五年级奥数秋季教材.pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 四年级秋季 目录 第 1 讲平均数 -（ 2 ） 第 2 讲等差数列 -（ 7 ） 第 3 讲长方形，正方形周长 -（ 13 ） 第 4 讲长方形，正方形面积 -（20） 第 5 讲分类数图形 -（26） 第 6 讲尾数和余数 -（32） 第 7 讲一般应用题（一） - （37） 第 8 讲一般应用题（二） - （42） 第 9 讲一般应用题（三）- （47） 第 10 讲数阵- （51） 第 11 讲最小公倍数和最大公因数- （59） 第 12 讲周期问题- （66） 第 13 讲盈亏问题- （72） 第 14 讲组合图形面积（一）- （78） 第 15 讲组合图形面积

2、（二）- （85） 第 16 讲数字趣题- （92） 优秀学习资料欢迎下载 第 1 讲平均数 (一) 一、知识要点 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求 得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数 =总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均 数 二、精讲精练 【例题 1】 有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42 个，梨、橘子、桃平均 每箱 36 个，苹果和桃平均每箱37 个。一箱苹果多少个？ 【思路导航】（1）1 箱苹果 1 箱梨 1 箱橘子 =423=136（个） ；

3、 （2）1 箱桃 1 箱梨 1 箱橘子 =363=108（个） （3）1 箱苹果 1 箱桃=372=72 （个） 由（ 1） （2）两个等式可知： 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18（个） ，再根据等式（ 3）就可以算出： 1 箱桃有 （7418）2=28（个） ，1 箱苹果有 2818=46（个） 。 1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个： 372=74（个） 优秀学习资料欢迎下载 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个： 42336=18（个） 1 箱苹果有多少个： 2818=46（个） 即学即练 1： 一次考试，甲、乙、丙三人平均分91 分，乙、丙、丁三人平均分89 分，甲、丁 二人平均分

4、 95 分。问：甲、丁各得多少分？ 【例题 2】 一次数学测验，全班平均分是 91.2分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分； 男生平均每人 90.5分。求这个班男生有多少人？ 【思路导航】 女生每人比全班平均分高9291.2=0.8（分） ，而男生每人比全班平 均分低 91.290.5=0.7（分） 。全体女生高出全班平均分0.821=16.8（分） ，应补给每 个男生 0.7 分，16.8里包含有 24 个 0.7，即全班有 24 个男生。 即学即练 2： 两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152 下。甲组有 6 人，平均每人跳140 下， 乙组平均每人跳 160 下。乙组有多少人？

5、【例题 3】 小丽读一本小说，第一天读74 页，第二天读 82 页，第三次读 71 页， 第四天读 63 页，第五天读的页数比这5 天平均每天读的少6 页，小丽第五天读了多少 页？ 【思路导航】 前四天平均每天读（ 74+82+71+63 ）4=72.5 （页） 。第五天比 5 天中 平均数读的少 6 页，平均分给前 4 天，72.5-64=71（页）就是 5 天平均数读的页数， 第五天读的页数为71-6=65（页） 。 列式为：（74+82+71+63 ）4=72.5（页） 64=1.5(页) 72.5-1.5-6=65（页） 答：小丽第五天读了65 页。 即学即练 3 优秀学习资料欢迎下载

6、 一个技术工带 4 个普通工人完成了一项工作，每个普通工人各得200元，这位技术工 人的收入比他们 5 人的平均收入还多80 元，这位技术工人的多少元？ 【例题 4】 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同 学的 98 分误作 89 分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少 名同学？ 【思路导航】 98 分比 89 分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩上升91.7 91.5=0.2（分） 。9 里面包含有几个0.2.五一班就有几名同学。 即学即练 4： 五（ 1）班有 40 人，期中数学考试，有2 名同学去参加体育比赛而缺考，全

