六年级奥数讲义列方程解应用题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 第十讲列方程解应用题 小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多 少只猩猩， 管理员叔叔开心的答道： “头数加只数， 只数减头数， 头数乘只数， 只数除头数， 把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？ 呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！ 内容概述 在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见 的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的 解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用

2、算术方法解答应用题，时常要用逆向思考， 列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使 未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量 关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。 列方程解应用题的一般步骤是： 审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，； 合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数； 依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； 解方程； 将结果代入原题检验。 概括成五个字就是： “审、设、列、解、验”. 列

3、方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不 变量”找等量关系。 一些基本概念： （1）像 4x+2=9 这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x 的指数为1 的方程叫做一元 一次方程； （2）像 2x+y=8 这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1 的方程叫做二元 一次方程；把两个二元一次方程用“”写在一起，就组成了一个二元一次方程组； （3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个 方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法. 学习必备欢迎下载 类型：列简

4、易方程解应用题 【例 1】 （清华附中培训试题） （难度系数：）解下列方程： （1）357xx（2）452xx （3）12(3)7xx（4）132(23)5(2)xx （5） 511 8()2 352 xx（6） 1 1 23 xx （7） 5 27 xy xy （8） 2311 329 xy xy 分析：（1） 375, 22,21.1 xx xxx 移项得：注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号； 化简得：等式两边同时除以可得：把代入原式满足等式 . 以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验. （2）2541 .xxx， （3）1 627 7730.xxxx， （4）13

5、4652 194719 7 41234.xxxxxxxx， - =， （5） 51115410410 110 4()410. 35236333333 xxxxxxxxxx ， （6）3126 33263.xxxxx（）-， 请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相 应变化、（6）中每一项都同时扩大6 倍、 （5）中可以先简化运算的一定要先化简。 （7）法 1：加减消元法（8） 51 272 212 13 2 3 xy xy x y x y （ ） （ ） （ ）式- （ ）式可得：， 代入（ ）式可得：， 所以 23111 3292 12153

6、, 1 . 1 3 xy xy yy x x y （ ） （ ） （ ） 3-（ ） 2可得： 5， 将其代入（ 1）式可得： 所以可得： 法 2：代入法 . 建议教师将（ 7） 、 （8）贯穿起来，让学生深刻体会：（ 1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（2） 加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果. 【例 2】 （清华附中培训试题） （难度系数：）汽车以每小时72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷， 驾驶员按一声喇叭，4 秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340 米/秒计算） 分析： 72 千米 /小时 =72000 米 /360

7、0 秒=2 米/秒，设听到回音时汽车离山谷x 米，根据题意可得： 3404=2x+24，解得 x=676（米） . 学习必备欢迎下载 【例 3】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：）用绳子测井深，绳子两折时,余 60 厘米 ,绳子三折 时,差 40 厘米，求绳长和井深？ 分析：法 1：设井深是x 厘米，则有： 2x+602=3x-40 3 ，井深 x=240（厘米），绳长 600 厘米； 法 2：设绳长是y 厘米，则有： 11 y-60=y+40,y=600240 23 解得绳长（厘米），井深厘米 . 【例 4】 （奥数网习题库） （难度系数：）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3

8、倍多 两个，每次从箱子里取出7 个白球， 15 个红球如果经过若干次以后，箱子里只剩下3 个白球， 53 个红 球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个? 分析：设取球的次数为x 次那么原有的白球数为（3+7x） ，红球数为（ 53+15x） 再根据题中的第一个条 件： 53+15x=3（ 3+7x）+2，解得 x=7，所以原有红球158 个，原有白球52 个，红球比白球多106 个此 题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单 【例 5】 （奥数网习题库） （难度系数：）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩 耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加

9、只数，只数减头数，头数乘只 数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？ 分析：设动物园有x 只猩猩，依题意有： （x+x）+（ x-x ）+xx+xx=100，即 2x+0+ x x+1=100，亦即 x（ x+2）=99，又整数，只有唯一解=9 【例 6】 （华杯赛复赛） （难度系数：）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。 一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米，下坡时每小时行驶35 千米。车从甲地开往乙地需9 小时，从乙地到 甲地需 7.5 小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 分析：从甲地到乙地的上坡路

