《九年级中考一轮复习导学案：8课时一元二次方程及应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级中考一轮复习导学案：8课时一元二次方程及应用.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 8 课时一元二次方程及应用 【基础知识梳理】 一、一元二次方程的定义： 1、一元二次方程： 含有个未知数， 并且未知数 _的整式方程叫一元二 次方程。 2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是一次项是常数项是 注意： 1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a0 这一条件 2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一 般首项为正 二、一元二次方程的常用解法： 1、直接开平方法 ：如果 ax 2 = b 则 x 2= ，x1= ， x2= 2 、配方法： 解法步骤： 、化二次项系数为， 即方程两边都二次项的系数 、移项：把项移到方程的边 、配方：方程两边都加上把
2、左边配成完全平方的形式 、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。 3 、公式法： 如果一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a0) 满足 b 2-4ac0，则一元二 次方程的求根公式为 4 、因式分解法： 一元二次方程化为一般形式，如果左边分解因式，即产生AB=0的形式， 则可将原方程化为两个方程，即 _ 从而求出方程的两 根。 注：因式分解的方法： （1）提公因式法 （2）公式法：平方差公式：a2- b2=(a+b)(a -b) 完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=(a- b)2 （3）分组分解法 （4）十字相乘法 注意：一元二次方程的四种解
3、法应根据方程的特点灵活选用 三、一元二次方程根的判别式： 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a0)根的情况由决定，我们把它 叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号“”表示 当时，方程有两个不相等的实数根 当时，方程看两个相等的实数根 当时，方程没有实数根 注意： （1）方程有两个实数根，则 =b 2-4ac0 （2）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二 次项系数不为 0 四、一元二次方程根与系数的关系： 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a 0)有两个根分别为 x 1，x2 则 x1+x2 = x 1x2 = 五、一元二次方程的应
4、用： 解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 （实际解题过程中， 可以先找等量关系， 根据等量关系缺少什么未知数就设什么 未知数） 常见题型： 1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数 2、利润问题：总利润 = 3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程 注意：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一 定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。 【基础诊断】 1、下列方程中，不是一元二次方程的是( ) A. 2x 2+7=0 B. 2x2+2 3x+1=0 C. 5x 2+ x 1 +4=0 D. 3x 2+(1
5、+x) 2 +1=0 2、一元二次方程 x 2x2=0的解是（ ） Ax1=1，x2=2 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=2 D x1=1，x2=2 3、（2014?益阳）一元二次方程x 22x+m=0总有实数根，则 m应满足的条件是 （） A m 1 B m=1 C m 1 D m 1 4、（2014?威海）方程x 2（m+6 ）+m2=0有两个相等的实数根 x1，x2，且满足 x1+x2=x1x2，则 m的值是（） A2 或 3 B 3 C 2 D 3 或 2 5、 （2014四川巴中）某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元经市场预测， 销售定价为 52 元时，可售出 180
6、 个，定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定 价每减少 1 元，销售量净增加10 个因受库存的影响，每批次进货个数不得超 过 180 个，商店若将准备获利2000 元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【精典例题】 考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等） 例 1、 （2014?白银） 一元二次方程（a+1） x 2ax+a21=0的一个根为 0， 则 a= 分析： 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+10 且 a 2 1=0，然后解不等式和方程即可得到a 的值 解答： 解：一元二次方程（ a+1）x 2ax+a21=0的一个根为 0， a+10 且