7、班平 均分为 92 分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五（ 1）班同学期中考试的平均 分是多少分？ 【例题 5】 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后 三个数的平均数是48。中间一个数是多少？ 【思路导航】 先求出五个数的和： 385=190，再求出前三个数的和：273=81. 后三个数的和： 483=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数 就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。 即学即练 5： 甲、乙、丙三人的平均年龄为22 岁，如果甲、乙的平均年龄是18 岁，乙、丙的 平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁

8、？ 优秀学习资料欢迎下载 课后巩固 1.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18 棵，甲、丙两 组平均每组植树 17 棵，乙、丙两组平均每组植树19 棵。三个小组各植树多少棵？ 2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是40 千克。求四人的平均体重是多少千克？ 3.有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5 亩，平均每亩产量是 101.5 千克；另一块田平均每亩产量是85 千克。这块田是多少亩？ 4，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7 元，乙知甲级糖有4 千克，平均每千克 8 元；乙级糖

9、有 2 千克，平均每千克多少元？ 5.小雨与五名同学一起参加数学竞赛，那五名同学的成绩分别为79 分，82 分，90 分， 85 分，84 分，小雨的成绩比6 人的平均成绩高 5 分，求小雨得了多少分？ 6.某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89 分误看作 97 分 计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学？ 优秀学习资料欢迎下载 7.五个数的平均数是18，把其中一个数改为6 后，这五个数的平均数是16。这个 改动的数原来是多少？ 2.十名参赛者的平均分是82分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人

10、的平均分是多少分？ 8.下图中的内有五个数A、 B、 C、 D、 E，内的数表示与它相连的所有中的平均数。 求 C是多少？ 9.期中考试过后，李玲同学语文、数学的平均成绩为91 分，语文、英语的平均成绩为 88 分，数学、英语的平均成绩为93 分，李玲三门功课各得多少分？ 10，奶糖和水果糖混合起来，成为什锦糖，平均每千克售价9.13 元。已知奶糖有35 千克，每千克 10.3元水果糖每千克8.5元，那么有多少千克水果糖？ 11.7 位同学进行跳绳比赛，平均每人跳148 下。由于记录失误，李强的成绩被错记成 121 下，因此他们的平均成绩变成145 下，问：李强实际上跳了多少下？ 12.几位裁

11、判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分。如果 记入最高分，平均成绩为9.04 分。已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位 裁判员？ 优秀学习资料欢迎下载 13. 小明一星期看完一本书， 平均每天看 75 页前 3 天平均每天看 70 页，后 5 天平 均每天看 78 页他第三天看了多少页？ 14.8个数从小到大排成一列，它们的平均数是32前 5 个数的平均数是24后 5 个数 的和是 210,中间两个数的平均数是多少？ 15，王师傅加工一批零件，前三天共加工97 个，第四天加工的零件个数比这四天的 平均数多 11 个，第四天加工多少个？ 16 甲、乙两地相距

12、 288 km, 一艘客轮从甲地顺水行驶12 小时到达乙地， 已知船速为每 小时 20 km，问：客轮从乙地逆水返回甲地时要用多少小时？ 17，甲、乙、丙三人共买了9 个面包平均分着吃，甲付了5 个面包的钱，乙付了4 个 面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付4.5 元，甲应收回多少钱？ 提高检测 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数再加上另一个数，这样计算了四 次，得到了下面四个数： 86，92，100，106。求原来四个数的平均数。有若干个大 于 0 的自然数，它们的平均数是 10如果去掉最大的一个，余下数平均数为9：如果 优秀学习资料欢迎下载 去掉最小的一个，余下数的平均数为11

13、这些数最多有多少个？其中最大的是多少？ 第 2 讲等差数列 像（1）1,2,3,4 ，. （2）10,20,30 ，. 这种从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数的数列， 叫做等差数列。这种常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。 在等差数列 n aaa, 21中，它的公差是 d，那么 daddadaa daddadaa daa 3)2( 2)( 1134 1123 12 由此可见，等差数列从第2 项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数 等于这项减 1 的差，所以dnaan ) 1( 1 。这个公式我们称它为等差数列的通项公式， 利用它可以求出等差数列中的任何

