中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型五几何图形探究题试题.pdf

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1、题型五几何图形探究题 类型一几何图形静态探究 1( 2017 成都 ) 问题背景： 如图， 等腰 ABC中，AB AC ，BAC 120， 作 AD BC 于点 D，则 D为 BC的中点， BAD 1 2BAC 60，于是 BC AB 2BD AB 3； 迁移应用：如图，ABC和ADE都是等腰三角形，BAC DAE 120， D ，E，C 三点在同一条直线上，连接BD. 求证： ADB AEC ； 请直接写出线段AD ，BD ， CD之间的等量关系式； 拓展延伸：如图，在菱形ABCD 中， ABC 120，在 ABC 内作射线BM ，作点 C关 于 BM的对称点E，连接 AE并延长交BM于点

2、F，连接 CE ，CF. 证明 CEF 是等边三角形； 若 AE 5，CE 2，求 BF的长 . 2( 2017 许昌模拟 ) 在正方形ABCD中，对角线AC 、BD交于点 O，动点 P在线段 BC上 ( 不含点 B)， BPE 1 2ACB ， PE交 BO于点 E，过点 B作 BF PE ，垂足为 F，交 AC于点 G. (1) 当点 P与点 C重合时 (如图 ) ，求证： BOG POE ； (2) 通过观察、测量、猜想： BF PE _，并结合图证明你的猜想； (3) 把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变( 如图 ) ，若 ACB ，求 BF PE 的值 (用含 的式子表示 ) 3

3、( 2014 河南 )(1) 问题发现 如图， ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空： AEB的度数为 _； 线段 AD ， BE之间的数量关系为_ (2) 拓展探究 如图， ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB DCE 90，点A，D ，E在同 一直线上， CM为DCE中 DE边上的高，连接BE ，请判断 AEB 的度数及线段CM ，AE ， BE 之间的数量关系，并说明理由 (3) 解决问题 如图，在正方形ABCD 中，CD 2，若点 P满足 PD 1，且 BPD 90，请直接写出 点 A到 BP的距离 . 4( 2017 长春改编 ) 【再现】如图

4、，在 ABC 中，点 D， E 分别是 AB ， AC的中点， 可以得到： DE BC ，且DE 1 2BC.( 不需要证明 ) 【探究】如图，在四边形ABCD 中，点 E，F，G ，H分别是 AB ，BC ，CD ， DA的中点， 判断四边形EFGH的形状，并加以证明； 【应用】 (1) 在【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边形EFGH是 菱形？你添加的条件是：_.( 只添加一个条件) (2) 如图，在四边形ABCD 中，点 E，F，G，H分别是 AB ，BC ，CD ，DA的中点，对角线 AC ， BD相交于点O.若 AO OC ，四边形ABCD 面积为 5，求阴影部

5、分图形的面积. 5( 2016 新乡模拟 ) 问题背景： 已知在 ABC中，AB边上的动点D由 A向 B运动 ( 与 A， B不重合 ) ，同时，点E由点 C沿 BC的延长线方向运动(E 不与 C重合 ) ，连接 DE交 AC于点 F，点 H是线段 AF上一点，求 AC HF 的值 (1) 初步尝试 如图，若 ABC 是等边三角形，DH AC ，且 D ，E 的运动速度相等，小王同学发现可 以过点 D做 DG BC ， 交 AC于点 G ， 先证 GH AH.再证 GF CF， 从而求得 AC HF 的值为 _； (2) 类比探究 如图，若在 ABC 中， ABC 90， ADH BAC 30

6、，且点D，E的运动速度之 比是31，求 AC HF 的值； (3) 延伸拓展 如图，若在 ABC 中， AB AC ， ADH BAC 36，记 BC AC m ，且点 D，E的运动速 度相等，试用含m的代数式表示 AC HF 的值 ( 直接写出结果，不必写解答过程) . 类型二几何图形动态探究 1( 2015 河南 ) 如图，在Rt ABC中， B90， BC 2AB8，点 D、E分别是边 BC 、 AC的中点，连接DE ，将 EDC绕点 C按顺时针方向旋转，记旋转角为. (1) 问题发现 当 0时， AE BD _；当 180时， AE BD _； (2) 拓展探究 试判断：当0 360时

