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1、优秀学习资料欢迎下载 平行四边形 平行四边形及其性质 (一) 一、教学目标： 1 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角以及对角线的性质 2 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的证明 二、重点、难点 1 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相平分的性质，以及性质的应用 2 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算 三、课堂引入 1我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是四边形。 你能说出平行四边形的定义吗？ (1)定义： 两组对边分别的四边形是平行四边形 (2)如右图：平行四边形用符号“”来表示读作。 四：
2、平行四边的定义： 用文字语言表示为：（如图是图形语言） 在四边形 ABCD 中， AB 平行于 DC，AD 平行于 BC，那么四边形ABCD 是 用符号语言表示为： AB/DC ，AD/BC ， 四边形ABCD 是。 （判定）；反过来： 四边形 ABCD 是。 AB/DC，AD/BC（性质） 注意：平行四边形中对边是指无公共的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共的边，邻角是指有一条公 的两个角而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角 所以我说定义很特殊：既可以当用，又可以当用。 3;平行四边的性质： 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质（如内角和为360）
3、和两组对边分别平行 外，还有什么特殊的性质呢？我们进行探究 我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别 平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边，对角，邻角， （1）证明，如图：AB CD， ADBC+ BAD 180，+=180平行四边形中， 相邻的角互为补角 （2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等 下面证明这个结论的正确性 已知：如图ABCD ， 求证：ABCD，CBAD ，B D，BAD BCD 分析：作ABCD 的对角线AC ，它将平行四边形分成ABC 和 CDA ， 证明这两个三角形即可得到结论 （作对角线是解决四边形问题
4、常用的线，通过作对角线，可以把四边形的问题转化为形 的问题来解决） 优秀学习资料欢迎下载 证明：连接AC，如图 AB ，AD BC， 1 3， 4 又 AC CA，ABC CDA （ASA ） AB ，AD ， D又1 4 2 3，BAD BCD 由此得到：用文字语言表示为 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等 用符号语言表示为： 如图在ABCD 中AB，CBAD ， B，A C 五、例习题分析 例 1 如图，在平行四边形ABCD 中， AE=CF ，求证： AF=CE 分析：要证 AF=CE ， 需证 CBE， 由于四边形ABCD 是平行四边形， 因
5、此有=B ， AD= ， AB=CD ， 又 AE=CF ，根据等式性质，可得=DF由“边角边”可得出所需要的结论 证明在ABCD 中， AB=CD ，又= BE=DF. CBAD ， B D . 六、随堂练习 1填空： （1）在ABCD 中， A=50，则 B= 度， C= 度， D= 度 （2）如果ABCD 中， A B=240，则 A= 度， B= 度， C= 度， D= 度 （3）如果ABCD 的周长为 28cm，且 AB：BC=25，那么 AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm 2如图 4.39，在ABCD 中， AC 为对角线， BEAC ，DFAC，E、F 为垂足
6、， 求证： BEDF 七、课后练习 1 （选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（） （A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是360 3如图， AD BC，AECD，BD 平分 ABC ，求证 AB=CE 【证明】 : AD BC DBC= ,又 BD 平分 ABC 。 =ADB, = AB=AD. 又 AD BC，AECD 四边形AECD 是 AD=CE ， 又 AB=AD . 19.1.1 平行四边形的性质 (二) 一、教学目标： 1 理解平行四边形对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质 2 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和证明 一、