14、一项。 例 1 求等差数列 3,8,13,18，.的第 38 项和第 69 项。 分析：在这个等差数列中，已知5,3 1 da得： daa n ) 138( 38 138 daa n ) 169( 69 169 51383）（51693）（ =188 =343 即学即练 1 求等差数列 1,4,7,10,13，.的第 20项和第 80 项。 优秀学习资料欢迎下载 例 2 36 个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已 知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？ 分析：由题，同学们报的数是一个等差数列，286,8,36 n adn，要求 1 a可用公式 dn

15、aan)1( 1 推导出：dnaa n ) 1( 1 62802868136286 1 ）（a 即学即练 2 1.仓库里有一叠编上号的书， 共 40 本，已知每下面一本书都比上面一本书的编号多5， 最后一本书的编号是225，问第一本书的编号是几？ 2.幼儿园给小朋友发玩具，共32 个小朋友，每人一个，每个玩具商都有编号，已知最 后一个小朋友玩具上的编号是98，前一个玩具的编号比后一个玩具的编号总少3，问 第一个小朋友手上的玩具是多少号？ 3.学校举办运动会，共54 个人参加，每人都有参赛号码，已知前一个人的号码比后一 个人的号码总是少4，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？ 优秀学

16、习资料欢迎下载 例 3 等差数列 4,12,20， 中，580 是第几项？ 【思路导航】在这一等差数列中，已知a1=4，an=580,d=8,求 n 是多少。根据公式 an=a1+(n-1)x d推导出 n=(an-a1) d+1 n=(580 4) 8+1 =72+1 =73 答：580 是第 73 项。 即学即练 3 等差数列 3,9,15,21， 中， 381是第几项？ 糖果生产商为机器编号，依次为7,13,19,25， ，问编号为 433 的机器是第几个？ 例 4。一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的，第1 项是 3.6,第 5 项是 12 ,求它的 第 2 项。 优秀学习资料欢迎下

17、载 【思路导航】要求这个等差数列的第2 项，我们必须先求出等差数列的公差是多少。 已知 a1=3.6,a 5=12,n=5,可以得出 a1与 a5相差 123.6=8.4,8.4 就是（ 5-1）个公差 d=(12-3.6) (5-1) =8.4 4 =2.1 a2=3.6+(2-1)2.1 =3,6+2.1 =5.7 答：第 2 项是 5.7。 即学即练 4. 有一个等差数列的第1 项是 2.4,第 7 项是 26.4,求它的第 5 项。 一个等差数列的第1 项是 1.2，第 8 项是 9.6，求它的第 10 项。 例 5 游乐园的智慧梯最高一级宽60 ，最低一级宽 150 ，中间还有 13

18、 级，各级的 宽度成等差数列，求正中一级的宽。 优秀学习资料欢迎下载 【思路导航】这个等差数列的项数为15，知道 a1=60,an=150, 求正中一级的宽，可以 直接用（ an+a1） 2 即可。 （150+60 ） 2=105 （） 即学即练 5 梯子的最高一级宽30 ，最低一级宽 100 ，中间还有 11 级，各级的宽度成等差数 列，正中一级宽是多少？ 一个等差数列的第一项是4.1，公差是 3.1，另外一项是 32，求项数。 课后巩固 1.超市工作人员在商品上一次编号，分别为4,8,12,16，.请问第 34 个商品上标注的是 什么数字？第 58 个呢? 2.商店中推行打包促销活动，每6

19、 个商品为一包。第一包中每个商品的编号一次是 3,6,9,12,15,18 ；第二包中编号为21,24,27,30,33,36 。一次类推，请问第20 包的第 3 个 商品编号为多少？ 优秀学习资料欢迎下载 4. 计算 1+2+3+2012。 5.计算 2+3+4+5+ +2588 6，求首项为 5，公差是 3 的等差数列的前2000项的和 7.求首项为 10，公差为 5 的等差数列的前 5000 项的和。 8.计算 11+13+15+9792+90+88+ +2 。 优秀学习资料欢迎下载 9.计算 2012-2010+2008-2006+.+4-2 。 10， 计算 9000-8997+89