7、 a 21=0，a=1故答案为 1 考点二：一元二次方程的解法 例 2、（2014?枣庄）x1、x2是一元二次方程 3（x1） 2=15 的两个解，且 x 1x2， 下列说法正确的是（） A x1小于 1，x2大于 3 B x1小于 2，x2大于 3 C x 1，x2在1 和 3 之间 D x1，x2都小于 3 分析：本题是解一元二次方程- 直接开平方法；估算无理数的大小。求出两根是 解题关键 解答：x1、x2是一元二次方程 3（x1） 2=15的两个解，且 x 1x2， （x1） 2=5，x1= ，x1=1+3，x2=11，故选： A 考点三：根的判别式的运用 例 3、 （2014?广东揭阳
8、）关于 x 的一元二次方程x 23x+m=0 有两个不相等的实 数根，则实数 m 的取值范围为（） A B C D 分析：先根据判别式的意义得到=（3） 24m0，然后解不等式即可。本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式 =b24ac：当0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方 程没有实数根 解：根据题意得 =（3）24m0，解得 m故选 B 考点四：根与系数关系 例 4、 （2014年烟台）关于 x 的方程 x2ax+2a=0的两根的平方和是5，则 a 的值 是（） A1 或 5 B1 C5 D1 分析：设方程的两根为x1，x2，根
9、据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1?x2=2a，由 于 x1 2+x 2 2=5，变形得到（ x 1+x2） 22x 1?x2=5，则 a 24a5=0，然后解方程，满 足 0 的 a的值为所求本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根与系 数的关系：若方程的两根为x1，x2，则 x1+x2=，x1?x2=也考查了一元二次方 程的根的判别式 解：设方程的两根为x1，x2，则 x1+x2=a，x1?x2=2a，x1 2+x 2 2=5， （x1+x2）22x1?x2=5，a24a5=0，a1=5，a2=1， =a 28a 0，a=1故选： D 考点五：一元二次方程的应用 例
10、5、（2014?丽水）如图，某小区规划在一个长30m 、宽 20m的长方形 ABCD 上 修建三条同样宽的通道， 使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种 花草要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少 m ？设通道 的宽为 xm ，由题意列得方程 分析： 设道路的宽为 xm ，将 6 块草地平移为一个长方形，长为（302x）m ， 宽为（20x）m 根据长方形面积公式即可列方程（302x）（20x）=678 解答： 解：设道路的宽为xm ，由题意得：（ 302x）（20x）=678， 故答案为：（ 302x）（20x）=678 点评： 此题主要考查了一元二次方
11、程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6 块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键 例 6 、 （2012?湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙， 围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m ） ，现在已备足可以砌50m长的 墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m 2 分析：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN 最长可利用 25m ，舍掉 不符合题意的数据。 解：设 AB=xm ，则 BC= （502x）m 根据题意可得， x（502x）=300， 解得： x1=1
12、0，x2=15，当 x=10，BC=50 1010=3025，故 x1=10（不合题意舍 去） ， 答：可以围成 AB的长为 15 米，BC为 20 米的矩形 【自测训练】 A组 一、选择题： 1、 （2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程 是（） A x 2+3x2=0 B x23x+2=0 C x22x+3=0 D x2+3x+2=0 2、已知 1 x、 2 x是一元二次方程014 2 xx的两个根，则 21 xx等于（） A. 4 B. 1 C. 1 D. 4 3、 （2014?内江）若关于 x 的一元二次方程 （k1）x 2+2x2=0 有不
13、相等实数根， 则 k 的取值范围是（） A kB kC k且 k 1 D k 且 k 1 4、下列关于 x 的方程有实数根的是（） A x 2x+1=0 B x 2+x+1=0 C （x1） （x+2）=0 D （x1） 2+1=0 5、（2014昆明）某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果产量为 144 吨， 求该果园水果产量的年平均增长率. 设该果园水果产量的年平均增长率为 x，则 根据题意可列方程为（） A. 100)1 (144 2 xB. 144)1(100 2 xC. 100)1 (144 2 x D. 144)1(100 2 x 二、填空题 1、下列方程是一
