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1、优秀学习资料欢迎下载 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次连接所组成的图形 不等边三角形 按边分类底边和腰不等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三边不等关系：任意一边之小于其它两边的和而大于其它两边的差边 知识点一 （一）三角形相关概念 1三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点 ：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接 2三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用 A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三 角形可记作 ABC ，其中线段AB 、BC 、AC是三角形的三条边，A、 B、 C分别表示三角 形的三个内角 3三角形中的三种重
2、要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶 点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。 注意： 三角形的角平分线是一条线段，可以度量 ，而 角的平分线是经过角的顶点且平分 此角的 一条射线 三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部 三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作 图来画 （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角 形的中线 三角形的三条中线交于三角形内部一点。 注意： 三
3、角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点 画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可 优秀学习资料欢迎下载 （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做 三角形的高线，简称三角形的高 锐角三角形三条高线交于三角形内部 一点 直角 三角形三条高线交于直角顶点 ， 钝角 三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一 点。 注意： 三角形的三条高是线段 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就 是该边上的高 （二）三角形三边关系定理 三角形两边之和大于第三边，故同时满足ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+bc， b+ca，c+ab
4、三角形两边之差小于第三边，故同时满足ABC三边长 a、b、c 的不等式有： ab-c ， ba-c ，cb-a 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于 第三条线段即可 （三）三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、 大小都确定了， 三角形的这个性质就叫做三角形 的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理 数学思想 : 解三角形有关角的“两种思想” 1.转化思想：解决与三角形内角和有关的证明或计算时，应注意运用转化思想将已知条件转 化到三角形的内部. 运用转化思想将复杂的问题转化为简单的问题,将未知的问题转化为已知的问题,是常用的数 学方
5、法 . 2.方程思想：三角形内角和与三角形外角的性质，本身就是一种等量关系，因此在求三角形 有关角的度数时要注意方程思想的运用. 3.整体思想，在一个图形中同时出现两条角平分线时,常常要用到整体思想. 优秀学习资料欢迎下载 一与三角形有关的线段 三角形三边关系性质的运用 例题 1.(2013南通中考 )有 3cm，6cm， 8cm，9cm 四条线段，任选其中的三条线段组成一 个三角形，则最多能组成三角形的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 练习 1.(2012义乌中考 )如果三角形的两边长分别为3 和 5，第三边长是偶数，则第三边长可以 是() A.2 B.3 C.4 D.8 2.等腰
6、三角形两边长分别为4 和 8，则这个等腰三角形的周长为（） 3.已知 a、b、c 是三角形的三边，化简cba-c-b-a. 三角形的高、中线和角平分线有关的计算 例题1 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分是（） A 中线B 角平分线C 高D 中位线 练习 1.如图， AE 是 ABC 的中线已知EC8，DE3，则 BD 的长为 () A2 B3 C4 D5 2.如图， D 是 BC 的中点， E 是 AC 的中点点S ADE 2，则 SADC 优秀学习资料欢迎下载 3.如图， AD，AE 分别是 ABC 的高和中线已知AD 5 cm，EC2 cm，求 ABE 和 AEC 的面积
7、 4.如图， ACB 中， ACB=90 ，CD 是 ABC 的高 （1）找出两组相等的角。 （2）如果 AC=8 ，BC=6 ，AB=10 ，求 CD 的长 5、如图，已知ABC 的周长为21cm，AB=6cm ，BC 边上中线AD=5cm ， ABD 周长为 15cm，求 AC 长 6.在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，若ABD 和 ADC 的周长之差为4（ ABAC ） ， AB 与 AC 的和为 14，求 AB 和 AC 的长 7. 如图,AD 是ABC的中线 , 已知 ABD的周长为 25cm,AB比 AC长 6cm,则ACD 的周长为cm. 优秀学习资料欢迎下载 8.如
8、图， P 为 ABC 内任意一点，求证：PAPBPC 2 1 (AB BCAC) 二、三角形与角的关系 三角形的内角 结论 1：三角形的内角和为180 表示：在 ABC中， A+B+ C=180 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： （1）构造平角 可过 A点作 MN BC(如图 ) 可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图） 构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图） 1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180 2、由三角形内角和等于180，可得出 (1) 直角三角形两锐角互余； (2) 一个三角形最多有一个直角或钝角
9、； (3) 任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角； (4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60 三角形与内角 三角形内角和定理的“三个应用” 1.已知两个角的度数求第三个角的度数.2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和. 优秀学习资料欢迎下载 3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数. 1若 A50， B C，则 C 2. 若 A B C123，则 A， B 60 ， C 3如图， A40， 1 2 3 4. 7在 RtABC 中， C90.若 A48，则 B 8在 RtABC 中， C90， A5B，则 A 9(在一个三角形中，有一个角等于另外两个角的和，则这个三角形一定是
