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1、4.2 解一元一次方程 【教学目标】 知识与技能： （1）了解与一元一次方程有关的概念 （2）理解等式的基本性质，并能用等式性质来解一元一次方程. （3）会解含有括号的一元一次方程，并能判别解的合理性. （4）掌握含有分母的一元一次方程的解法. 过程与方法： 通过观察、 操作、 归纳等数学活动，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性. 情感态度与价值观：体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化. 【重难点】 重点： 掌握解一元一次方程的方法. 难点：（1）解含括号的方程，符号的变化 （2）解含分母的方程，求各分母的最小公倍数，以及去分母时，有时要添括号. 【教学过程】 活动一：创设情境，导
2、入新课 教师请一位同学阅读“丢番图”的故事. 丢番图（ Diophantus ）是古希腊数学家. 人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙 述了他的生平： 坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅途. 上帝赐予他的童年占六 分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛. 五年之后喜得贵 子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉. 悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他 也走完了人生的旅途. 出自希腊诗文选（The Greek Anthology）第 126 题 你能用方程求出丢番图去世时的年龄吗？大家讨论一下. （引入新课） 活动
3、二：实践探究，交流新知 【探究一 】利用小学所学的知识可以设他的年龄为x岁，列出的方程为 6 1 x+ 12 1 x+ 7 1 x+5+ 2 1 x+4=x. 教师进一步提出问题：结合算术法，你能试着解出这个方程吗？得到的结果对所列的方程来说具有 什么特点？ 学生可能利用逆运算求解，得出所求的结果使方程左右两边的值相等的特点，教师加以肯定，教师 归纳总结有关方程的概念： 方程的解： 能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程： 求方程的解的过程叫做解方程. 例 1 检验下列各数是不是方程4x-3=2x+3 的解 . （1）x=3； （2）x=8. 处理方式： 教师讲解题（1） ，学
4、生代表上台板演题（2） ，教师点评 . 解： （1）把 x=3 分别代入方程等号的左边和右边，得 左边 = 4339，右边 = 2 339. 左边 =右边 . 所以 x=3 是方程 4x-3=2x+3 的解 . （2）把 x=8 分别代入方程等号的左边和右边，得 左边 =4 8329，右边 =28319. 左边右边 . 所以 x=8 不是方程4x-3=2x+3 的解 . 【探究二 】等式的性质 1. 实验演示 . 教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言 叙述你发现的规律，然后按如图的方法演示实验. （课件展示课本第81 页图 3.1 1） 教师可
5、以进行两次不同物体的实验，学生独立思考，小组内交流，代表发言. 2. 集体归纳 . 在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性 质. 比如“ 88”，我们在两边都加上6，就有“ 8 686”；两边都减去11，就有“ 8 11 8 11”. 提出问题1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？ 学生思考，师生共同归纳： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 提出问题2：等式一般可以用a b来表示， 等式的性质1 怎样用式子的形式来表示？学生思考，师 生共同归纳： 如果 ab，那么 acbc. （字母 a， b，c 可以表示具体的数
6、，也可以表示一个式子. ） 3. 演示归纳 . 观察下列实验，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？ （课件展示课本第81 页图 3.1 2） 在学生观察上图时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义. 观察后再请一名学生用实验验证. 然后让学生用两种语言表示等式的性质2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等. 如果 ab，那么 acbc； 如果 ab（c0），那么 ab cc. 【探究三 】利用等式的性质解一元一次方程 例 2利用等式的性质解方程： (1)0.6 x2.4 ；(2) 13x54. 处理方式： 教师讲解题（1） ，学生自主解答题（2） ，