10、，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的 上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得 解得 x140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路. 【例 7】 （华杯赛决赛） （难度系数：）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4 人，乙班比丙班多4 人. 老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣， 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5 个枣，结果甲班比乙班总共多分了3 个枣，乙班比丙班总共多分了5 个枣，三个班总共分了多少个枣？ 分析：法1：设甲班有x 人，则乙班有（x4）人，丙班有（x8）人

11、；甲班每人分得y 个枣，则乙班每 人分得（ y+3）个，丁班每人分得（y+8）个那么有甲班共分得xy 个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙 学习必备欢迎下载 班共分得 (x-8)(y+8)个枣 8)8)(8( 3)3)(4( yxxy yxxy ，整理有 7 943 yx yx ，解得 12 19 y x 因此，甲班小孩19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人， 每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ，所以，三班共分673 个枣 法 2： 先看甲、丙两班，有甲班x 人比丙班x 人少分 8x 颗枣，而甲班共分得枣比

12、丙班多8 个，所以甲班多 出的 8 人共分得8x+8 颗枣，即每人分得x+1 颗枣那有 9 44 18 xx xx xx 丙班 乙班 甲班 每人枣数人数 再看乙、丙班，乙班x 人比丙班x 人少分 5x 颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5 个枣，所以乙班多 出的 4 人共分得5x+x 颗枣，即每人分得(5x+5) 4 颗枣有 (5x+5) 4x+4，解得 x11因此，甲班小 孩 19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ，所以三班共分673 个枣 类型：引入参数列方程解应用题 对于数量

13、关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些 “设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程 创造条件。 【例 8】 （ 101 中学分班考试试题）（难度系数：）五年级二班数学考试的平均分数是85 分，其中 3 2 的人得 80 分以上（含80 分），他们的平均分数是90 分。求低于80 分的人的平均分。 分析：设该班级有a名同学，低于 80分的人的平均分为x， 则得方程 : 21 8590 33 aaax,解得 x=75. 【例 9】 （华杯赛决赛） （难度系数：）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆

14、车 接送， 甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处， 让甲班的学生下车步行， 车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4 千米， 载学生时车速为每小时40 千米，空车时速度为每小时50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几? （学生上下车时间不计） 888 455 xyz xyz xyz 人数每人枣数共分枣数 甲班 乙班 丙班 学习必备欢迎下载 分析 ：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出 发，同时到达， 所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都 相等。也就是说图上乙步行的距离b 千米和甲步行的距离 a 千米相等。

15、而根据题意我们又可以找到下列等量关系： 乙班步行 b千米 ( 也就是 a 千米 ) 所用的时间等于汽车 送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。 设全程为x 千米，甲、乙两班分别步行a、b 千米，根据题意得： 2 40504 1 7 xaxaa a x 解得： 所以甲班步行了全程的 1 7 . 由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几 个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。 【例 10】（小学奥林匹克决赛）（难度系数：）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别 为 1

16、0 和 12，已知梯形的上底是下底长的 3 2 。那么余下的阴影部分的面积是多少？ 分析：设上底为a2，那么下底为a3，则上下两个三角形的高分别为 aa h 10 2 210 1 ， aa h 8 3 212 2 ，梯形的高是 aaa hh 18810 21 ，其面积为452 18 )32( a aa，阴影部分面积 为23121045。 类型：列不定方程解应用题 有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方 程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的 整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求，有时只

17、需要其中一些或个别解。 学习必备欢迎下载 【例 11】（奥数网习题库） （难度系数：）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8 千克油，小 的能装 5 千克油， 44 千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？ 分析：设有大油桶x 个，小油桶y 个。由题意8x+5y=44 ，知 8x44，所以 x0、1、2、3、4、5。相应的 将 x 的所有可能值代入方程，可得x3 时，y=4 . 此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5 整 除的数的特点，便可轻松求解. 【例 12】（迎春杯预赛 试题） （难度系数：）小华和小强各用6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买 来的铅笔中都是5 分一支和7