10、() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 10.(2013 重庆中考 ) 如图，AB CD ，AD平分 BAC ，若 BAD=70 ，那么 ACD 的度数为( ) 11.如图，在 ABC 中， A36， C72， BD 平分 ABC ，求 DBC 的度数 优秀学习资料欢迎下载 12如图，点D，E 分别是 AB ，AC 上的点，连接BE， CD，若 B C，则 AEB 与 ADC 的大小关系是 () A ADC AEB B ADC AEB C ADC A , ACD B. 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补。 3外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），
11、可见一个三角形共有六 个外角 三角形外角的“三个性质” 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 优秀学习资料欢迎下载 2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 3.三角形的外角和等于360. 注意：三角形的外角和是指三角形的每个顶点处各取一个外角的和. 1.如图，则 2 如图， 1， 2， 3 是 ABC 三个不同的外角，则1 2 3 3.已知 ABC 中， A， B， C 的外角度数之比为234，则这个三角形是() A直角三角形B等边三角形 C钝角三角形D等腰三角形 4如图，则1 2 3 B 5.(2012河北中考 )如图， AB ，CD 相交于点O，ACCD 于点 C
12、，若 BOD=38 ，则 A 等于. 优秀学习资料欢迎下载 6.如图，直线ab，直线 AC 分别交 a，b 于点 B，C，直线 AD 交 a于点 D.若 120， 265， 则 3 7如图， A、 1、 2 的大小关系是() A A 1 2 B 2 1 A C A 2 1 D 2 A 1 8.如图， ABC 中，A50，点 D，E 分别在 AB，AC 上，则 1 2 的大小为 () A130B230C180D310 9(2012湖州中考 )如图，在 ABC 中， D，E 分别是 AB ，AC 上的点，点F 在 BC 的延长 线上， DEBC， A=46 ， 1=52，则 2=度. 优秀学习资料
13、欢迎下载 10. 如图所示，已知 AB CD ，则( ) A.1=2+3 B.1=22+3 C.1=22- 3 D.1=180-2-3 11. 如图, 1, 2, 3, 4 恒满足的关系式是( ) A.1+2=3+4 B.1+2=4- 3 C.1+4=2+3 D.1+4=2- 3 12. 如图，在 ABC中，已知 ABC=40 ， BCA=76 ，D为 BC延长线上一点， 且1=D ，求 BAD 的度数 . 优秀学习资料欢迎下载 13.如图，求证： BOCABC. 证明：延长 BO 交 AC 于点 D，因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和，所以 BDC AB， BOCBDCC，所
14、以 BOCA BC 14.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130， 250，则 3 等 20 15.如图， GFC25， G20，D45， A35，求 AED 的度 数解： 125 16.如图，将 ABC 沿 EF 折叠，使点 C 落到点 C处，试探求 1，2 与C 的关系 优秀学习资料欢迎下载 17.(2013盘锦中考 )如图， 将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角 板的一直角边重合，含30角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的 一个顶点在纸条的另一边上，则1 的度数是()A.30 B.20C.15 D.14 三、多边形及其内角和 从 n 边形的
15、一个顶点出发，可以引（n-3 ）条对角线，它们将多边形分为（n-2 ）个三角 形，一个n 边形共有 2 )3(nn 条对角线 n 边形的内角和为（n2） 180 多边形的外角和为360 每个外角都等于 n 360 1正 n 边形的一个外角的度数为60，则 n 的值为 2 (2014 南京模拟 )如图，1， 2， 3， 4 是五边形ABCDE 的 4 个外角，若 A120， 则 1 2 3 4 . 3.多边形每一个内角都等于150，则该多边形的边数是() A10 条B 11 条C12 条D13 条 4在一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角() A1 个B2 个 优秀学习资料欢
16、迎下载 C3 个D4 个 5若凸 n边形的内角和为1 260，则从一个顶点出发引的对角线条数是 6.如图，五边形ABCDE 中， AECD，A107， B121，求 D E 的度数； C 的度数 7(2013泰安中考 )如图，五边形ABCDE中， AB CD， 1， 2， 3 分别是 BAE ， AED ， EDC 的外角，则 1+2+3 等于() A.90B.180C.210D.270 8(2013莱芜中考 )正十二边形每个内角的度数为. 【知识归纳】求正多边形每个内角的两种方法 1.已知正多边形的边数：利用求解 . 2.先利用 n 360 求正多边形的外角，再利用内角与外角互补求内角. 9
17、.(2013连云港中考)如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则1=. 【解题指南】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形 的内角和定理，即可得出答案. 优秀学习资料欢迎下载 练习 1. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为( ) A.75 B.60 C.65 D.55 2. 一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是( ) A4 条 B5 条 C6 条 D7 条 3. 若一个多边形的边数为8 条，则这个多边形的内角和是( ) A900 B540 C1080 D360 4. 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( ) A增加 180 B 增加 360
18、C 减少 360 D不变 . 5. 一个三角形中最多有个内角是钝角 , 最多可有个角是锐角 . 6如图，已知在ABC 中， ABC 与 ACB 的平分线相交于点O，若 BOC 140，求 A 的度数 7. 如图所示 , ABC 的角平分线 BO,CO 相交于点 O,则BOC 与A的关系是什么 ? 优秀学习资料欢迎下载 8. 如图， ABC中， 12，ABC C，4C，求 4 的度数 9. 如图 1, ABC中,ADBC于 D,CE AB于 E. (1) 猜测 1 与2 的关系 , 并说明理由 . 10.如图, 在ABC中, B=60, C=54 ,AD平分 BAC 交 BC于点 D. 优秀学习资料欢迎下载 (1) 求ADB,ADC 的度数 . (2) 若 DE AC于 E,求ADE的度数 . 11.(2013 荆州中考 ) 如图， AB CD ，ABE=60 ， D= 50，则 E的度数为( ) A.30 B.20 C.10 D.40 12. 如图，直线 MA NB ，A=70 ， B=40，则 P= .