20、94-8991+.+6-3 。 11，求所有被 2 除余数是 1 的两位数的和。 12，求所有被 3 除余数是 1 的三位数的和。 13，有 9 个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9 个人 共握多少次手？ 14，有 lI 个足球队员在上场前相互击掌鼓励如果每个人和其余队员只击次那么ll 个人共击掌多少次？ 优秀学习资料欢迎下载 第 3 讲长方形、正方形的周长 同学们都知道， 长方形的周长 = （长宽） 2，正方形的周长 =边长4。长方形、 正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧 求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学

21、们灵活应用已学知识， 掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。 例 1 有 5 张同样大小的纸如下图 （a） 重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形， 重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。 【思路与导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、 上、下平移（如图b） ，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5 个小正方 优秀学习资料欢迎下载 形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是184=72厘米。 即学即练 1，下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成，求这个图形的周长。 例 2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截

22、去4 厘米，截掉的面积为192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？ 思路导航把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C三块（如图），其中 AB的面积是 19244=176（平方厘米）。把 A 和 B移到一起拼成一个宽4 厘米的长方形，而此长 方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。1764=44（厘米） ，现在这块木板的 周长是 442=88（厘米） 。 即学即练二 优秀学习资料欢迎下载 1，有一个长方形， 如果长减少 4 米，宽减少 2 米，面积就比原来减少44 平方米， 且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。 例 3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多

23、少？ 【思路导航】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横 着，三条竖着。三条横着的线段和是（ab）2，三条竖着的线段和是b2。所以， 整个图形的周长是（ ab）2b2，即 2a4b。 即学即练三 有一张长 40 厘米，宽 30 厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方 形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。 例 4 下图是边长为 4 厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。 优秀学习资料欢迎下载 【思路导航】我们把阴影部分周长中左边的5 条线段全部平移到左边，其和正 好是 4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是4 厘米。因此，阴影部 分的周长与

24、边长是4 厘米的正方形的周长是相等的。 即学即练四 求下面图形的周长（单位：厘米） 。 13 例 5 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米， AB=9厘米，求最大的长方形的周长。 【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为BC=EF ， 9 优秀学习资料欢迎下载 CF=DE ，所以， AB BC CF=AB FE ED=9 6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的 一半。因此，最大长方形的周长是（96）2=30（厘米） 。 即学即练五 1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周 长发生了什么变化？（单位：厘米） 课后巩固 1. 有 6 块边

25、长是 1 厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的 周长。 优秀学习资料欢迎下载 2. 下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成，求这个图形的周长。 3. 有两个相同的长方形，长是8 厘米，宽是 3 厘米，如果按下图叠放在一起，这 个图形的周长是多少？ 4. 一个长 12 厘米，宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长方形， 求所拼长方形的周长。 优秀学习资料欢迎下载 图（1） 5. 求下面图形（图 2）的周长（单位：厘米） 。 图（2） 6. 在（）里填上“”、 “”或“ =” 。 甲的周长（）乙的周长 7.下面是一个零件的平面图， 图中每条短线段都是5 厘米，

26、 零件长 35 厘米， 高 30 厘米。 优秀学习资料欢迎下载 这个零件的周长是多少厘米？ 8. 有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2 米做绿化带，剩下的部分仍是长 方形，且周长为 280 米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？ 9. 下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。 10.有两个相同的长方形，长7 厘米，宽 3 厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周 长。 优秀学习资料欢迎下载 第 4 讲 长方形、正方形的面积 专题简析： 长方形的面积 =长宽，正方形的面积=边长边长。掌握并能运用这两个面积公 式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较

27、隐蔽、图形比较 复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利 用“割补”、 “平移”、 “旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形 面积的问题，从而正确解答。 优秀学习资料欢迎下载 例 1 已知大正方形比小正方形边长多2 厘米，大正方形比小正方形的面积大40 平方 厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？ 分析从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40 平方厘米， 可以分成三部分，其中 A 和 B的面积相等。因此， 用 40 平方厘米减去阴影部分的面积， 再除以 2 就能得到长方形A和 B的面积，再用 A 或 B的面积除以 2 就是