7、， AE BD 的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明 (3) 问题解决 当EDC旋转至 A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长 2已知，点O是等边 ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC. (1) 如图， 已知 AOB 150， BOC 120，将BOC绕点 C按顺时针方向旋转60 得ADC. DAO 的度数是 _； 用等式表示线段OA ，OB ， OC之间的数量关系，并证明； (2) 设AOB ， BOC . 当 ，满足什么关系时，OA OB OC有最小值？请在图中画出符合条件的图形， 并说明理由； 若等边 ABC的边长为1，直接写出OA OB OC的最小值 . 3( 2013

8、河南 ) 如图， 将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中 C90， BE30. (1) 操作发现 如图，固定 ABC ，使 DCE 绕点 C旋转当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段 DE与 AC的位置关系是_； 设 BDC的面积为S1， AEC的面积为S2，则 S1与 S2的数量关系是_； (2) 猜想论证 当DEC绕点 C旋转到图所示的位置时，小明猜想(1) 中 S1与 S2的数量关系仍然成 立，并尝试分别作出了BDC 和AEC中 BC 、CE边上的高，请你证明小明的猜想； (3) 拓展探究 已知 ABC 60， 点 D是其角平分线上一点，BD CD 4， DE AB交 BC于点 E(

9、 如 图) ，若在射线BA上存在点F，使 SDCFSBDC，请直接写出相应的BF的长 . 4( 2017郑州模拟 ) 【问题情境】 数学课上，李老师提出了如下问题：在ABC中， ABC ACB ，点 D 是 AB边上 任意一点， 将射线 DC绕点 D逆时针旋转 与过点 A且平行于BC边的直线交于点E.请判断 线段 BD与 AE之间的数量关系 小颖在小组合作交流中，发表自己的意见： “我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思 路，然后类比到一般情况”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成 【问题解决】 (1) 如图，当60时，判断BD与 AE之间的数量关系； 解法如下：过D点作 AC的平行线交BC于 F

10、，构造全等三角形，通过推理使问题得到解 决，请你直接写出线段BD与 AE之间的数量关系：_. 【类比探究】 (2) 如图，当45时，请判断线段BD与 AE之间的数量关系，并进行证明； (3) 如图，当为任意锐角时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系： _.( 用含 的式子表示，其中0 90) 5( 2017 烟台 ) 【操作发现】 (1) 如图， ABC为等边三角形，现将三角板中的60角与 ACB 重合，再将三角板 绕点 C按顺时针方向旋转( 旋转角大于0且小于30) ，旋转后三角板的一直角边与AB交 于点 D，在三角板斜边上取一点F，使 CF CD ，线段 AB上取点 E，使DCE

11、30， 连接 AF， EF. 求 EAF的度数； DE与 EF相等吗？请说明理由； 【类比探究】 (2) 如图， ABC为等腰直角三角形，ACB 90，先将三角板的90角与 ACB 重 合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转( 旋转角大于0且小于45) ，旋转后三角板的一 直角边与AB交于点 D，在三角板另一直角边上取一点F，使 CFCD ，线段 AB上取点 E ，使 DCE 45，连接AF， EF，请直接写出探究结果： 求 EAF的度数； 线段 AE ， ED ，DB之间的数量关系 题型五第 22 题几何图形探究题 类型一几何图形静态探究 1迁移应用：证明：BAC DAE 120， DAB C

12、AE ， 在 DAB和 EAC中， DA EA DAB EAC AB AC ， DAB EAC; , 图 ) 解：结论：CD 3AD BD. 理由：如解图，作AH CD于 H. DAB EAC ， BD CE ， 在RtADH中， DH AD cos30 3 2 AD ， AD AE ，AHDE ， DH HE， CD DE EC2DH BD 3AD BD ； 拓展延伸：证明：如解图，作BH AE于 H，连接 BE. 四边形 ABCD 是菱形， ABC 120， ABD ，BDC是等边三角形， BABD BC ， E、C关于 BM对称， BC BE BDBA ，FEFC， A 、D、E、C四点

13、共圆， ADC AEC 120， FEC 60， EFC是等边三角形， 解： AE 5，EC EF 2， AH HE 2.5 ，FH 4.5 ， 在RtBHF中， BFH 30， HF BF cos30， BF4.5 3 2 33. 2(1) 证明：四边形ABCD 是正方形， P与 C重合， OB OP ， BOC BOG 90， PFBG ， PFB 90， GBO 90 BGO ， EPO 90 BGO ， GBO EPO ， 在 BOG 和 POE中， GBO EPO OB OP BOG POE ， BOG POE(ASA)； (2) 解：猜想 BF PE 1 2. 证明：如解图，过P作

