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1、第三章不等式 31不等关系与不等式 31.1不等关系与不等式的性质 1平时我们写作文时，要求不能少于800 字，若用m 表示我们的写作字数，则该关系 我们可以用不等式表示为() Am800Bm 800 Cm800Dm800 2已知 ab，cd，且 c，d 不为 0，那么下列不等式成立的是() AacbdBacbc CacbdDadbc 3设 xaxa 2 Cx 2a 2ax 4如果 a0，那么下列不等式正确的是() A. 1 a|b| 5已知 a， b，cR，且 ab，则下列等式中一定成立的是() AacbcBa 2b0 D(ab)c 20 6若 10，则下列各式中正确的是() AmnBmn
2、Cmn0 DmNBM2a；a2 b2 2(ab1)；a2b2ab.其中恒成立的个数是 () A0 个B 1 个 C2 个D 3 个 4(2013 年新课标 )设 a log32，blog52，clog23，则 () AacbBbca CcbaD cab 53 5与 53 的大小关系为() A3 553 B3 50，且 a1，比较 loga(a 31)与 log a(a 21)的大小 3.2一元二次不等式及其解法 32.1一元二次不等式及其解法 1不等式 x2 x10 的解集是 ( ) A(， 1)(1,2 B1,2 C(， 1) 2， ) D(1,2 2下列不等式的解集与不等式x 2x60 的
3、解集相同的是 () Ax 2 2x30 B(x2)(x3)0 D 2x 22x120 的解集是 ( ) A. 1 2，1 B(1， ) C(， 1)(2， ) D. ， 1 2 (1， ) 4下列四个不等式解集为R 的是 () A x 2x10 Bx 22 5x50 Cx 26x100 D2x 23x40 5在 R 上定义运算：abab2ab，则满足 x(x2)0 的解集为 _ 10已知 f(x)x 22ax3. (1)当 a1 时，解不等式f(x)0 Ba0， 0， 0 2函数 y2x 23x1的定义域是 ( ) A. x x 2 3 B x|x5 C. x x1或x 1 2 D. x 1
4、2x1 3不等式 (2a)x 22(a 2)x40 对于一切实数都成立，则 () Aa|22 4在下列不等式中，解集是?的是 () A2x 23x20 Bx 24x4 0 C44xx 20 5 某产品的总成本y(单位：万元 )与产量 x(单位：台)之间的函数关系式为y 300020x 0.1x2(00 ， 则不等式f(x)x2的解集是 () A1,1 B2,2 C2,1 D1,2 9不等式 (x2)x 22x3 0 的解集是 _ 10对于函数f(x)，若存在x0R，使 f(x0)x0成立，则称 x0为 f(x)的不动点已知函 数 f(x)ax 2(b1)xb 1(a0) (1)当 a1，b 2
5、 时，求 f(x)的不动点； (2)若对于任意实数b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 33.1二元一次不等式(组)与平面区域 1不等式3x2y60 表示的区域是 () 2不等式组 x2， xy30 表示的平面区域是下列图中的() 3不等式组 2xy60， xy3 0， y2 表示的平面区域的面积是() A4 B1 C5 D无穷大 4不等式组 4x3y 1， y0 表示的平面区域内整点的个数是() A2 个B 4 个C5 个D8 个 5在平面直角坐标系中，不等式x 2 y20 表示的平面区域是 () 6若不等式组 xy50
6、， ya， 0x2 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围 是() Aa0 B3x0 2y08 D3x0 2y02x 内 D点 (0,1)在区域 xy10 内 2以原点为圆心的圆全部在区域 x3y 60， xy20 内，则圆的面积的最大值为() A. 18 5 B.9 5 C2 D 3点 P(a,4)到直线 x2y20 的距离为2 5，且点 P 在 3xy30 表示的区域内， 则 a_. 4已知实数x，y 满足约束条件 x2y8， 2xy8， x，yN *， 目标函数z3xy，某学生求得当x 8 3， y8 3时， zmax 32 3 ， 这显然不合要求，正确答案应为x_， y _，
7、 zmax _. 5(2013 年山东 )在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组 2xy20， x2y10， 3xy80 所表示的 区域上的一动点，则直线OM 斜率的最小值为() A2 B1 C 1 3 D 1 2 6已知点 P(x，y)的坐标满足条件 x y4， y x， x 1， 点 O 为坐标原点， 那么 |PO|的最小值等 于_，最大值等于_ 7 若实数 x， y 满足 2xy0， yx， y x b， 且 z 2xy的最小值为3， 则实数 b 的值为 _ 8已知 ABC 的三边 a，b，c 满足 cb2a，ca2b，求 b a的取值范围 3.3.4简单线性规划问题的实际应用 1已
8、知某家具厂现有方木料90 m 3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售，已 知生产每张书桌要方木料0.1 m 3、 五合板 2 m2， 生产每个书橱要方木料 0.2 m 3 、 五合板 1 m 2， 设生产书桌x 张，书橱y 个，则生产的约束条件为() A. 0.1x0.2y90， 2xy600 B. 0.1x0.2y90， 2xy600 C. 0.1x0.2y90， 2x y600， x，y N D. 0.1x0.2y90， 2xy600， x，yN 2某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨； 生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、B 原