18、分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔 支 分析： 设买 5 分一支的铅笔支，7 分一支的铅笔n 支。则 ：5+7=64， 64 7n 是 5 的倍数用 n=0，1，2，3，4，5，6，7，8 代入检验，只有n=2， 7满足这一要求，得出相应的=10，3即小华买铅 笔 lO+212 支，小强买铅笔7+3=10 支，小华比小强多买2 支 【例 13】（奥数网习题库）（难度系数：）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9 分，套中小猴 得 5 分，套中小狗得2 分。小明共套了10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10 次共得 61 分。问：小明至多套中小鸡几次？

19、分析：设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次。 根据得 61 分可列方程：9x+5y+2（10-x-y ）=61，化简后得7x=413y。显然 y 越小， x 越大。将y=1 代入 得 7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得 x=5，所以小明至多套中小鸡5 次 . 附加题目 【附 1】 （101 测试题）（难度系数：）甲、乙、丙、丁四人共做零件270 个。如果甲多做10 个，乙少 做 10 个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？ 分析 :设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得： （x-10）+（x+10） +

20、（x2）+（x2）=270 ，解得 x=60 ，丙实际做了602=30（个）. 【附 2】 （迎春杯刊赛） （难度系数：）有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2 倍时；丙是22 岁，当 乙的年龄是丙的2 倍，甲是31 岁；当甲60 岁时，丙是多少岁? 分析：设丙22 岁时，乙的年龄是x 岁，当时甲的年龄就是2x 岁那么甲是3l 岁时，乙是 (31-x)岁，丙是 22+（31-2x） =53-2x 岁，且有： 31-x=2 （53-2x） ，解得 x=25，所以乙25 岁时，甲50 岁，丙 22 岁那么 甲 60 岁时，丙32 岁 利用方程解年龄问题设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年

21、龄都用含有x 的式子 表达出来，继而很方便地建立等量关系 学习必备欢迎下载 【附 3】 （奥数网习题库） （难度系数：）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8 个给乙堆后，甲、 乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6 个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆 中取 2 个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子? 分析： 设甲堆原来有x 个石子， 那么甲堆取出8 个给乙后， 甲乙两堆都是 (x-8) 个石子； 然后乙取6 个给丙， 乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14 ；再从丙堆取2 个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2=x-6 ，丙堆变为 x-14-2=x

22、-16 ，此时有关系：x-6=2（ x-16） ，解得 x=26 题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x 的式子表 示出来，最后建立等量关系. 【附 4】 （人大附中分班考试试题）（难度系数：）如右图，沿着边长为90 米的 正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65 米，乙从 B 出发，每分钟走72 米。 当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需 要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正 方形哪一条边上。设追上甲时乙走了x 分。依题意

23、，甲在乙前方390=270（米） ，故有 72x65x+270.解 得： x= 270 7 ，在这段时间内乙走了： 2701 722777() 77 米 ，由于正方形边长为90 米，共四条边，故由 111 277730907747 290 77 777 （+ ）+，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上 . 【附 5】（第十一届迎春杯决赛）（难度系数：）小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后 一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前1/3 时间乘车，后2/3 时间步行结果去奶奶家的时间比回家 所用的时间多2 小时已知小明步行每小时行5 千米，乘车每小时行15 千米，那么小明从自己家到 奶奶家

24、的路程是多少千米? 分析：设小明家到奶奶家的路程为x 千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y 小时，那么根据题 意有： 11 xx 22 y2 515 12 x=y 15y5 33 x=150y=18.解得， 用方程解题关键在于未知数设定的合理性，解答中的一个路程未知数，一个时间未知数，恰好能够把 题目中的所有关系都利用到 【附 6】 （奥数网习题库） （难度系数：）有甲、乙、丙、丁4 个人，每三个人的平均年龄加上 余下一人的年龄之和分别为29，23，21 和 17，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 分析：设甲、乙、丙、丁4 个人的年龄分别为a、b、c、d，那么有： 学习必备欢

25、迎下载 29 3 23 3 21 3 17 3 45(1) 31 a 12b 9c 3d 2121 3 18 abc d bcd a acd b abd c abcd把四个式子加起来得到： 再将上面方程组里面的每个式子后与（ ）式相减分别得到： =， = ， = ， =，所以年龄最大与最小的差值为- =（岁） 【附 7】 （首师大附入学测试题）（难度系数：）某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4 分就有 一辆与此人迎面相遇，每隔6 分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔 几分发一班车？ 分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是