7、重点、难点 1 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用 2 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算 三课堂引入 优秀学习资料欢迎下载 1复习提问： （1）的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是。 （2）平行四边形的性质： 具有一般四边形的性质（内角和是360） 角：平行四边形的对角相等，邻角互补 边：平行四边形的对边相等 2 （1）平行四边形是对称图形，两条对角线的交点是； （2）平行四边形的对角线互相 用符号语言表示为：如图在EFGH 中 EG、HF 交与 O 点 OH= ,GO= 四、例习题分析 例 1已知：如图421，ABCD 的对角线 AC 、BD
8、相交于点O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相交于点E、 F 求证： OE OF，AE=CF ，BE=DF 证明：在ABCD 中， AB CD， 1 3又OC( )， AOE COF （） OEOF，=CF（全等三角形对应边相等） ABCD ， AB= （平行四边形对边相等）AB AE=CD CF 即 BE=FD 【引申】若例 1 中的条件都不变，将 EF 转动到图b 的位置，那么例1 的结论是否成立？若将EF 向两方延长 与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图 d） ，例 1 的结论是否成立，说明你的理由 请你利用图（ b）来证明。你想到的辅助线是。可以利用对顶。 （自己完成证
9、明） 【证明】 例 2 已知四边形ABCD 是平行四边形， AB 10cm，AD 8cm，AC BC，求 BC、CD、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积 平行四边形的性质练习题 1.如图 1 所示， a/b,AB/CD,CEb,FGb,点 E、G 为垂足，则下列说法中错误的是( ) AAB=CD B.CE=FG C.A、B 两点之间的距离就是线段AB 的长D.直线 a、b 之间的距离就是线段CD 的长 优秀学习资料欢迎下载 图1 a b FCA GEDB 图 2 O A B C D E 图3 O A B C D 2.如图 2 所示，ABCD 的对角线相交于点O,且 ABBC,过点 O 作
10、OEAC 交 BC 于点 E,如果ABE 的周长为b,则ABCD 的周长为是 ( ) A、b B、1.5b C、2b D、3b 3.如图 3 所示， 在ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，如果 AC=12 ，BD=10 ，AB=m, 那么 m 的取值范围是。 4. 如图 4 所示，在ABCD 中，A=60 0，DE 平分 ADC 并交 AB 于点 E,DE=3，BE=2,. 求ABCD 各边的长、各角的度数 和面积。 图 4 D C A BE 5. 如图 4 所示，在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点 O,已知 AB=10,AC=8,BD= x,AD=a,试求x和a的取值
11、范围。 图5 O D C A B 6. 如图 6 所示，在ABCD 中， AEBD,CFBD,垂足分别为E、 F。点 G、H 分别为 AD、BC 的中点，连接GH 交 BD 于点 O,求证 :EF 和 GH 互相平分 . O 图 6 A B D C E F G H 7.已知ABCD 的周长为52，自顶点D 作 DEAB 于点 E,DFBC 于点 F,若 DE=5 ，DF=8，求 BE+BF 的长？ 8.已知如图7 所示，在ABCD 中，点 E 在 AC 上， AE=2EC, 点 F 在 AB 上，BF=2AF, 若BEF 的面积为2cm 2,求 ABCD 的面 优秀学习资料欢迎下载 积。 图7
12、 A B C D F E 9.平行四边形的一条边长是14cm，它的两条对角线长可以是( ) A12cm,16cm B.20cm ,22cm C.10cm,16cm D.14cm,12cm 10. 如图 8 所示，在ABCD 中，点 E 是 AD 的中点， CE 交 BA 的延长线于点F.若 BC=2AB, FBC=70 0，求 EBC 的度数。 E 图8 D A C B F 11. 如图 9 所示， 在ABCD 中， AE,BF 分别平分DAB 和ABC,交 CD 于点 E,F,AE,BF 相交于点M。 (1)试说明 : AMB=90 0 ; （2）判断线段DF 与 CE 的大小关系，并予以说
13、明。 图 9 D AB C E F 12. 如图 10 所示，在ABCD 中，A=70 0，将 ABCD 折叠，使点D、C 分别落在点F、E 处(点 F、E 都在 AB 所在的直线 上),折痕为 MN, 则AMF 等于 ( ) A700 B. 40 0 C.30 0 D. 20 0 图 10 M A B N C E D F 13. 如图 11 所示，在ABCD 中，EAD=BAF.（1）说明CEF 是等腰三角形；(2) CEF 的哪两边长度之和等于平行四 边形 ABCD 的周长 ?为什么 ? 优秀学习资料欢迎下载 图11 E F C A D B 14.已知，如图12 所示，在ABC 中， BD
14、 是ABC 的平分线， DE/BC 交 AB 于 E,EE/AC 交 BC 于飞，则BE=FC, 为什么 ? 图 12 A B C E F 15. 如图 12 所示，在ABCD 中，对角线BDAB, A=30 0,DE 平分 ADC 交 AB 的延长线于点E,连接 CE. （1）求证： （）设，连接交于点，求的长。 图 12 D A E C B 平行四边形的判定 一、教学目标： 1平行四边形的判定方法，理解并掌握用边、角，对角线来判定平行四边形的方法 2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题 二、重点、难点 优秀学习资料欢迎下载 3 重点：平行四边形的判定方法及应用 4 难点：平行四边