28、小正方形的边 长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。 即学即练一 1，有一块长方形草地，长20 米，宽 15 米。在它的四周向外筑一条宽2 米的小路，求 小路的面积。 例 2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个 长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。 分析因为 AECE=6 ，DE EB=35 ，把两个式子相乘AECE DE EB=35 6，而 2 2 B A 优秀学习资料欢迎下载 CE EB=14 ，所以 AE DE=35 614=15。 即学即练二 1， 下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24 平

29、方厘米、 30 平方厘米和 32 平方厘米，求阴影部分的面积。 例 3 把 20 分米长的线段分成两段， 并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形 的面积相差 40 平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？ 分析我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40 平方分米就是图中的A 和 B两部分，如图。如果把B 移到原来小正方形的上面，不难 看出， A 和 B 正好组成一个长方形，此长方形的面积是40 平方分米，长 20 分米，宽 是 4020=2 （分米），即大、小两个正方形的边长相差2 分米。因此，大正方形的边长 就是（ 20+2）2=11（分米） ，面积是 1111=1

30、21（平方分米） 即学即练三 1，一块正方形，一边划出1.5 米，另一边划出 10 米搞绿化，剩下的面积比原来减少了 1350 平方米。这块地原来的面积是多少平方米？ 30 24 32 P NM F E D CB A 优秀学习资料欢迎下载 例 4 有一个正方形 ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1 倍，并画出来。 分析由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的 边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准， 分别作出 4 个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就 是原正方形面积的2 倍。 即学即练四 1，四个完全

31、一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的 面积分别是 49 平方米和 4 平方米，求其中一个长方形的宽。 例 5 有一个周长是 72 厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正 方形的面积是多少平方厘米？ 分析三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8 倍， 正方形的边长为 728=9（厘米） ，一个正方形的面积就是99=81（平方厘米）。 即学即练五 1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36 厘米，求每个正方 形的面积是多少平方厘米？ 优秀学习资料欢迎下载 课后巩固 1.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方

32、形的面积如图所示（单位：平方 厘米） ，求 A 和 B的面积。 2.下图中阴影部分是边长5 厘米的正方形， 四块完全一样的长方形的宽是8 厘米，求整 个图形的面积。 3.正方形的一组对边增加30 厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形 面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？ 4.把一个长方形的长增加5 分米，宽增加8 分米后，得到一个面积比原长方形多181 平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？ 5.一个正方形，如果它的边长增加5 厘米，那么，面积就比原来增加95 平方厘米。原 B 12 24 A 45 15 5 8 8 8 8 优秀学习资料欢迎下载 来正方形

33、的面积是多少平方厘米？ 6.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80 平方米。求 草坪的面积。 7.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28 条边的长都相等。如果此图的周长是 56 厘米，那么，这个图形的面积是多少？ 8.正图中，正方形 ABCD的边长 4 厘米，求长方形 EFGD 的面积。 9.有一张长方形纸，长12厘米，宽 10 厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩 下部分的周长是多少厘米？ 优秀学习资料欢迎下载 10.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD （如下图），已知大长 方形的面积是35 平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10

34、 厘米。求原来小长方 形的面积。 提高题 优秀学习资料欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载 第 5 周分类数图形 专题简析： 我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是 在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形 的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。 例题 1 下面图形中有多少个正方形？ 分析：图中的正方形的个数可以分类数， 如由一个小正方形组成的有63=18个， 22 的正方形有 52=10个， 33 的正方形有 41=4个。 因此图中共有 18104=32 个正方形。 即学即练一 下图中共有多少个正方形？ 优秀学习资料欢

