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1、学习必备欢迎下载 第 19 讲数论综合 知识点精讲 一、特殊数的整除特征 1.尾数判断法 1)能被 2 整除的数的特征： 2)能被 5 整除的数的特征： 3)能被 4（或 25）整除的数的特征： 4)能被 8（或 125）整除的数的特征： 2.数字求和法： 3.99 的整除特性： 4.奇偶位求差法： 5.三位截断法： 特别地： 7 11 13=1001，abcabc=abc 1001 二、多位数整除问题 技巧： 1目的是使多位数“ 变短 ” ，途径是结合数的整除特征和整除性质 2对于没有整除特性的数，利用竖式解决。 三、质数合数 1.基本定义 【质数】 【合数】 注：自然数包括0、1、质数、合
2、数. 【质因数】 【分解质因数】 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=a1a 2a3an，其中 a1、a2、a3an都是合数 N 的质因数，且 a1a2a3 an。 学习必备欢迎下载 【互质数】 【偶数】 【奇数】 2.质数重要性质 1)100以内有 25个质数： 2)除了 2和5，其余的质数个位数字只能是： 3)1既不是质数 ,也不是合数 4)在质数中只有2是偶数 ,其他质数都是奇数 5)最小的质数是2.最小的奇质数是3 6)有无限多个 3.质数的判断： 1)定义法：判断整除性 2)熟记 100以内的质数 3)平方判断法： 例
3、如：对 2011，首先 442201145 2，然后用 1至44中的全部质数去除 2011，即可叛断出2011为质数 . 4.合数 1)无限多个 2)最小的合数是4 3)每个合数至少有三个约数 5.互质数 1)什么样的两个数一定是互质数？ 注意： 分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此 ,要分解的合数应写在等号左边,如： 21=37,不能写成： 37=21. 6.偶数和奇数 1)0 属于偶数 2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8 的数是 偶数；个位数字是1,3,5,7,9 的数是奇数 3)除 2 外所有的正偶数均为合数 4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍 数是他们乘积的一半
4、 5)奇 奇=偶 偶 偶 =偶 偶 奇=奇 奇 奇=奇 偶 奇=偶 偶 偶 =偶 学习必备欢迎下载 四、约数与倍数 1.约数与倍数概念： 2.一个数约数的个数： 3.平方数与约数个数的关系： 4.最大公约数与最小公倍数求法： 分解质因数： 辗转相除法： 5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。 6.分解质因数的作用。 整除问题 例题1 求无重复数字，能被75 整除的五位数 3 6 5A B 例题2将自然数1、2、 3、4、5、 6、7、8、9 依次重复写下去组成一个1993 位数，试问这个数能否被3 整除？ 例题3 一个五位数 4 7 5x y 同时是 11 与 25 的倍数，求
5、这个五位数 例题4（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0如果它能被11 整除，那么这个多位数最小是多少？ （2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11 整除，那么这个多位数最小是多少？ 例题5在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45 整除的数最小是多少？ 学习必备欢迎下载 例题6有 5 个连续质数的乘积是一个形如“ ” 的六位数， 如果其中的 “”和 “ ” 各代表一个数字， 那么这个六位数是 例题7 如果六位数7337 既是 13 的倍数，又是125 的倍数，那么这个六位数可能是多少？ 例题8一个三位数的各个数字互不相同，且能被 11 整除，
6、去掉末位数字后所得的两位数能被9 整除这 样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？ 例题9将自然数1，2，3， ，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213 ” 当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被90 整除请问： N 是多少？ 质数与合数 例题10请把下面的数分解质因数： （1）2635 （2）22425 例题11算式 924 17514095 的计算结果的末位有多少个连续的0？ 学习必备欢迎下载 例题12100！末尾有多少个连续的0？ 例题13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10 的自 然数把三个人按个人总环数由高到低
7、排列，依次是甲、乙、丙请问：靶子上4 环的那一枪是 谁打的？ 例题14（1）60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数这个三位数至少是多少？ （2）72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数这样的三位数一共有多少个？ 例题15把从 1 开始的若干个连续的自然数1，2，3，乘到一起已知这个乘积的末尾13 位恰好都是 0请问： （1）最后出现的自然数最小应该是多少？ （2）若称除以12 为一次操作，设（1）中出现的最小自然数为n，对 n！至少进行几次操作，最后的 结果才会出现余数？ 例题16把 39、45、49、 56、60、70、78、84、91 这 9 个数分成3 组，使每组中3个数的乘积都相
8、等？ 例题17从 1！ ，2！ ，3！ ，100！这 100 个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数请 问：去掉的那个数是什么？ 学习必备欢迎下载 约数与倍数 例题18480 有多少个约数？1440 的所有约数的和是多少？ 例题19 求一组分数 21 25 、 9 20 、 7 2 10 的最大公约数 例题20已知两个自然数的差为4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为252，求这两个自然数 例题21两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，那么这两个数的差有几种可能？ 例题22已知 a 有 6 个约数， b 有 10 个约数，且a、b 的最大公约数是12，求 a 与 b 例
9、题23甲数有 15 个约数， 乙数有 10 个约数， 甲、乙两数的最小公倍数是720，求甲、乙两数各是多少？ 例题24两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？ 例题25老师在黑板上写下三个数：108,396， A，让同学们求它们的最小公倍数小马虎误将108 当做 180 进行计算，结果竟然与正确答案一致A 最小等于几？ 学习必备欢迎下载 例题26大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步 长 54 厘米，爸爸每步长72 厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下60 个脚印问 这个花圃的周长是多少？ 余数
10、计算、物不知数与同余 例题27有 5000 多根牙签，按以下6 种规格分成小包：如果10 根一包，最后还剩9 根；如果9 根一包， 最后还剩8 根；如果依次以8，7，6，5 根为一包，最后分别剩7，6，5，4 根原来一共有牙签 多少根？ 例题28一个三位数除以21 余 17，除以 20 也余 17这个数最小是多少？ 例题29 有一个数，除以3 的余数是2，除以 4 的余数是1请问：这个数除以12 余数是几？ 例题30100 多名小朋友站成一列从第一人开始依次按1，2，3，11 的顺序循环报数，最后一名同 学报的数是9；如果按 1，2，3，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11请问：
11、 一共有多少名小朋友？ 例题31 20093 333 个 的个位数字是_ 例题3223456789除以 4、 5、9 所得的余数分别是_、_、 _ 例题33一个自然数除以2 的商是一个自然数的平方，而除以3 的商是一个自然数的立方，符合条件的最 学习必备欢迎下载 小的自然数是 综合练习题 例题34求满足下面条件的整数a、b： 1） 33|1998ab2）99|14 75 8ab 例题35一个能被99 整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少？ 例题36 用 1,2,3,4,5,6,7 七个数字组成三个两位数和一个一位数,并且使这四个数之和等于100,要求最大的 两位数尽可能大,那么 ,最大的两位数是_.