15、形的判定定理与定理的灵活应用 三、课堂引入 1.平行四边的判定方法： （1）文字语言表示为： 平行四边形判定方法1 两组对边分别的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 两组对边分别的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法3 对角线互相的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法4 两组对角的四边形是平行四边形 （2）用符号语言表示：如图： （1）AB，CB四边形ABCD 是平行四边形 （2） AO=CO ,BO=DO. 四边形ABCD 是平行四边形（3） BAD =， ABC= 四边形ABCD 是平行四边形. 四、例习题分析 例 1 已知：如图ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O，
16、E、F 是 AC 上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE 是平行四边形 分析 :欲证四边形BFDE 是平行四边形可根据判定方法2 来证明 证明 :在ABCD 中，AO=CO,BO=DO, 又 E,F 为 AO,CO 的中点 = ,BO=DO四边形BEDF 是。 例 2已知：如图， ABBA，BC CB， CAAC 求证： (1) ABC B ， CAB A ，BCA C ； (2) ABC 的顶点分别是 B C A各边的中点 证明： (1) ABBA ，CBBC， 四边形 ABCB 是形 ABC B(平行四边形的对角相等) 同理 CAB A ， C (2) A BBA， C BBC四边
17、形ABCB 是平行四边形同理，四边形ABA C 是平行四边形 ABBC ， AB AC( 平行四边形的对边相等) AC同理BA，AB ABC 的顶点 A、B、C 分别是 BCA的边 BC、 CA、AB的中点 例3 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形你能在图中找出所有的平行四边形吗？并 说说你的理由 解：有 6 个平行四边形，分别是， 理由是：因为正ABO 正 AOF ，所以 AB= ，= FA 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， 可知四边形是平行四边形其它五个同理 五、随堂练习 1如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O， （1）若 AD=8cm
18、，AB=4cm，那么当 BC=_ _cm，CD=_ _cm时， 四边形 ABCD 为平行四边形； （2）若 AC=10cm，BD=8cm，那么当 AO=_ _cm，DO=_ _cm时， 四边形 ABCD 为平行四边形 优秀学习资料欢迎下载 2已知：如图，ABCD 中，点 E、F 分别在 CD、AB 上， DFBE，EF 交 BD 于点 O求证： EO=OF 【证明】 ： 六、课后练习 1 （选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（） （A）对角线互相垂直（B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分 2已知：如图，ABC ，BD平分 ABC ，DEBC，EFAC ， 求
19、证： BE=CF 19.1.2（二） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法 2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题 二、重点、难点 1重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法 2难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用 三、课堂引入 1.平行四边形的性质有个； 2平行四边形的判定方法有个。 【探究】取两根等长的木条AB 、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行 四边形吗？（）填是或者不是 结论 ：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图 ; AD=CB
20、 ，且AB CD, 四边形 ABCD 是。 四、例习题分析 例1）已知：如图，ABCD 中， E、F分别是 AD 、BC的中点， 求证： BE=DF 分析：证明 BE=DF ，可以证明两个三角形，也可以证明 四边形 BEDF是四边形， 比较方法， 可以看出第二种方法简单 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD CB，AD=CB E、F分别是 AD 、BC的点， DEBF，且 DE= 2 1 AD ， BF= 2 1 优秀学习资料欢迎下载 DE= 四边形 BEDF是平行四边形（） BE=DF 例2已知：如图，ABCD 中， E、F分别是 AC上两点，且 BEAC于E，DFAC 于F求证：四