7、教师点评 . 解： （1）两边减0.6 ，得 0.6 x0.6 2.4 0.6. 化简，得 x1.8. 两边同乘 1，得 x 1.8. （2）两边加5，得 13x 5545. 化简，得 13x 9. 两边同乘 3，得 x 27. 小结： (1) 方程的解答中两次运用了等式的性质；(2) 解方程的目标是把方程最终化为xa 的形式， 在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化. 【探究四 】移项 利用等式的基本性质，我们对两个方程进行了如下的变换，观察并回答： （1）与原方程相比，哪些项的位置发生了改变？哪些没变？ （2）改变位置的项的符号是否发生了变化？没改变位置的项的符号是否发生了变化？
8、归纳： 像这样把原方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项. 移项要注意： （1）移项的根据是等式的基本性质1. （2）移项要变号，没有移动的项不改变符号. （3）通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移动方程的右边. 例 4解下列方程： （1）2x+6=1； （2）3x+3=2x+7. 解： （1） 2x+6=1 移项得 2x=1-6. 化简，得2x=-5. 方程两边同时除以2，得x=- 2 5 . （2）3x+3=2x+7 移项得 3x-2x=7-3. 合并同类项，得x=4. 【探究五 】解方程去括号 教师： 4（x+0.5 ）+x=10-3 与 4x+40
9、.5+x=10-3 有什么关系呢？ 学生：去掉了括号. 教师：是的，对于一些含有括号的方程，我们求解未知数时，要先去掉括号，再解方程. 带括号的一元一次方程的解法： （1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项； （4）系数化为1. 例 5 解下列方程： （1）4x+3(2x-3)=12-(x+4)；( 2 ) 6( 1 2x-4)+2x=7-( 1 3x-1). 处理方式：学生代表上台板演，师生共同评析. 解： （1）去括号，得4x+6x-9=12-x-4. 移项，得 4x+6x+x=12-4+9 . 合并，得 11x=17 . 系数化为1，得 x= 17 11. （2）去括号，得3x-24+
10、2x=7- 1 3 x+1. 移项，得3x+2x+ 1 3 x=7+1+24. 合并，得 5 1 3 x=32. 系数化为1，得 x=6. 【探究六 】解方程去分母 教师：解方程： 7 1 （x+14）= 4 1 （x+20）. 解： （解法 1）去括号，得 7 1 x+2= 4 1 x+5. 移项、合并同类项，得- 28 3 x=3. 方程两边同时除以- 28 3 ，得x=-28. （解法 2）去分母，得4（x+14）=7（x+20）. 去括号，得4x+56=7x+140. 移项、合并同类项，得-3x=84. 方程两边同时除以-3 ，得x=-28. 学生解完方程后，回答： （1）两种解法有什
11、么不同？ （2）解法 2 中如何把方程中的分母化去的？依据是什么？ （3）你认为哪种解法比较好？ 解： （1）解法 1 是按去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤来解的；解法2 是按去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤来解的. （2）解法 2 方程的左、右两边同时乘各分母的最小公倍数，依据是 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0 的数），所得结果仍是等式. （3）解法 2 好，去分母后，不再涉及分数的计算，不易出错. 解一元一次方程的步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项； （5）系数化为1. 注意： 解一元一次方程时，
12、不一定都要严格按照这样的步骤. 例 6 解方程：（1） 3 05.0 1 2.0 2xx ； （2） 5 3 3 2 （ 2 1 x-1 ）=1. 解： （1）去分母，得4（x-2 ）- （x+1）=60. 去括号，得4x-8-x-1=60. 移项、合并同类项，得3x=69. 方程两边同时除以3，得x=23. （2）去括号，得 5 1 x- 5 2 =1. 去分母，得x-2=5. 移项，得x=7. 例 7 整理一批图书，由一个人做要40 小时完成，现在计算由一部分人先做4 小时，再增加2 人和 他们一起做8 小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 处理方式： 学生代
13、表上台板演，师生共同评析. 解： 设应先安排x 人工作，根据题意列方程 4 40 x + 8(2) 40 x 1. 去分母，得4x+8（x+2）=40 去括号，得4x+8x+16=40 移项，合并，得 12x=24 解得 x=2 答：应先安排2 人工作 4 小时 【当堂反馈】 1. 解下列方程： （ 1）2x+6=1； （2）3x+3=2x+7； （3） 12 2 23 xx x； （4） 12 1 )3( 4 1 )52( 3 1 xx. 【课后小结】 解方程的一般步骤： 步骤方法注意 去分母在方程两边都乘_ 不要漏乘不含分母的项，分子是 一个整体，去分母后应加括号 去括号 先去 _， 再去 _， 最后 _ 带着符号计算，不要漏乘 移项 把_项都移到方程的 一边，其他项移到另一边 移项要 _ 合并 把方程两边分别合并，化成 ax b 的形式 合并只是系数相加，字母及指数 不变 系数在方程两边都除以未知数的分子、分母要_ 化为 1 系数 _，得到方程的 解 x b a 【教学反思】