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1、九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0) 、B(0，4)，将线段 AB绕点 A按逆 时针方向旋转 90至 AC (1) 求点 C的坐标； (2) 若抛物线 y 1 4x 2ax4 经过点 C 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点P(点 C除外) 使ABP是以 AB为直角边的等腰直角三 角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 2 如图 1， 已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B， 抛物线 y=-x 2+bx+c 经过 A、B两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线AB交于点 E，抛物线顶 点为 D （1）
2、求抛物线的解析式； （2）在第三象限内， F 为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3， 求点 F 的坐标； （3）点 P从点 D出发，沿对称轴向下以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，设 运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？ 直接写出所有符合条件的t 值 1. 【解析】 试题分析：（1）过点 C作 CD垂直于 x 轴，由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转 90至 AC ，根据旋转的旋转得到AB=AC ，且 BAC为直角，可得 OAB与CAD 互余，由 AOB为直角，可得 OAB与 ABO互余，根据同角的余角相等可得一 对角相等，再加上一对
3、直角相等，利用ASA可证明三角形 ACD与三角形 AOB全 等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB ，CD=OA，由 A 和 B的坐标及位置 特点求出 OA及 OB的长，可得出 OD及 CD的长，根据 C在第四象限得出C的坐 标； （2）由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式， 列出关于 a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出抛物线的解析式； 假设存在点 P使ABP是以 AB为直角边的等腰直角三角形， 分三种情况考虑： （i ）A为直角顶点，过 A作 AP1垂直于 AB ，且 AP1=AB ，过 P1作 P1M垂直于 x 轴， 如图所示，根据一对对顶角相等，一
4、对直角相等，AB=AP1，利用 AAS可证明三角 形 AP1M与三角形 ACD 全等，得出 AP1与 P1M的长，再由 P1为第二象限的点，得出 此时 P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足； （ii ）当 B为直角顶点，过 B作 BP2垂直于 BA ，且 BP2=BA ，过 P2作 P2N垂直于 y 轴，如图所示，同理证明三角形 BP2N与三角形 AOB 全等，得出 P2N与 BN的长，由 P2为第三象限的点，写出P2的 坐标，代入抛物线解析式中检验满足； （iii）当 B为直角顶点，过 B作 BP3垂直 于 BA ，且 BP3=BA ，如图所示，过P3作 P3H垂直于 y 轴，同理可证明三
5、角形P3BH 全等于三角形 AOB ，可得出 P3H与 BH的长，由 P3为第四象限的点，写出P3的坐 标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标 试题解析：（1）过 C作 CD x 轴，垂足为 D， BA AC ， OAB+ CAD=90 ， 又AOB=90 ， OAB+ OBA=90 ， CAD= OBA ，又 AB=AC ，AOB= ADC=90 ， AOB CDA ，又 A（1，0） ，B（0，2） ， OA=CD=1，OB=AD=2 ， OD=OA+AD=3，又 C为第四象限的点， C的坐标为（ 3，1） ； （2）抛物线 y= 1 2 x 2+ax+2 经过
6、点 C，且 C（3，1） ， 把 C的坐标代入得： 1= 9 2 +3a+2，解得： a= 1 2 ， 则抛物线的解析式为y= 1 2 x 2+1 2 x+2； 存在点 P，ABP是以 AB为直角边的等腰直角三角形， （i ）若以 AB为直角边，点 A为直角顶点， 则延长 CA至点 P1使得 P1A=CA ，得到等腰直角三角形ABP1，过点 P1作 P1M x 轴， 如图所示， AP1=CA ，MAP1=CAD ，P1MA= CDA=90 ， AMP1ADC ， AM=AD=2，P1M=CD=1， P1（1，1） ，经检验点 P1在抛物线 y= 1 2 x 2+1 2 x+2 上； （ii ）