9、料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润5 万元， 每吨乙 产品可获得利润3 万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是() A12 万元B20 万元 C25 万元D27 万元 3某人上午7：00 乘汽车以匀速v1千米 /时 (30v1100)从 A 地出发到距 A 地 300 千 米的 B 地，在 B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米 /时 (4v220)从 B 地出发到距 B 地 50 千米的 C 地，计划在当天16：00 至 21：00 到达 C 地设乘汽车、摩托车行驶的时 间分别是x，y 小时，则在 xOy 坐标系中，
10、满足上述条件的x，y 的范围用阴影部分表示正确 的是 () 4有两种物质A 和 B，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船可运A 和 B 分别 为 300 吨和 250 吨，每天每架飞机可运A 和 B 分别为 150 吨和 100 吨，现一天中需运A 和 B 分别为 2000 吨和 1500 吨，则每天应动用轮船_艘、飞机 _架，既能完成运 输任务，又使所动用的轮船与飞机的总数最少 5某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需 求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品 的月供应量， 以使得总利润达到最大已知对这两种产品有
11、直接限制的因素是资金和劳动力， 通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 资金 单位产品所需资金/百元 月资金供应量/百元 空调机洗衣机 成本3020300 劳动力 (工资 )510110 单位利润68 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 6若实数x，y 满足 xy10， x0， x2， 则 y x的取值范围是 () A(0,2) B(0,2 C(2， ) D. 3 2， 7某家具厂有方木料90 m 3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产 每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五
12、合板 1 m2， 出售一张书桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元 (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 3.4基本不等式：ab ab 2 34.1基本不等式 (一) 1若 x 2y24，则 xy 的最大值是 ( ) A. 1 2 B1 C 2D4 2函数 f(x) x1 x2(x0)( ) A有最大值为0 B有最小值为0 C有最大值为2 D有最小值为2 3如果 a0，b0，Aab 2 ，Bab，那么一定有() AabABBabAB CabABDab AB 4已知 a，bR，且 ab0 ，则在 a
13、2b2 2 ab； b a a b2； ab ab 2 2；a b 2 2a 2b2 2 这四个不等式中，恒成立的个数有() A1 个B 2 个 C3 个D 4 个 5设函数f(x)2x1 x1(x0，则 x2 x的最小值为 _ 7已知 t0，求函数y t 24t1 t 的最小值 8若 a0，b0，且 ab 2，则 () Aab 1 2 B ab 1 2 Ca 2 b22 Da2 b2 2 9已知 lgxlgy1，则 5 x 2 y的最小值是 _ 10有一台天平两臂之长略有不同，其他均精确， 有人说要用它称量物体的质量，只需 将物体放在左、 右托盘内各称一次，再将称量的结果相加后除以2 就是物
14、体的真实质量，你 认为这种说法对不对？证明你的结论如果不对的话， 你能找到一种用这台坏天平称量物体 的正确方法吗？ 3.4.2基本不等式 (二) 1已知不等式 (xy) 1 x a y 9对任意正实数x，y 恒成立， 则正实数a 的最小值为 () A8 B6 C4 D 2 2在算式 “ 41 30” 的两个 ，中，分别填入两个正整数，使他们的倒数之和 最小，则这两个数构成的数对( ， )应为 () A(4,14) B(6,6) C(3,18) D(5,10) 3已知xab，y na m mb n ma n nb m (a，b， m， n 为正数 )，则两者的大小关系 是() AxyBx0，b0
15、，则 1 a 1 b 2ab的最小值是 () A2 B2 2 C4 D5 6某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，运费为4 万元 /次，一年的总存 储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_. 7已知等比数列 an中， a2 1，则其前 3 项和 S3的取值范围是 () A( ， 1 B(，0)(1， ) C3， ) D( ， 13， ) 8已知 x0，y0， x2y 2xy8，则 x2y 的最小值是 () A3 B4 C.9 2 D.11 2 9天文台用3.2 万元购买一台观测仪，这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为 n49 10 (