14、元二次方程的是_(填序号) x 2+2xyy2=0 3x+ x 1 =0 x 2=1 (3+ x ) 2=4 5 13 2 x = 9x (x 23)x+1= x3+3x x2x+1= x2 2、（2013白银） 已知 O1与O2的半径分别是方程 x 24x+3=0的两根， 且 O 1O2=t+2， 若这两个圆相切，则t= 3、 （2014年四川巴中） 菱形的两条对角线长分别是方程x 214x+48=0的两实根， 则菱形的面积为 4、（2014?德州，第 16 题 4 分）方程 x 2+2kx+k22k+1=0的两个实数根 x 1 ，x 2 满足 x1 2 +x 2 2=4，则 k 的值为 5
15、、（2014?随州）某小区 2010 年屋顶绿化面积为2000 平方米，计划 2012 年屋 顶绿化面积要达到2880 平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这 个增长率是 三、解答题 1、解方程： （1） 2x 24x1=0 （配方法）（2） 5 x 2+2x1=0 （公式法） 2、 （2014?扬州）已知关于x 的方程（ k1）x 2（k1）x+=0 有两个相等的实 数根，求 k 的值 3、 （2014年广东汕尾）已知关于x 的方程 x 2+ax+a2=0 （1）若该方程的一个根为1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 4、
16、（2014? 新疆，第 19 题 10 分）如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈， 用 100 米的围栏围成总面积为400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈， 求羊圈的 边长 AB，BC 各为多少米？ 【自测训练】 B组 一、选择题 1、 （2012?黔西南州） 三角形的两边长分别为2 和 6，第三边是方程 x 2-10x+21=0 的解，则第三边的长为（） A7 B3 C7 或 3 D无法确定 2、 （2014?呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a， c） ， 点 B （b， c+1） 在该函数图象的另外一支上， 则关于一元二次方ax 2+bx+c=0 的两根
17、 x1，x2判断正确的是（） A x1+x21，x1?x20 B x1+x20，x1?x20 C 0 x1+x21，x1?x20 D x1+x2与 x1?x2的符号都不确定 3、 （2014?潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程 x212x+k=0 的两个根，则 k 的值是（） A 27 B 36 C 27 或 36 D 18 4、 （2014?玉林）x1， x2是关于 x 的一元二次方程x 2mx+m2=0 的两个实数根， 3、是否存在实数 m 使+=0成立？则正确的是结论是（） A m=0 时成立 B m=2时成立 C m=0或 2 时成立 D 不存
18、在 5、 （2014泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3 株 时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1株，平均每株盈利减少0.5 元，要使每盆 的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是 （） A （3+x） （40.5x）=15 B （x+3） （4+0.5x）=15 C（x+4）（30.5x ）=15 D（x+1）（40.5x ）=15 二、填空题 1、若一元二次方程ax 2=b（ab0）的两个根分别是 m +1 与 2m 4，则b a = 2、 （2014?德州）方程 x 2+2kx+k22k+1=0 的两个实数根 x 1，x2满足
19、 x1 2+x 2 2=4， 则 k 的值为 3、（2014 广州）若关于的方程有两个实数根 、， 则的最小值为 _. 4、 （2014?兰州）如图，在一块长为22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同 样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上 草坪，使草坪面积为300 平方米若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程 为 三、解答题 1、（2014自贡）解方程： 3x（x2）=2（2x）（因式分解法） x1=，x2=2 2、 （2014年四川巴中）先化简，再求值： （+2x）， 其中 x 满足 x 24x+3=0 3、 （2014?十堰）已知关于 x 的一元二
20、次方程 x 2+2（m+1）x+m21=0 （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（ x1x2）2=16x1x2，求实数 m 的 值 4、 （2014?株洲）已知关于 x 的一元二次方程（ a+c）x 2+2bx+（ac）=0，其中 a、b、c 分别为 ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 A B C D 16 米 草坪 第 21 题图 5、（2014?毕节）某工厂