14、 PM AC交 BG于 M ，交 BO于 N， PNE BOC 90， BPN OCB. OBC OCB 45， NBP NPB ， NB NP. MBN 90 BMN ， NPE 90 BMN ， MBN NPE ， 在 BMN 和 PEN中， MBN NPE NB NP MNB PNE ， BMN PEN(ASA) ， BM PE. BPE 1 2 ACB ， BPN ACB ， BPF MPF. PFBM ， BFP MFP 90. 在 BPF和 MPF中， BPF MPE PF PF PFB PFM ， BPF MPF(ASA). BFMF. 即 BF 1 2BM.BF 1 2PE.即

15、 BF PE 1 2； (3) 解：如解图，过P作 PM AC交 BG于点 M ，交 BO于点 N， BPN ACB ， PNE BOC 90. 由(2) 同理可得BF 1 2BM ， MBN EPN ， BMN PEN ， BM PE BN PN . 在RtBNP中，tan BN PN ， BM PE tan，即 2BF PE tan， BF PE tan 2 . 3解： (1) ACB和 DCE均为等边三角形， CA CB ，CD CE ， ACB DCE 60， ACD BCE. 在 ACD和 BCE中， AC BC ACD BCE CD CE ， ACD BCE(SAS) ADC BE

16、C. DCE为等边三角形，CDE CED 60. 点 A，D，E在同一直线上，ADC 120， BEC 120， AEB BEC CED 60； AD BE ； (2) AEB 90， AE BE 2CM. 理由： ACB和 DCE均为等腰直角三角形， CA CB ，CD CE ， ACB DCE 90. ACD BCE. 在 ACD和 BCE中， CA CB ACD BCE CD CE ， ACD BCE(SAS) AD BE ， ADC BEC. DCE为等腰直角三角形，CDE CED 45. 点 A，D， E在同一直线上， ADC 135， BEC 135， AEB BEC CED 90

17、. CD CE ，CM DE ， DM ME. DCE 90， DM ME CM ， AE AD DEBE 2CM ； (3) 点 A到 BP的距离为 31 2 或 31 2 . 理由如下：PD 1，点 P在以点 D为圆心， 1 为半径的圆上 BPD 90，点P在以 BD为直径的圆上点P是这两圆的交点 当点 P在如解图所示位置时， 连接 PD 、PB、PA ，作 AH BP ，垂足为H， 过点 A作 AEAP ，交 BP于点 E， 四边形 ABCD 是正方形， ADB 45.AB AD DC BC 2， BAD 90. BD2. DP 1， BP 3. BPD BAD 90， A、P、D 、

18、B在以 BD为直径的圆上， APB ADB 45. PAE是等腰直角三角形 又 BAD是等腰直角三角形，点B 、 E、P共线， AH BP ， 由 (2) 中的结论可得：BP 2AH PD. 32AH 1. AH 31 2 ； 当点 P在如解图所示位置时， 连接 PD 、PB、PA ，作 AH BP ，垂足为H， 过点 A作 AEAP ，交 PB的延长线于点E， 同理可得： BP2AH PD.32AH 1. AH 31 2 . 综上所述：点A到 BP的距离为 31 2 或 31 2 . 4解：【探究】平行四边形 理由：如解图，连接AC ， E是 AB的中点， F 是 BC的中点， EFAC ，

19、EF 1 2AC ， 同理 HG AC，HG 1 2AC ， 综上可得： EFHG ，EFHG ， 故四边形 EFGH 是平行四边形 【应用】 (1) 添加 ACBD ， 理由：连接AC ，BD ，同 (1) 知， EF 1 2AC ， 同【探究】的方法得，FG 1 2BD ， AC BD ， EF FG ， 四边形 EFGH 是平行四边形，?EFGH 是菱形； (2) 如解图，由【探究】得，四边形EFGH 是平行四边形， F，G是 BC ，CD的中点， FG BD ，FG1 2BD ， CFG CBD ， S CFG S BCD 1 4， S BCD4S CFG， 同理： SABD4S AE

