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1、专题 17 数系的扩充与复数的引入 1 【 2019 年高考全国卷文数】设 3i 12i z，则| |z A2B 3 C 2 D1 【答案】 C 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求|z即可 【解析】方法1：由题可得 (3i)(12i)17 i (12i)(12i)55 z，所以 2217 ( )()|2 55 z，故选 C 方法 2：由题可得 22 22 |3i |10 |2 |12i 3( 1 |5 ) 12 z ，故选 C 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题本题也可以运用复数模 的运算性质直接求解 2 【 2019 年高考全国卷文数】设
2、)ii(2z，则z A1 2i B 12i C12iD12i 【答案】 D 【分析】根据复数的乘法运算法则先求得 z，然后根据共轭复数的概念写出 z即可 【解析】由题可得 2 i(2i)2ii12iz，所以 1 2iz，故选 D 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的 考查其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误 3 【 2019 年高考全国卷文数】若(1i)2iz，则z A1iB1i C1iD1i 【答案】 D 【解析】由题可得 () ( 2i2i 1i 1i 1i1i 1i)() z故选 D 【名师点睛】
3、 本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法， 利用方程思想解题 4 【 2019 年高考北京卷文数】已知复数2iz，则z z A 3 B 5 C3D5 【答案】 D 【解析】因为 2iz ，所以 2iz ，所以(2i)(2i)5z z，故选 D 【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除除法实际上是分母实数化的过程在做复 数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1z2=|z1| 2=| z2| 2，通过分子、 分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化 5 【 2018 年高考全国卷文数】设 1i 2i 1i z ，则| |z A0B 1 2
4、C1D 2 【答案】 C 【解析】因为 2 1i(1i)2i 2i+2i2ii 1i(1i)(1i)2 z， 所以 2 11|0| z ，故选 C 【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： （1） 1212 zzzz ； （2） 1212 zzzz ； （3） 22 z zzz； （4） 121212 zzzzzz； （5） 1212 z zzz； （6） 11 21 | z z zz 6 【 2018 年高考全国卷文数】i(23i) A32iB32i C 32i D 32i 【答案】 D 【解析】 2 i(23i)2i3i32i，故选 D 7 【 2018 年高考全国卷文数】(1
5、i)(2i) A 3i B 3i C3iD3i 【答案】 D 【解析】 2 (1i)(2i)2i2ii3i，故选 D 8 【 2018 年高考北京卷文数】在复平面内，复数 1 1i 的共轭复数对应的点位于 A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 【答案】 D 【解析】 11i11 i 1i(1i)(1i)22 的共轭复数为 11 i 22 ， 对应点为 11 () 22 ，在第四象限，故选D 【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎 丢分将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限 9 【 2018 年高考
6、浙江卷】复数 2 1i (i为虚数单位 ) 的共轭复数是 A1+i B1-i C- 1+i D-1- i 【答案】 B 【解析】 22(1i) 1i 1i2 ，共轭复数为 1i，故选 B 10 【2017 年高考全国卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是 Ai(1+i) 2 Bi 2(1-i) C(1+i) 2 Di(1+i) 【答案】 C 【解析】由 2 (1 i)2i，可知 2 (1i)为纯虚数，故选C 11 【2017 年高考全国卷文数】(1i)(2i) A1iB13i C3iD33i 【答案】 B 【解析】由题意 2 (1i)(2i)23ii13i，故选 B 【 名 师 点 睛 】 （
7、 1 ） 首 先 对 于 复 数 的 四 则 运 算 ， 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 ， 如 (+i )( +i )() +abcd=a cb d(+) i (,)a db ca b c dR （2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 + i( ,)a b a bR 的实部为a、虚部为b、模为 22 ab 、 对应点为( , )a b、共轭复数为iab 12 【2017 年高考全国卷文数】复平面内表示复数 i( 2i)z 的点位于 A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 【答案】 C 【解析】 i(2i)12iz ，则表示复数 i(2i)z 的点位于第三象限
8、，所以选C 13 【 2017 年高考北京卷文数】若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范 围是 A(,1)B(, 1) C(1,)D( 1,) 【答案】 B 【解析】(1i)(i)(1)(1)izaaa， 因为对应的点在第二象限，所以 10 10 a a ，解得1a， 故实数a的取值范围是(, 1)，故选 B 14 【2019 年高考天津卷文数】 i是虚数单位，则 5 | i i | 1 的值为 _ 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模 【答案】 13 【解析】由题可得 5i(5i)(1i) | | | 23i |13 1i(1i)(1i) 15
9、【2019 年高考浙江卷】复数 1 1i z （i为虚数单位） ，则|z=_ 【分析】本题先计算z ，而后求其模或直接利用模的性质计算容易题，注重基础知识、运算求解能 力的考查 【答案】 2 2 【解析】由题可得 112 | | |1i |2 2 z 16 【2019 年高考江苏卷】已知复数 (2i)(1i)a 的实部为0，其中 i为虚数单位，则实数 a的值是 _ 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0 即得a的值 【答案】 2 【解析】由题可得 2 (2i)(1i)i2i2i2(2)iaaaaa， 令20a，解得2a 【名师点睛】本题主要考查复数的运算法
10、则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力 17 【2018 年高考天津卷文数】 i 是虚数单位，复数 67i 12i _ 【答案】 4i 【解析】由复数的运算法则得 67i(67i)(12i)205i 4i 12i(12i)(12i)5 18 【2018 年高考江苏卷】若复数z满足i 12iz ，其中 i 是虚数单位，则z的实部为 _ 【答案】 2 【解析】因为 i1 2iz ，则 12i 2i i z，则z的实部为2 19 【2017 年高考浙江卷】 已知,a bR， 2 (i)34iab（i 是虚数单位） ， 则 22 ab_， ab_ 【答案】 52 【解析】由题意可
11、得 22 2i34iabab，则 22 3 2 ab ab ， 解得 2 2 4 1 a b ，则 22 5,2abab 20 【2017 年高考天津卷文数】已知aR ， i 为虚数单位，若 i 2i a 为实数，则a的值为 _ 【答案】 2 【解析】由题可得 i(i)(2i)(21)(2)i212 i 2i(2i)(2i)555 aaaaaa 为实数， 所以 2 0 5 a ，解得2a 【名师点睛】 （1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程( 不等式 ) 组即可 （2）对于复数 izab ( ,)a bR ， 当 0b 时，z为虚数； 当0b时，z为实数； 当0,0ab时，z为纯虚数 21 【2017 年高考江苏卷】已知复数(1i)(12i)z，其中 i 是虚数单位，则z 的模是 _ 【答案】 10 【解析】(1 i)(12i)1i 12i2510z，故答案为 10 【名师点睛】 （ 1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+bc+d= ()()i(,)acbd + ad +bca,b,c dR （2）其次要熟悉复数相关概念，如复数i( ,)a+ba bR的实部为a、虚部为b、模为 22 ab 、对应 点为( , )a b、共轭复数为iab