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1、学习必备欢迎下载 不等式的证明方法 在中学，不等式的证明问题，同学们一般都感到较困难，其原因 是证明没有固定的程序可循， 技巧多样，方法灵活，难度较高，为此， 笔者现通过一些例题，提出一套关于不等式的证明方法和常用技巧， 供大家参考。 一、比较法 由于 所以我们可以借助a-b的差值的符号来判断a、b 的大小，这样 证明不等式的方法，我们称为比较法。 例 1 已知 a、b、m 为正数，且 a0 b0 b-a0 所以即 故（证毕） 用此方法证明， 还可以启发学生变更命题的某些条件，而得出一 学习必备欢迎下载 些类似的结论。 例 2 已知 a、b 为实数。 求证： 证明：因为， 所以（证毕） 通过上
2、述各例， 不难总结出比较法的步骤是， 求差变形判断 （大于或小于零），其关键是变形，常用的有，因式分解、配方、通 分等。 二、综合法 从已知条件或已被证明的基本不等式出发，运用不等式的性质， 逐步推出结论。即：“由因导果”这种方法称为综合法。 例 3 求证： 证明；因为，又 所以， 同理 三式相加得。 例 4 设 a、b、c 为正数，且 a+b+c=1 求证： 学习必备欢迎下载 证明：因为， 同理 三式相乘得 （证毕） 例 5 已知 求证： 证明：由得 N 个同向不等式相加得 即 三、分析法 欲证原不等式成立， 可以利用恒等变形和不等式的性质寻求使该 不等式成立的充分条件，逐一进行，直到所求的
3、充分条件成立，则逆 推之，不等式得证，这种从结论出发，寻找结论和条件的联系的方法 叫做分析法。 例 6 已知 a、b 为整数，且 学习必备欢迎下载 求证： 证明：假设不等式成立，两边平方得 于是 由条件这是显然成立的， 因此倒推回去，每步可逆， 所以原不等式成立。 例 7 已知求证： 证明：欲使那么应有 因为所以， 上式两边约掉得 即 所以， 最后不等式显然成立， 以上每一步的证明都可逆， 故原不等式成 立。 例 8 求证 ： 证明：假设不等式成立，于是 故 这是显然成立的， 由此倒推回去，每一步可逆，所以原不等式成 学习必备欢迎下载 立。 四、反证法 从否定所求的不等式入手， 推出与已知真命
4、题或已知条件相矛盾 的结论，从而断定所求的不等式成立，这种证明方法叫做反证法。 例 9 已知（k 是整数） 求证： 证明：假设成立 则有 因为，所以 于是有 再化积得 这与矛盾，所以假设不成立。 故（证毕） 例 10 已知 求证：中至少有一个不小于 证明：假设结论不对，则有 学习必备欢迎下载 由得与（2）矛盾。 所以假设不成立，故原结论成立。（证毕） 五、判别式法 此法则借助于一元二次方程的判别式，而使不等式得到证明。 例 11 求证： 证明； 设， 整理后得： 运用是实数的判别条件 即得 所以， 例 12 求证： 证明：设 则 因为 x 是实数，则有 学习必备欢迎下载 则 解之得： 则（证毕
5、） 六、三角变换法 有些不等式的证明，可以借助于三角变换而获解决。 例 13、已知： a、b 为正数，且 求证： 证明：由已知可设 于是（证毕） 例 14：若 求证： 证明： 所以存在使得 学习必备欢迎下载 将它代入原不等式的左端得 （证毕） 七、数值法 这种方法是利用函数的极值， 主要是正弦和佘弦函数的极值来证 明不等式。 例 15 求证： 证明：因为的最小值是 -2 的最小值是 -3 所以， 又 所以，当时，y有极大值 即 故（证毕） 学习必备欢迎下载 八、数学归纳法 含有自然数 n的不等式，一般可采用数学归纳法。 例 16 求证： 证明：命题对于n=1时成立，事实上 现假设命题对于n=k时成立 即 现证明命题对于 n=k+1 也成立，我们有 学习必备欢迎下载 由上两步，命题成立。