20、H， 四边形 ABCD 面积为 5， SBCDS ABD5， SCFGSAEH5 4，同理： S DHGSBEF 5 4， S四边形 EFGHS四边形 ABCD(S CFGSAEHSDHGSBEF) 5 5 2 5 2， 设 AC与 FG ，EH相交于 M ，N，EF与 BD相交于 P， FG BD ，FG1 2BD ， CM OM 1 2OC ，同理： AN ON 1 2OA ， OA OC ， OM ON ， 易知，四边形ENOP ，FMOP 是平行四边形，S?EPONS?FMOP， S阴影 1 2S 四边形 EFGH 5 4. 5解： (1) ABC是等边三角形，AGD是等边三角形，AD

21、 GD ， 由题意知： CEAD ， CE GD ， DG BC ， GDF CEF ， 在 GDF与 CEF中， GDF CEF GFD EFC ， GD CE GDF CEF(AAS) ， CFGF ， DH AG ， AH GH ， AC AG CG 2GH 2GF 2(GHGF)2HF ， AC HF 2； (2) 如解图，过点D作 DG BC交 AC于点 G， 则 ADG ABC 90. BAC ADH 30， AHDH ， GHD BAC ADH 60， HDG ADG ADH 60， DGH 为等边三角形 GD GH DH AH ，AD GD tan603GD. 由题意可知，AD

22、 3CE.GD CE. DG BC ， GDF CEF. 在 GDF与 CEF中， GDF CEF GFD EFC CE GD ， GDF CEF(AAS) ， GF CF. GH GF AH CF ，即 HFAHCF， HF 1 2 AC ，即 AC HF 2； (3) AC HF m 1 m . 理由如下： 如解图，过点D作 DG BC交 AC于点 G， 易得 AD AG ，AD EC ， AGD ACB. 在 ABC中， BAC ADH 36， AB AC ， AH DH ， ACB B72， GHD HAD ADH 72. AGD GHD 72， GHD B HGD ACB ， ABC

23、 DGH. GH DH BC AC m ， GH mDH mAH. 由 ADG ABC可得 DG AD BC AB BC AC m. DG BC ， FG FC GD EC m.FGmFC. GH FG m(AH FC)m(AC HF)，即 HFm(AC HF) AC HF m 1 m . 类型二几何图形动态探究 1解： (1) 当 0时， RtABC中， B90， AC AB 2 BC2 （82） 2824 5， 点 D、E分别是边BC 、AC的中点， AE 452 25，BD 82 4， AE BD 25 4 5 2 . 如解图，当180时，可得AB DE ， AC AE BC BD ，

24、AE BD AC BC 45 8 5 2 ； (2) 当 0 360时， AE BD 的大小没有变化， ECD ACB ， ECA DCB ， 又 EC DC AC BC 5 2 ， ECA DCB ， AE BD EC DC 5 2 ； (3) 当 D在 AE上时，如解图，AC 45，CD 4，CD AD ， AD AC 2 CD2 （45） 242 8016 8， AD BC ，ABDC ， B90， 四边形 ABCD 是矩形， BD AC 45； 当 D在 AE延长线上时，如解图，连接BD ，过点 D作 AC的垂线交AC于点 Q ，过点 B作 AC的垂线交AC于点 P， AC 45，CD

25、 4，CD AD ， AD AC 2 CD2 （45） 242 8016 8， 原图中点D、E分别是边BC 、AC的中点， DE 1 2AB 1 2(82) 1 242，AEAD DE 826，由 (2) 可得 AE BD 5 2 ， BD 6 5 2 125 5 . 综上所述， BD的长为 45或 125 5 . 2解： (1) AOB 150， BOC 120， AOC 90， 由旋转的性质可知，OCD 60， ADC BOC 120， DAO 360609012090； 线段 OA ， OB ，OC之间的数量关系是OA 2OB2OC2. 如解图，连接OD. BOC绕点 C按顺时针方向旋转

26、60得 ADC ， ADC BOC ， OCD 60. CD OC ， OCD 是等边三角形， OC OD CD ， COD CDO 60， AOB 150， BOC 120， AOC 90， AOD 30， ADO 60. DAO 90. 在RtADO中， DAO 90， OA 2AD2OD2， OA 2OB2OC2； (2) 当 120时， OA OB OC有最小值作图如解图， 将 AOC 绕点 C按顺时针方向旋转60得 AO C，连接OO . A O C AOC ， OCO ACA 60. O C OC ， O A OA ，ACAC ， AO C AOC.OCO 是等边三角形 OC O

