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1、专题二解答重难点题型突破 题型一简单几何图形的证明与计算 类型一特殊四边形的探究 1( 2017 开封模拟 ) 如图，在RtABC中， BAC 90， B60，以边AC上一点 O为圆心， OA为半径作 O ， O恰好经过边BC的中点 D，并与边 AC相交于另一点F. (1) 求证： BD是O 的切线； (2) 若 BC 23，E是半圆 AGF 上一动点，连接AE 、AD 、DE. 填空： 当 AE 的长度是 _时，四边形ABDE是菱形； 当 AE 的长度是 _时， ADE是直角三角形. 2( 2017 商丘模拟 ) 如图，已知O的半径为1，AC是O 的直径，过点C作O 的切 线 BC ，E是
2、BC的中点， AB交O 于 D点 (1) 直接写出ED和 EC的数量关系：； (2)DE 是O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3) 填空：当 BC _时，四边形AOED 是平行四边形，同时以点O 、D、E、C为 顶点的四边形是_. 3如图，在菱形 ABCD 中，ABC 60， BC 5 cm，点 E从点 A出发沿射线AD以 1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点 B出发沿射线BC以 2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s) (1) 连接 EF，当 EF经过 BD边的中点G时，求证： DGE BGF ； (2) 填空： 当 t 为_s时， ACE的面积是 FCE 的面积的
3、2 倍； 当 t 为_s时，四边形ACFE 是菱形 . 4( 2017 新乡模拟 ) 如图， AC是?ABCD 的一条对角线，过AC中点 O的直线分别交AD ， BC于点 E，F. (1) 求证： AE CF ； (2) 连接 AF，CE. 当 EF和 AC满足条件 _时，四边形AFCE是菱形； 若 AB 1，BC 2， B60，则四边形AFCE为矩形时， EF的长是 _ 类型二几何问题的证明与计算 1( 2017 周口模拟 ) 如图， AB为O 的直径， F 为弦 AC的中点，连接OF并延长交弧 AC于点 D，过点 D作O 的切线，交BA的延长线于点E. (1) 求证： AC DE ； (2
4、) 连接 CD ，若 OA AE 2 时，求出四边形ACDE 的面积 2( 2017 湘潭 ) 如图，在 ?ABCD中， DE CE ，连接 AE并延长交 BC的延长线于点F. (1) 求证： ADE FCE ； (2) 若 AB 2BC ， F36. 求B 的度数 . 3( 2017 山西 ) 如图， ABC内接于 O ，且AB为O 的直径， OD AB ，与 AC交于点 E，与过点C的O 的切线交于点D. (1) 若 AC 4，BC 2，求 OE的长 (2) 试判断A与CDE的数量关系，并说明理由. 4( 2017 杭州 ) 如图，在正方形ABCD 中，点 G在对角线BD上( 不与点 B，
5、D重合 ) ，GE DC于点 E，GF BC于点 F，连接 AG. (1) 写出线段AG ，GE ，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2) 若正方形ABCD 的边长为1， AGF 105，求线段BG的长 . 题型一简单几何图形的证明与计算 类型一特殊四边形的探究 1(1) 证明：连接OD ，如解图， BAC 90，点D为 BC的中点， DB DA DC ， B 60， ABD为等边三角形， DAB ADB 60， DAC C30，而OA OD ， ODA OAD 30， ODB 603090， OD BC ，又 OD是 O的半径， BD是 O的切线； (2) 解：连接OD 、 OE ，
6、ABD为等边三角形， AB BD ADCD 3， 在RtODC 中， OD 3 3 CD 1， 当 DE AB时， DE AC， AD AE ， ADE BAD 60， ADE为等边三角形， AD AE DE， ADE 60， AOE 2ADE 120， AB BD DE AE ， 四边形 ABDE为菱形， 此时，的长度 120 1 180 2 3， 当 ADE 90时， AE为直径，点E与点 F重合，此时的长度 180 1 180 ， 当 DAE 90时， DE为直径， AOE 2ADE 60，此时的长度 60 1 180 1 3， 所以当的长度为 1 3或 时， ADE是直角三角形 . 2
