_ 答案16 解析根据函数f(x)是偶函数可得aba4b0，函数f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为ab. 由 aba4b 0，得 aba4b4 ab，解得 ab16(当且仅当a 8，b2 时等号成立 )，即 f(x)的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16. 9若对任意x0， x
10、 x 23x1a 恒成立，则a 的取值范围是 _ 答案 1 5 ， 解析a x x 23x1 1 x 1 x3 对任意 x0 恒成立，设 ux1 x 3， 只需 a 1 u恒成立即可 x0，u 5(当且仅当 x1 时取等号 ) 由 u5 知 0 1)的最小值 解(1)y2x5x2x(25x) 1 5 5x (2 5x) 00， 5x(25x)(5x25x 2 ) 21， y 1 5，当且仅当 5x25x，即 x 1 5时， ymax 1 5. (2)设 x1t，则 xt1(t0)， y t1 27 t1 10 t t 4 t 52 t 4 t 59. 当且仅当t4 t ，即 t2，且此时x1
11、时，取等号， ymin9. 11如图，建立平面直角坐标系xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 千 米，某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx 1 20(1k 2)x2 (k0)表示的曲线上， 其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小 )，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过 多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 解(1)令 y 0，得 kx 1 20(1k 2)x20， 由实际意义和题设条件知x0，又 k0， 故 x 20k 1k 2 20 k 1 k 20 2 10，
12、 当且仅当k1 时取等号 所以炮的最大射程为10 千米 (2)因为 a0，所以炮弹可击中目标? 存在 k0， 使 3.2ka 1 20(1k 2)a2 成立 ? 关于 k 的方程 a2k220aka2640 有正根 ? 判别式 (20a)2 4a2(a2 64)0? 0a6. 所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标 12为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会首批计划用100 万元购得 一块土地， 该土地可以建造每层1 000 平方米的楼房， 楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有 关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20 元已知建筑第5 层楼房时，每平方 米建筑费用为8
13、00 元 (1)若建筑第x 层楼时， 该楼房综合费用为y 万元 (综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出 yf(x)的表达式； (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每 平方米多少元？ 解(1)由题意知建筑第1 层楼房每平方米建筑费用为720 元， 建筑第 1 层楼房建筑费用为7201 000720 000(元 )72(万元 )， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高 201 00020 000(元)2(万元 )， 建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为 yf(x)72x x x 1 2 2100x 271x100， 综上可知yf(x)x271x100(x 1，xZ) (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)， 则 g(x) f x 10 000 1 000x 10f x x 10 x 271x100 x 10x1 000 x 7102 10x 1 000 x 710910. 当且仅当10x 1 000 x ， 即 x10 时等号成立 综上，可知应把楼层建成10 层，此时平均综合费用最低，为每平方米910 元