27、COO ， COO CO O 60. AOB BOC 120， AOC AO C120. BOO OO A180. B， O ，O ， A四点共线 OA OB OC O A OB OO BA 时值最小； 当等边 ABC的边长为1 时， OA OB OC的最小值为AB3. 3解： (1) DEC绕点 C旋转使点D恰好落在AB边上， AC CD ， BAC 90 B903060， ACD是等边三角形，ACD 60， 又 CDE BAC 60， ACD CDE ， DE AC ； B30， C90， CD AC 1 2AB ， BD AD AC， 根据等边三角形的性质，ACD的边 AC 、AD上的高

28、相等， BDC的面积和 AEC的面积相等 ( 等底等高的三角形的面积相等) ， 即 S1S2； (2) DEC是由 ABC绕点 C旋转得到， BC CE ，AC CD ， ACN BCN 90， DCM BCN 1809090， ACN DCM ， 在 ACN和 DCM 中， ACN DCM CMD N90 AC DC ， ACN DCM(AAS) ， AN DM ， BDC的面积和 AEC的面积相等 ( 等底等高的三角形的面积相等) ， 即 S1S2； (3) 如解图，过点D作 DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形， BE DF1，且 BE 、DF1上的高相等，此时SDCF1SBDE； 过

29、点 D作 DF2BD ， ABC 60， F1DBE ， F2F1D ABC 60， BF1DF1， F1BD 1 2ABC 30， F 2DB 90， F1DF2 ABC 60， DF1F2是等边三角形，DF1DF2， BD CD ， ABC 60，点D是角平分线上一点， DBC DCB 1 26030， CDF1180 BCD 18030150， CDF236015060150，CDF1 CDF2， 在 CDF1和 CDF2中， DF1DF2 CDF1 CDF2 CD CD ， CDF1 CDF2(SAS) ，点 F2也是所求的点， ABC 60，点D是角平分线上一点，DE AB ， DB

30、C BDE ABD 1 26030， 又 BD 4， BE ED 1 24 cos302 3 2 43 3 ， BF14 3 3 ， BF2BF1F1F2 43 3 43 3 83 3 ， 故 BF的长为 43 3 或 83 3 . 4解： (1) 当 60时， ABC 、 DCE是等边三角形， EC DC ，ACBC ， ACB DCE 60， ACB ACD DCE ACD ， 即 BCD ACE ， 在 BDC和 AEC中， EC DC BCD ACE AC BC ， BDC AEC(SAS) ， BD AE ； (2)BD2AE ； 理由如下：如解图，过点D作 DF AC ，交 BC于

31、 F. DFAC ， ACB DFB. ABC ACB ，45， ABC ACB DFB 45. DFB是等腰直角三角形BD DF 2 2 BF. AE BC ， ABC BAE 180. DFB DFC 180， BAE DFC. ABC BCD ADC ， ABC CDE ， ADE BCD. ADE FCD. AE FD AD FC . DFAC ， BD BF AD CF . AE BD BD BF 2 2 . BD2AE. (3) 补全图形如解图，AE BC ， EAC ACB ， EAC EDC ， A、D、C、E四点共圆，ADE ACE ， ADE EDC ADC ABC BCD

32、 ， ABC EDC ， ADE BCD ， ACE BCD ， ABC EAC ， BDC AEC ， BD AE BC AC ， 又 BC AC 2cos， BD 2cosAE. 5解： (1) ABC是等边三角形，AC BC ， BAC B60， DCF 60， ACF BCD ， 在 ACF和 BCD中， AC BC ACF BCD CFCD ， ACF BCD(SAS)， CAF B60， EAF BAC CAF 120； 相等；理由如下： DCF 60， DCE 30， FCE 603030，DCE FCE ， 在 DCE和 FCE中， CD CF DCE FCE CE CE ，

33、DCE FCE(SAS) ， DE EF ； (2) ABC是等腰直角三角形，ACB 90， AC BC ， BAC B45， DCF 90， ACF BCD ， 在 ACF和 BCD中， AC BC ACF BCD CFCD ， ACF BCD(SAS) ， CAF B45， AFBD ， EAF BAC CAF 90； AE 2DB2DE2；理由如下： DCF 90， DCE 45， FCE 904545，DCE FCE ， 在 DCE和 FCE中， CD CF DCE FCE CE CE ， DCE FCE(SAS) ， DE EF ， 在RtAEF中， AE 2AF2EF2， 又 AF DB ， AE 2DB2DE2.