7、解： (1) 连接 CD ，如解图， AC是 O的直径， ADC 90， E是 BC的中点， DE CE ； (2)DE 是 O的切线理由如下： 连接 OD ，如解图， BC为切线， OC BC ， OCB 90，即 2 490， OC OD ，EDEC ， 1 2， 3 4， 1 3 2 490，即 ODE 90， OD DE ， DE是 O的切线； (3) 当 BC 2 时， CA CB 2， ACB为等腰直角三角形，B45， BCD为等腰直角三角形，DEBC ，DE 1 2BC 1， OA DE 1，AO DE，四边形AOED 是平行四边形； OD OC CEDE 1， OCE 90，
8、四边形 OCED 为正方形 . 3(1) 证明： G为 BD的中点， BG DG ， 四边形 ABCD 是菱形， AD BC ， EDG FBG ， GED GFB ， DGE BGF(AAS) ； (2) 解：分两种情况考虑：当点F在线段 BC上时，如解图，连接AC ，EC ，设菱形 ABCD 边 BC上的高为h，由题意知SACE1 2AE h， S FCE 1 2CF h， ACE的面积是 FCE的 面积的 2 倍， 1 2AE h 2 1 2CF h， AE2CF ， AE t ，CF52t ， t 2(5 2t) ， 解得 t 2；当点 F在线段 BC的延长线上时，如解图，连接AC ，
9、EC ，AE t ，CF2t 5， ACE的面积是 FCE的面积的2 倍， AE 2CF， t 2(2t 5)，解得 t 10 3 ； 四边形ABCD 为菱形， AB BC ， ABC 60， ABC为等边三角形，AC AB 5，当四边形ACFE为菱形时，则AE AC CF 5，即 t 5. 4(1) 证明： AD BC ， EAO FCO. O是 AC的中点， OA OC ， 在 AOE和 COF中， EAO FCO OA OC AOE COF ， AOE COF(ASA) AE CF. (2) 解：当EF和 AC满足条件 EF AC时，四边形AFCE是菱形； 如解图所示， AE CF，AE
10、CF， 四边形 AFCE是平行四边形， 又 EF AC ，四边形AFCE是菱形； 若四边形AFCE 为矩形， 则 EF AC ， AFB AFC 90， AB 1，BC 2， B60， BAF 30， BF1 2AB 1 2， AF3BF 3 2 ，CF2 1 2 3 2， AC AF 2 CF2 （ 3 2 ） 2（3 2） 2 3， EF3. 类型二几何问题的证明与计算 1证明： (1) F为弦 AC的中点， AFCF， OD AC ， DE切 O于点 D， OD DE ， AC DE ； (2) AC DE ，且 OA AE ， F 为 OD的中点，即OF FD， 又 AF CF， AF
11、O CFD ， AFO CFD(SAS) ， SAFOSCFD， S四边形 ACDE S ODE. 在RtODE中， OD OA AE 2， OE 4， DE OE 2 OD2 4 2222 3， S四边形 ACDESODE 1 2OD DE 1 222 323. 2(1) 证明：四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ，ADBC ， D ECF ， 在 ADE和 FCE中， D ECF DE CE AED FEC ， ADE FCE(ASA) ； (2) 解： ADE FCE ， AD FC， AD BC ，AB2BC ， AB FB， BAF F36， B180 236108. 3解：
12、 (1) AB为 O的直径， ACB 90， 在RtABC中，由勾股定理得：AB AC 2BC2 4 2222 5， OA 1 2AB 5， OD AB ， AOE ACB 90， 又 A A， AOE ACB ， OE BC OA AC ，即 OE 2 5 4 ， 解得： OE 5 2 ； (2) CDE 2A，理由如下：连接OC ，如解图所示： OA OC ， 1 A， CD是 O的切线， OC CD ， OCD 90， 2 CDE 90， OD AB ， 2 390， 3 CDE ， 3 A 12A， CDE 2 A. 4解： (1) 结论： AG 2GE2GF2. 理由：如解图，连接CG. 四边形 ABCD 是正方形，A、C关于对角线BD对称， 点 G在 BD上， GA GC ， GE DC于点 E，GF BC于点 F， GEC ECF CFG 90， 四边形 EGFC 是矩形， CFGE ， 在RtGFC中， CG 2GF2CF2， AG2GF2GE2； (2) 如解图，作AH BG于点 H， 由题意得 AGB 60， ABH 45， ABH是等腰直角三角形， AB 1， AH BH 2 2 ，HG 6 6 ， BG 326 6 .