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1、学习必备欢迎下载 卓越教育 VIP 个性化教案 学生姓名王晓佛年级八学科数学授课时间 2014.7.31 教师姓名钟旭课时 3 教学课题二次根式的概念及性质 教学目标 1.知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解二次根式的概念，并利用a（a0）的 意义解答具体题目； 2.了解最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式化成最简二次根式. 教学重、难点 二次根式a（a0）的内涵；确定二次根式中字母的取值范围；a（a0）是一个非负数； 2 (a)=a（a0）、 2 a=a（a0）及其运用 【教学过程】 一、复习引入 1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？ 3、求下列各数的平方根：（1）2
2、4； （2）0.16； （3） 9 25 . 4、求下列各数的正平方根：（1）225; （ 2）0.0001； （3） 16 81 . 5、根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 2cm acmS= 2 (3)bcmS= 3 2 2 cm 直角三角形的斜边长是_；正方形的边长是_；等边三角形的边长是_。 问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 二、探索新知 1二次根式的定义 : 很明显 5 题中上述得数都是一些正数的算术平方根像这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代 数式叫做二次根式。 因此，一般地，我们把形如a (a0)的代数式叫做二次根式. “”称为
3、二次根号 2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 注意：二次根式都含有二次根号“” ； 在二次根式中，被开方数a必须满足0a，当0a时，根式无意义； 在二次根式中，a可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代数式； 二次根式a(a0)是a的算术平方根，所以a0. 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、 3 3、 1 x 、x（x0） 、0、 4 2、-2、 学习必备欢迎下载 2、)0(bb、 1 xy 、xy（x0， y0） 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” ；第二，被开方数是正数或0 ：1a是不是二次根式？1a呢？ 1a这类代数式只能称为含有二次根式的代数
4、式，不能称之为二次根式；而 2 223xx这类代 数式，应把2,3这些二次根式看作系数或常数项，整个代数式仍看作整式. 例 2. 求下列二次根式中字母a 的取值范围： （1）1a；（ 2） 1 1 2a ；（3） 1 3a ；（4） 2 (3)a. 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于或等于零； 分母中有字母时，要保证分母不为零. 例 3. 已知 x 满足20132014xxx，那么 2 2013x 的值为（） A2012 B2013 C 2014 D 2015 3.二次根式的性质 : (1) 2 ()(0);aa a文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
5、(2) 2 (0) (0) a a aa a a 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 注意： （1）二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论. 上面的公式也 可以反过来应用：若，则，如：，. （2）中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； （3） 2 a不是等于a，而是等于a，再根据a 的正、负来进行化简. : 22 () 与有区别吗？aa （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表 示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与 都是非负数，即，。因而它的运算的结
6、果是有差别的，而 . （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 例 4. 已知 2x ，则 2 44xx的结果是 _ 学习必备欢迎下载 例 5.将根号外的a移到根号内，得 ( ) A. B. C. D. 4. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式. 例 6. 在下列二次根式，中最简二次根式有_ 例 7. 已知，则化为最简二次根式是（） A. B. C. D. 5. 同类二次根式： （1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。 注：判断几个二次根式是
7、否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的 被开方数是否相同. （ 2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开 方数不变 . 例 8.最简二次根式与是同类二次根式，则x 等于（） A. 0 B.1 C.2 D. 3 例9. 与（a0，b0）不是同类二次根式的是（） A. B. C. D. 6. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到 根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可 以将根号外
8、面的正因式平方后移到根号里面 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（一化，二找，三合并） （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被 开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab=ab（a0 ，b0 ） ； bb aa （b0 ， a0） （4）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用， 在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除， 最后加减，有括号先算括号内的。 在运算过程
9、中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。 学习必备欢迎下载 观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根 式的运算中都可以应用。 三、课堂练习 1. 求出下列代数式中字母的取值范围： （1） 2 23aa；（2） 1 1a ； (3) 1 5 3 x x ；（4）23x+ 1 1x . 2. 求式子15xx有意义时x 的取值范围 . 3. 根式 1) 222 ;2);3);4)27 5 x abxxyabc，最简二次根式是（） A1) 2) B 3) 4) C 1) 3) D 1) 4) 4.已知： 的
10、值。求代数式22, 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 5. 把（ ab） 1 a b 化成最简二次根式. 6. 计算： 7. 先化简，再求值： 11 () b abba ab ，其中 a= 51 2 ，b= 51 2 8.如图，实数 a、b在数轴上的位置，化简： 222 ()abab. 9. 化简下列各式： （1）42 3（2）52 6 学习必备欢迎下载 10. 已知 ab0，a+b=6ab，则 ab ab 的值为（） A 2 2 B2 C2 D 1 2 11. 甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形： 甲：=； 乙：=. 其中， （） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙
11、都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 四、课后作业 一、填空题： 1、 2 21的平方根是； 81 49 的算术平方根是； 3 216的立方根是； 2、当a时，23a无意义； 3 2 2 x x 有意义的条件是。 3、如果a的平方根是 2，那么a。 4、最简二次根式ba34与 1 62 b ba是同类二次根式，则a，b。 5、如果babbabba)(2 322 ，则a、b应满足。 6、把根号外的因式移到根号内：a3；当b0 时，x x b ； a a 1 1 )1(。 7、若 04.0m ，则 2 2mm。 8、若m0，化简： 332 2mmmm 。 二、选择题： 1、如果一个数的平方
12、根与它的立方根相同，那么这个数是（） A、 1 B、0 C、 1 D、0 和 1 2、在 3 16x、 3 2 、5 .0、 x a 、 3 25中，最简二次根式的个数是（） A、1 B、2 C、 3 D、4 3、下列说法正确的是（） A、0 没有平方根 B、 1 的平方根是 1 C、4 的平方根是2 D、 2 3 的算术平方根是3 4、164的算术平方根是（） A、6 B 、 6 C、6 D、6 5、对于任意实数a，下列等式成立的是（） A、aa 2 B、aa 2 C、aa 2 D、 24 aa 6、设7的小数部分为b，则)4(bb的值是（） A、1 B、是一个无理数 C、3 D、无法确定
13、学习必备欢迎下载 7、若 12 1 x，则12 2 xx的值是（） A、2 B 、22 C、2 D、12 8 、如果 1a 2，则212 2 aaa 的值是（） A、a6 B、a6 C、a D、1 9、二次根式： 2 9x；)(baba；12 2 aa； x 1 ；75.0中最简二次根式是 （） A、B、C、D、只有 三、计算题： 1、 25 9 0121.0； 2、 22 1237； 3、 1 0 2 1 2023 25 1 。 四、若a、b为实数，且b222aa，化简：abb b 244 2 12 。 五、如果13的小数部分是a， a 1 的小数部分是b，试求b的值。 六、已知 34 2
14、ba aA是2a的算术平方根， 923 2 ba bB是b2的立方根，求AB 的n次方根。 七、已知正数a和b，有下列命题： （1）若2ba，则ab1； （2）若3ba，则ab 2 3 ； （3）若6ba，则ab3； 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9ba，则ab。 八、由下列等式： 3 7 2 22 3 7 2 ， 3 26 3 3 3 3 26 3 ， 3 63 4 44 3 63 4 ，所提示的规律，可得出一般的结 论是。 九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。 已知m为实数，化简： m mm 13 解：原式m m mmm 1 mm1. 教学效果 / 课后反思 学生自评 针对本堂收获和自我表现（对应指数上打） 学生 /家长签名