16、nN)，问这台观测仪使用多少天报废最合算？ 10过定点 M(1,4)的直线 l 在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小，求该直线的 方程 3.4.3基本不等式的实际应用 1若 x，y 是正实数，则(xy) 1 x 4 y 的最小值为 () A6 B9 C12 D15 2函数 y 3x 26 x 21(x0)的最小值是 () A3 23 B 3 C6 2 D6 23 3当点 (x，y)在直线 x3y20 上移动时，则3 x27y1 的最小值为 ( ) A3 B5 C1 D7 4某商场中秋前30 天月饼销售总量f(t)与时间t(00，则函数y t 24x1 t 的最小值为 _ 7围建一个面积为3
17、60 m 2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图 K3-4-1，已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x(单位： m) (1)将总造价y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x 的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 图 K3-4-1 8设 a0，b0.若3是 3 a 与 3b的等比中项，则 1 a 1 b的最小值为 ( ) A8 B4 C1 D.1 4 9某单位决定投资3200 元建一仓库 (长方体状 )，高度恒定， 它的后墙利
18、用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价20 元， 求： (1)仓库底面积S的最大允许值是多少？ (2)为使 S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅应设计为多长？ 10如图 K3-4-2， 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即 图中阴影部分 )，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中 缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？ 图 K3-4-2 第三章不等式 31不等关系与不等式 31.1不等关系与不等式的性质 1A
19、2.A3.B4.A 5D解析： 若 c0，则排除A，C；又 a，b 正负性不定，故B 选项不一定成立 6A解析： 1.又 1， 2.故选 A. 7解： x，y 应满足的不等关系式为 3x5y20， 5x4y25， x1，x N， y1，y N. 8D由于 ab0，不妨令a 2， b 1，可得 1 a 1 2， 1 b 1， 1 a 1 b.故 A 不 正确可得ab2，b21， ab b2.故 B 不正确可得 ab 2， a 2 4. ab a 2.故 C 不正确故选 D. 9解： 1 4， 2 1， 两式相加，得1 2 3，即 1 2 3 2. 由 2 1，得 1 2. 又 1 4， 1 3.
20、 设 2 m( )n( )， mn2， mn 1 ? m 1 2， n 3 2. 1 2 1 2 2 3 3 2 3 2 ? 5 22 1 2. 10解： 设有 x 辆汽车，则货物重为4x20 吨，由题意有： 8 x1 4x20， xN *， 解得 50， ab， clog231， aab.故选 D. 5A 6解析： 先平方，再比较大小 7证明： 37和 2 5都是正数， 要证：37 x y(x，y，mR ) 9解： MN(a 1a)(aa1) 1 a1a 1 aa1 a1a 1 a1aaa1 . a1，a1a0，aa10. 又 1 aa1，a 1a1， 即a1a10. MN0，故 MN. 1
21、0解： (a 31)(a21)a2(a1) (1)当 0loga(a21) (2)当 a1 时， a 31a21. loga(a31)loga(a21) 综上所述，当a0，且 a1 时， loga(a31)loga(a21) 32一元二次不等式及其解法 32.1一元二次不等式及其解法 1D2.D3.D4.C 5B解析： 根据定义x(x2)x(x2)2x(x2)x 2x20 即可 7 解： (1) 方程ax 2 bx 2 0 的 两根 为 1 2 和2， 由根 与系 数 的关 系 ，得 1 22 b a， 1 22 2 a， 解得 a 2， b3. (2)由(1)知： ax 2bx 10 可变为
22、 2x23x 10， 即 2x2 3x1 0，解得 1 2x1. 不等式 ax2bx10 的解集为 x 1 2x1 . 8x|x0 或 x6解析： y 1 2 x 是单调递减函数 9x|x1 且 x2 10解： (1)当 a1 时， 不等式 f(x)0 时，不等式的解集为 1 3a， 1 a ； 当 a10解析： 依题意有 1 2t 22t30，解得 t10 或 t0， x 2x2 ? 1 x0 或 00 恒成立 ? 16a216a1x y x1xyy y1xyx ? xy1 2， y0，x y20,2xy50 区域内， a16. 43211解析： 作一组平行直线y 3xz，在可行域边界上的点
23、且使z 最大的 点坐标为 (4,0)，但 0?N *，可行域内在点 (4,0)附近的整点为 (3,1)， (3,2)分别代入z3x y 可 知：点 (3,2)使 z3xy 最大，最大值为11. 5C解析： 不等式组 2xy20， x 2y10， 3xy80 表示的区域如图D35，当 M 取点 A(3， 1) 时，直线 OM 斜率取得最小，最小值为k 1 3 1 3.故选 C. 图 D35 6. 210解析： 当点 P 为(1,1)时， |PO|最小；当点P 为(1,3)时， |PO|最大 7.9 4 8解： 由已知条件，得a， b，c 之间存在的一些不等关系有： a0， b0，c0， 令 x