7、 若以 AB为直角边，点 B为直角顶点， 则过点 B作 BP2BA ， 且使得 BP2=AB ， 得到等腰直角三角形ABP2，过点 P2作 P2N y 轴，如图， 同理可证 BP2N ABO ， NP2=OB=2 ，BN=OA=1， P2（2，1） ，经检验 P2（2，1）也在抛物线 y= 1 2 x 2+1 2 x+2 上； （iii） 若以 AB为直角边，点 B为直角顶点，则过点 B作 BP3BA ， 且使得 BP3=AB ， 得到等腰直角三角形ABP3，过点 P3作 P3H y 轴，如图， 同理可证 BP3H BAO ， HP3=OB=2 ，BH=OA=1， P3（2，3） ，经检验 P
8、3（2，3）不在抛物线 y= 1 2 x 2+1 2 x+2 上； 则符合条件的点有P1（1，1） ，P2（ 2，1）两点 考点： 1. 二次函数综合题 2. 点的坐标 3. 等腰直角三角形 2. 【答案】 （1）y=-x 2-2x+3 ； （2） （321 2 ， 321 2 ）（3）当 t 为 4 3 秒 或 2 秒或 3 秒或 14 3 秒时，以 P、B、C为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 试题分析：（1）先由直线 AB的解析式为 y=x+3，求出它与 x 轴的交点 A、与 y 轴的交点 B的坐标，再将 A、B两点的坐标代入y=-x 2+bx+c，运用待定系数法即 可求出抛物线的解析
9、式； （2）设第三象限内的点F 的坐标为（ m ，-m 2-2m+3） ，运用配方法求出抛物线的 对称轴及顶点 D的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点 G ，连接 FG ，根据 S AEF=SAEG+SAFG-SEFG=3，列出关于 m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F 的坐标； （3）设 P点坐标为（ -1，n） 先由 B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC 2=10， 再分三种情况进行讨论：PBC=90 ，先由勾股定理得出PB 2+BC2=PC2，据此 列出关于 n 的方程，求出 n 的值，再计算出PD的长度，然后根据时间 =路程 速度，即可求出此时对应的t 值； BPC=90 ，同
10、可求出对应的t 值； BCP=90 ，同可求出对应的t 值 试题解析：（1）y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 当 y=0 时，x=-3，即 A点坐标为（ -3 ，0） ， 当 x=0 时，y=3，即 B点坐标为（ 0，3） ， 将 A（-3，0） ，B（0，3）代入 y=-x 2+bx+c，得 930 c3 bc ， 解得 2 3 b c ， 抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）如图 1， 设第三象限内的点F的坐标为（ m ，-m 2-2m+3） ，则 m 0，-m2-2m+30 y=-x 2-2x+3=- （x+1）2+4， 对称轴为直线x=-1，顶点 D
11、的坐标为（ -1 ，4） ， 设抛物线的对称轴与x 轴交于点 G ，连接 FG ，则 G （-1 ，0） ，AG=2 直线 AB的解析式为 y=x+3， 当 x=-1 时，y=-1+3=2， E点坐标为（ -1 ，2） SAEF=SAEG+SAFG-SEFG= 1 2 22+ 1 2 2（m 2+2m-3）-1 2 2（-1-m）=m 2+3m ， 以 A、E、F为顶点的三角形面积为3 时，m 2+3m=3 ， 解得： 1 321 2 m， 2 321 2 m（舍去） ， 当 321 2 m时，-m 2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=321 2 ，点 F的坐标为 （ 321
12、 2 ， 321 2 ） ； （3）设 P点坐标为（ -1 ，n） B（0，3） ，C（1，0） ， BC 2=12+32=10 分三种情况：如图2，如果 PBC=90 ，那么 PB 2+BC2=PC2， 即（0+1） 2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2， 化简整理得 6n=16，解得 n=8 3 ， P点坐标为（ -1 ， 8 3 ） ， 顶点 D的坐标为（ -1，4） ， PD=4-8 3 = 4 3 ， 点 P的速度为每秒 1 个单位长度， t1= 4 3 ； 如图 3，如果 BPC=90 ，那么 PB 2+PC2=BC2， 即（0+1） 2+（n-3）2+（1+1）2+
13、（n-0）2=10， 化简整理得 n 2-3n+2=0，解得 n=2或 1， P点坐标为（ -1 ，2）或（ -1 ，1） ， 顶点 D的坐标为（ -1，4） ， PD=4-2=2或 PD=4-1=3 ， 点 P的速度为每秒 1 个单位长度， t2=2，t3=3； 如图 4，如果 BCP=90 ，那么 BC 2+PC2=PB2， 即 10+（1+1） 2+（n-0 ）2=（0+1）2+（n-3 ）2， 化简整理得 6n=-4，解得 n=- 2 3 ， P点坐标为（ -1 ，- 2 3 ） ， 顶点 D的坐标为（ -1，4） ， PD=4+ 2 3 = 14 3 ， 点 P的速度为每秒 1 个单位长度， t4=14 3 ； 综上可知，当 t 为 4 3 秒或 2 秒或 3 秒或 14 3 秒时，以 P、B、C为顶点的三角形是 直角三角形