35、迎下载 例题 2 下图中共有多少个三角形？ 分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各 类三角形的个数相加。 （1）图中共有 6 个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有3 个； （3）由三个小三角形组合的三角形有4 个； （4）由六个小三角形组合的三角形有1 个。 所以共有 6341=14个三角形。 即学即练二 下面图中共有多少个三角形？ 例题 3 数出下图中所有三角形的个数。 优秀学习资料欢迎下载 分析和三角形 AFG一样形状的三角形有5 个；和三角形ABF一样形状的三角形 有 10 个；和三角形 ABG 一样形状的三角形有5 个；和三角形 ABE一样形的

36、三角形有5 个；和三角形 AMD 一样形状的三角形有5 个，共 35 个三角形。 即学即练三 数出下面图形中分别有多少个三角形。 例题 4 如下图，平面上有12 个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正 方形有多少个？ 分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出： 优秀学习资料欢迎下载 （1）最小的正方形有6 个； （2）由 4 个小正方形组合而成的正方形有2 个； （3）中间还可围成 2 个正方形。 所以共有 622=10个。 即学即练四 下图中共有 8 个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？ 例题 5 数一数，下图中共有多少个三角形？ 分析我们可以

37、分类来数： 1，单一的小三角形有16 个； 2，两个小三角形组合的有10 个； 3，四个小三角形组合的有8 个； 4，八个小三角形组合的有2 个。 所以，图中一共有161082=36个三角形。 优秀学习资料欢迎下载 即学即练五 图中共有（）个三角形。 课后巩固 1. 下图中共有多少个正方形？ 2. 下图中共有多少个正方形，多少个三角形？ 3. 数一数，图中共有多少个三角形。 优秀学习资料欢迎下载 4. 数一数，图中共有多少个三角形？ 5. 下图中共有6 个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角 形？ 6. 下图中共有 9 个点，连接其中的四个点围成一个梯形， 一共能围成多少个梯

38、形？ 7. 图中共有（）个三角形。 优秀学习资料欢迎下载 8. 图中共有（）个正方形。 提高检测 第 6 讲尾数和余数 专题简析： 优秀学习资料欢迎下载 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做 余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下 手的问题。 例题 1 写出除 213 后余 3 的全部两位数。 分析因为 213=2103，把 210分解质因数： 210=2357，所以，符号题目 要求的两位数有 25=10，27=14，35=15，37=21，57=35，235=30，23 7=42，一共有 7 个两位数。 即学即练一 写出除

39、 109后余 4 的全部两位数。 例题 2 （1）125125125 125100 个 25积的尾数是几？ （2） （2126）（2126）（ 2126）100 个（2126） 积的尾数是 几？ 分析（1）因为个位 5 乘 5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125 相乘，个 位还是 5； （2）每个括号里 21 乘 26 积的个位是 6，我们只要分析100个 6 相乘，积的尾数 是几就行了。因为个位6 乘 6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（ 2126）连乘， 积的个位还是 6。 即学即练二 优秀学习资料欢迎下载 212121 2150 个 21 积的尾数是几？ 例题 3 （1）444 4

40、50 个 4 积的个位数是几？ （2）999 951 个 9 积的个位数是几？ 分析（1）我们先列举前几个4 的积，看看个位数在怎样变化，1 个 4 个位就是 4；44 的个位是 6；444 的个位是 4；4444 的个位是 6由此可见，积 的尾数以“ 4，6”两个数字在不断重复出现。502=25没有余数，说明50 个 4 相乘， 积的个位是 6。 （2）用上面的方法可以发现， 51 个 9 相乘时，积的个位是以“ 9，1”两个数字不 断重复， 512=251，余数是 1，说明 51 个 9 本乘积的个位是9。 即学即练三 242424 242001 个 24 ，积的尾数是多少？ 例题 4 把

41、 1/7 化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 分析因为 1/70.142857142857，化成的小数是一个无限循环小数，循环节 “142857”共有 6 个数字。由于 1006=164，所以，小数点后面的第100 位是第 17 个循环节的第 4 个数字，是 8。 即学即练四 把 1/11 化成小数，求小数点后面第2001 位上的数字。 优秀学习资料欢迎下载 例题 5 555 552001 个 5 13，当商是整数时，余数是几？ 分析如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在 按怎样的规律变化。 从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5 这六个数字