21、生产的某种产品按质量分为10 个档次，第 1 档次（最 低档次）的产品一天能生产95 件，每件利润 6 元每提高一个档次，每件利润 增加 2 元，但一天产量减少5 件 （1） 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为y 元 （其中 x 为正整数，且 1x10） ， 求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）若生产第 x 档次的产品一天的总利润为1120 元，求该产品的质量档次 课后反馈 1、关于 x 的一元二次方程 22 2310xxa的一个根为 2，则 a 的值是（） A1 B3C 3D 3 2、6若 12 xx，是一元二次方程 2 560xx的两个根，则 12 xx+的值是（） AB 5C
22、5D6 3、如图所示，某幼儿园有一道长为16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成 一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD 求该矩形草坪 BC边的长 4、方程 x 22x=0的解为 5、已知 O1和O2的半径是一元二次方程x 2-5x+6=0 的两根，若圆心距 O1O2=5， 则O1和O2的位置关系是（） A外离B外切C相交D内切 6、函数 y= 1 x 与 y=x2 图象交点的横坐标分别为a，b，则 11 ab 的值为 _ 7、二次函数的图象如图， 对称轴为1x若关于x的一元二次方程0 2 tbxx （为实数）在41x的范围内有解，则的取值范围是（） A1t B31tC81t D
23、83t 参考答案： 【基础诊断】 1、C 2 、D 3 、D 4 、C 5、 解： 设每个商品的定价是x 元， （x40） 18010 （x52） =2000， 解得 x1=50， x2=60x1=50时，进货 18010（x52）=200个，不符合题意舍去答：当该 商品每个单价为 60 元时，进货 100 个 【自测训练】 A组 一、选择题： 1、B 2 、C 3 、C 4 、C 5 、D 二、填空题 1、 2 、2 或 0 3 、24 4 、1 5 、 20% 三、解答题 1、（1）x1= 2 26 , x 2= 2 26 （2）x1= 5 61 , 5 61 2 x 2、解关于 x 的方
24、程（ k1）x 2（k1）x+=0 有两个相等的实数根， =0，（k1）24（k1）=0，整理得， k23k+2=0， 即（k1） （k2）=0，解得： k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2 k=2 3、解： （1）将 x=1 代入方程 x 2+ax+a2=0 得，1+a+a2=0，解得， a=； 方程为 x 2+x=0，即 2x2+x3=0，设另一根为 x 1，则 x1=，x1= （2） =a 24（a2）=a24a+8=a24a+4+4=（a2）2+4 0， 不论 a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 4、解：设 AB的长度为 x，则 BC 的长度为（ 1004x）米 根据题
25、意得 （1004x） x=400， 解得 x1=20， x2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025，x2=5 舍去即 AB=20，BC=20 答：羊圈的边长 AB ，BC分别是 20 米、20米 【自测训练】 B组 一、选择题： 1、A 2 、C 3 、B 4 、A 5 、A 二、填空题： 1、4 2、1 3、4、（22x）（17x）=300 三、解答题 1、x1=，x2=2 2、解：原式=，解方程 x 24x+3=0 得，x 1=1，x2=3当 x=1 时，原式无意 义；当 x=3 时，原式 = 3、解： （1）由题意有 =2（m+1） 24（m21） 0，整理得 8m+
26、8 0，解得 m 1，实数 m 的取值范围是 m 1； （2）由两根关系，得x1+x2=（2m+1） ，x1?x2=m21， （x1x2）2=16x1x2 （x1+x2） 23x 1x216=0，2（m+1） 23（m21）16=0，m2+8m 9=0，解得 m=9 或 m=1m 1m=1 4、解： （1）ABC 是等腰三角形； 理由：x=1 是方程的根，（ a+c） （1）22b+（ac）=0，a+c2b+a c=0， ab=0，a=b， ABC 是等腰三角形； （2） 方程有两个相等的实数根， （2b） 24 （a+c） （ac） =0， 4b 24a2+4c2=0， a 2=b2+c2，
27、 ABC 是直角三角形； （3） 当ABC 是等边三角形， （a+c） x 2+2bx+ （ac） =0， 可整理为：2ax2+2ax=0， x2+x=0，解得： x1=0，x2=1 5、解：（ 1）第一档次的产品一天能生产95 件，每件利润 6 元，每提高一个 档次，每件利润加 2 元，但一天生产量减少5 件第 x 档次，提高的档次是x 1 档 y=6+2（x1）95 5（x1） ，即 y=10x 2+180x+400 （其中 x 是正整数， 且 1x10）； （2）由题意可得： 10x 2+180x+400=1120 ，整理得：x218x+72=0，解得：x 1=6， x2=12（舍去）答：该产品的质量档次为第6 档 课后反馈 1、 D 2 、 B 3、 解： 设 BC边的长为 x 米， 根据题意得120 2 32x x， 解得： 12 1220xx，2016， 2 20x不合题意，舍去，答：该矩形草坪BC 边的长为 12 米. 4、x1=0，x2=2 5 、 6、2 7、C