24、b a，y c a，则不等式组可化为 10，y0. 问题转化为在约束条件下，确定x 的取值范围 作出可行域，如图D36. 图 D36 由方程组 y12x xy1 ，得 A 2 3， 1 3 ， 再由 y1x xy2 ，得 C 3 2， 1 2 ， 不难看出， 2 30? x 2 x2 2，当且仅当x 2 x? x 2时取等号 7解： y t 24t1 t t 1 t 4 2(t0)，当且仅当t1 时， ymin 2. 8C 92 10解： 题中所给出的天平称物的方法是不对的 设物体的真实质量为M，天平的两臂长分别为l1，l2，两次称量的结果分别为a，b，则 由力矩平衡原理，得 l1Ml2a，
25、l2Ml1b， 由此，得M 2 ab，所以 M ab. 由基本不等式可知： ab 2 ab(ab)，所以用求算术平均数的方法不能称出物体的真 实质量求物体的真实质量的方法是求两次称量所得结果的几何平均数 34.2基本不等式 (二) 1C2.D3.D4.A 5 C解析：1 a 1 b2 ab2 1 ab2 ab2 1 ab ab 4， 当且仅当 1 a 1 b， 且 1 ab ab，即 ab1 时，取“”号 620解析： 该公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，则需要购买 400 x 次， 运费为4 万元 /次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为 400 x
26、 4 4x(万元 )， 400 x 44x160，当 1600 x 4x，即 x20 吨时，一年的总运费与总存储费用之 和最小 7D解析： a21， a1a3 a 2 21，显然 a1，a3同号 当 a1，a3同为正时， S3a1a2a32a1a31 3； 当 a1，a3同为负时， S3a1a2a3 (a1)(a3)a2 2a1 a3 1 1. 8B解析：x2y8x (2y)8 x 2y 2 2， 整理，得 (x2y)24(x2y)320， 即(x2y4)(x2y8)0，又 x2y0， x2y 4. 当且仅当 x2y 时等号成立 9解： 设使用 n 天的平均费用为 32 000 1 49 10
27、 2 49 10 3 49 10 n49 10 n 32 000 n 49 10 n1 20 32 000 n n 20 99 20 2 32 000 n n 20 99 20 1699 20 ， 当且仅当 32 000 n n 20，即 n800 天报废最合算 10解： 设所求直线方程为yk(x1)4，则与 x 轴， y 轴的截距分别是 k4 k 和 4 k， 由已知，得 k4 k 0， 4k0 ? k0) (2)x0， 225x 360 2 x 2225360210 800. y225x 360 2 x 36010 440. 当且仅当 225x360 2 x 时，等号成立 即当 x24 m
28、 时，修建围墙的总费用最小， 最小总费用是10 440 元 8 B解析：因为 3 a 3b3， 所以 ab 1.则1 a 1 b(ab) 1 a 1 b 2b a a b22 b a a b 4，当且仅当 b a a b，即 ab 1 2时“”成立故选 B. 9解：(1)设仓库的长为x米，宽为 y 米，依题意有320040x90y20xy2 40x 90y 20xy120 xy20xy， 即 320020xy120 xy(当 4x9y 时取等号 ) 令xya，则不等式变为20a 2120a32000. 解不等式，得16a10. 又 a0， 0a10，即 0xy100. 又 S xy100， 仓
29、库底面积S的最大允许值是100 平方米 (2)当且仅当4x9y 时， S才取得最大值100， x15. 故铁栅设计成长为15 米，才能使S达到最大，且实际投资不超过预算 10解： 方法一：设矩形栏目的高为a cm，宽为 b cm， 则 ab9000. 广告的高为a20，宽为 2b 25，其中 a0，b 0. 广告的面积S(a20)(2b 25) 2ab 40b 25a50018 50025a40b 18 5002 25a 40b18 5002 1000ab24 500. 当且仅当 25a40b 时等号成立，此时b 5 8a，代入式，得 a120，从而 b75. 即当 a120，b75 时， S
30、取得最小值为24 500. 故高为 140 cm，宽为 175 cm 时，使广告的面积最小 方法二：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，y25 2 ， 其中 x20，y25. 两栏面积之和为2(x20)y25 2 18 000， 由此，得 y 18 000 x20 25. 广告的面积Sxyx 18 000 x20 25 18 000x x20 25x， 整理，得 S 360 000 x20 25(x20)18 500. 因为 x200， 所以 S2 360 000 x20 25 x20 18 50024 500. 当且仅当 360 000 x20 25(x20)时等号成立 此时有 (x20) 214 400(x20)， 解得 x140，代入 y 18 000 x20 25，得 y 175. 即当 x140，y175 时， S取得最小值为24 500， 故当广告的高为140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小