42、不断重复出现。2001 6=3333，所以，当商是整数时，余数是4。 即学即练五 44446100 个 4 ，当商是整数时，余数是几？ 课后巩固 1，178 除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？ 2.写出除 1290后余 3 的全部三位数。 优秀学习资料欢迎下载 3，1.5 1.5 1.5 1.5200 个 1.5 积的尾数是几？ 4， （1263）（1263）（1263）（ 1263）1000 个（1263） 积的尾数是几？ 5，123 9899，积的尾数是多少？ 6，949494 94102 个 944949 49101 个 49 ，差的个位是多 少？ 7，5/7 写成循环小

43、数后，小数点后第50 个数字是几？ 8，有一串数： 5、8、13、21、34、55、89，其中，从第三个数起，每个数恰 优秀学习资料欢迎下载 好是前两个数的和。在这串数中，第1000 个数被 3 除后所得的余数是多少？ 9，当商是整数时，余数各是几？ （1）66664100 个 6 （2）444474200 个 4 （3）88887200 个 8 （4）1111750 个 1 提高检测 优秀学习资料欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载 第周一般应用题（一） 专题简析： 一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件 是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此

44、，一般应用题没 有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、 直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推 出所求问题（综合法） ；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际 解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。 例 1 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16 人参加少先队活动，剩下的同学 相当于原来 4 个班的人数。原来每班多少人？ 【思路导航】：从每班选 16 人参加少先队活动， 6 个班共选 166=96（人） 。剩下的同 学相当于原来 4 个班的人数，那么， 96 人就相当于原来（ 64）个班人人

45、数，所以， 原来每班 962=48（人） 。 即学即练一 五个同学有同样多的存款，若每人拿出16 元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱 正好等于原来 3 人的存款数。原来每人存款多少？ 例 2 某车间按计划每天应加工50 个零件，实际每天加工56 个零件。这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多 少个零件？ 优秀学习资料欢迎下载 【思路导航】 如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多563120=288 （个） 。为什么会多加工288 个呢？是因为每天多加工了5650=6（个） 。因此，原计 划加工的天数是 2886=48（天）

46、 ，实际加工了 5048120=1520（个）零件。 即学即练二 汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40 千米，实际每小时多行了10 千米，这样比 原计划提前 2 小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？ 例 3 甲、乙二人加工零件。 甲比乙每天多加工6 个零件，乙中途停了 15 天没有加工。 40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？ 【思路导航】甲工作了 40 天，而乙停止了 15天没有加工，乙只加工了25 天，所以 他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20 天加工的零件和乙25 天加工的零件同样 多。由于甲每天比乙多加工6 个，20 天一共多加工 620=

47、120（个） 。这 120个零件相 当于乙 25-20=5（天）加工的个数，乙每天加工120（25-20）=24（个） 。乙一共加 工了 2425=600（个） ，甲一共加工了 6002=1200（个） 即学即练三 1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10 个。途中乙因事休息了5 天，20 天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2 倍，这时两人各加工帽子多少个？ 优秀学习资料欢迎下载 例 4 服装厂要加工一批上衣，原计划20 天完成任务。实际每天比计划多加工60 件， 照这样做了 15 天，就超过原计划件数350 件。原计划加工上衣多少件？ 【思路导航】 由于每天比计划多加工60件， 15天就比原计划的 15天多加工 6015=900 （件） ，这时已超过计划件数350 件，900 件中去掉这 350件，剩下的件数就是原计划 （2015）天中的工作量。所以，原计划每天加工上衣（900350）（2015）=110 （件） ，原计划加工 11020=2200（件） 。 即学即练四 用汽车运一堆煤，原计划8 小时运完。实际每小时比原计划多运1.5 吨，这样运了6 小时就比原计划多运了3 吨。原计划 8 小时运多少吨煤？