21、边形BEDF是平 行四边形 分析：由已知得BEAC 于E， DF AC 于F，所以 BE DF需再证明 BE= ，这需要证明ABE 与 CDF ， （由 角角边即可证明全等） 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD，且 AB CD BAE= DCF （） BE AC于E，DFAC于 F， BE DF，且 BEA= DFC= ABE CDF （） BE=DF 又 BE DF， 四边形 BEDF是四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） 五、课堂练习 1 （选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（） （A）ABCD，AD=BC （B） A=B， C=D
22、（C）AB=CD ， AD=BC （D）AB=AD ，CB=CD 2已知：如图，AC ED，点 B在AC 上，且 AB=ED=BC ， 找出图中的平行四边形，并说明理由 3已知：如图，在ABCD 中， AE、CF 分别是 DAB 、 BCD 的平分线求证：四边形AFCE 是平行四边形 六、课后练习 1判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；() (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；() (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；() (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；() (5)对角线相等的四边形是平行四边形；() (6)对角线互相平分的四边形
23、是平行四边形() 2延长 ABC 的中线 AD 至 E，使 DE=AD 求证：四边形ABEC 是平行四边形 优秀学习资料欢迎下载 平行四边形的判定三角形的中位线 一、教学目标： 1 理解三角形中位线的，掌握它的性质能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的和计算 3经历 探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的 4能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法 二、重点、难点 1重点：掌握和运用形中位线的性质2难点：三角形中位线性质的证明（线的添加方法） 三、 课堂引入 创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切
24、割的？（答案如图） 图中有几个平行四边形？。 你是如何判断的？。 五、例习题分析 例 1如图，点 D、E、分别为 ABC 边 AB 、AC 的中点，求证：DEBC 且 DE= 2 1 BC 分析：所证明的结论既有平行关系，又有关系，联想已学过的知 识，可以把要证明的内容转化到一个中，利用平行四边形的 对边平且的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这 就需要添加适当的线来构造平行四边形 方法 1：如图（ 1） ，延长 DE 到 F，使 EF=DE ，连接，由 ADE ，可得 AD FC，且 AD=FC ，因此 有 BD FC，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形所以DF BC，DF
25、=BC ，因为 DE= 2 1 DF，所以 DEBC 且 DE= 2 1 BC （也可以过点C 作 CFAB 交 DE 的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）自己写清楚辅助线的 做法 【证明】： 定义 ：连接三角形两边点的线段叫做三角形的中位线 （1）想一想： 一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么 区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半符号语言表示为： 在 ABC 中，AD= , AE=CE, DE 2 1 BC 且 DEBC。 例 2 已知：如图（1） ，在四边形ABCD中， E、F、 G、
26、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连结AC（图（ 2） ） ， DAG 中，AH=HD ，CG=GD ， 优秀学习资料欢迎下载 HGAC， HG= 2 1 AC （三角形中位线性质） 同理 EFAC，EF= 2 1 ACHG EF，且 HG EF 四边形 EFGH 是平行四边形 此题可得结论：顺次连结四边形四条边的点，所得的四边形是四边形 六、课堂练习 1 （填空）如图，A、 B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C， 连结 AC 和 BC，并分别找出AC 和 BC 的中点 M、N， 如果测得MN=20 m ，那么 A、B 两点的距离是m， 理由是 2已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和 12cm ， 求连结各边中点所成三角形的周长是 七、课后练习 1 （填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长 是cm 2已知：如图，E、F、G、 H 分别是 AB 、BC、CD、DA 的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形