26、相遇问题， 人与汽车4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6 分就有一辆车从背后超过 此人是追及问题，车与人6 分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解 决了。 设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得： 122 21 212 4() 4 ,5x 4. 6()5 VVV X VV VVV X 可得 ，进而可得= 【附 8】 （北大附中培训试题） （难度系数：）小萌在邮局寄了3 种信，平信每封8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封2 角，她共用了1 元 2 角 2 分。那么小萌寄的这3 种信的总和最少是多少封？

27、分析：平信每封8 分，航空信分封1 角=10 分，挂号信每封2 角=20 分。共用了1 元 2 角 2 分=122 分。设 小萌发了平信X 封，航空信Y 封，挂号信Z 封。得方程： 8X+10Y+20Z=122 ，要使这3 种信的总和最少， 则挂号信应最多；再则航空信也尽可能多。因总钱数的个位是2，则平信最少是4 封。 84=32 分。其余 信的总钱数为122-32=90 分。 90/20=4 10。则挂号信4 封，航空信10/10=1 封。 4+4+1=9 封。 【附 9】 （迎春杯决赛 试题） （难度系数：）某校师生为贫困地区捐款1995 元这个学校共有35 名 教师， 14 个教学班各班

28、学生人数相同且多于30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么 平均每人捐 款多少 元？ 分析： 设每班有a(30 a45) 名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数 ) ，依题意有 ：x(14a+35)=1995 于是 14a+35|1995 又 3l a45，所以 469 14a+35665，而 1995=35719，在 469 与 665 之间它的约 数仅有 665，故 14a+35=665，x=3， 平均每人捐款3 元 【附 10】 （奥数网习题库） （难度系数：）甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18 的倍数，乙搬的 砖数是 23 的倍数，两人共搬了300 块砖。问：甲、乙二人

29、谁搬的砖多？多几块？ 学习必备欢迎下载 分析：设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块，那么18x+23y=300 ，观察发现18x 和 300 都是 6 的倍数，所 以 y 也是 6 的倍数， y=6 时 18x=162 x=9， y=12 时 18x=24 x=4/3 矛盾，所以甲搬了162 块，乙搬了138 块，甲比乙多24 块。 练习十请你用方程法解答下列问题！ 1一个数的4 倍加上 3 乘以 0.7 的积，和是 2 1 6，则这个数是多少？ 分析：方程法，设这个数为x， 4x+30.7 2 1 6，x1.1 2某校有学生465 人，其中女生的 2 3 比男生的 4 5 少 20 人，

30、那么男生比女生少多少人? 分析：设女生为x 人，那么男生为（465-x）人，根据题意有： 24 (465)20 35 xx，解得 x=240，所以 女生有 240 人，男生有225 人，男生比女生少15 人 3某班原分成两个小组活动，第一组26 人，第二组22 人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调 整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？ 分析：设应从第一组调x 人到第二组去，根据题意可得：26-x= （26+22） 3 ，解得 x=10 . 4 现有一笔钱，都是硬币。其中2 分硬币比5 分硬币多 24 个。按钱数算，5 分的钱数比2 分的钱数多3 角，还有53 个 1 分硬币，这

31、笔钱一共有多少分？ 分析：设5 分硬币有x个，则2 分硬币有（ 24+x）个，依据5 分的钱数 =2 分的钱数 +3 角，可得方程 30)24(25xx，解得26x，则 2 分英镑有 24+26=50 个，共有5 26+2 50+1 53=283 （分）。 5甲、乙、丙共有100 本课外书甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数 也都是 1乙有书 _本 分析： 设乙有课外书X 本，依题意甲有课外书(5X+1) 本，丙有课外书5(5x+1)+1=25x+6( 本 ) ，于是有 (5x+1)+X+(25x+6)=100，即 3lx=93 解得， X=3，于是乙有课外书3本 学

32、习必备欢迎下载 6如图，已知CD=5 ，DE=7 ，EF=15，FG=6直线 AB,将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面 积是 65那么三角形ADG面积是多少 ? 分析：不妨设ADE 的面积 =a ，因为 DE：EG = 7： （15+6）=1：3， 所以AGE 的面积 =3a ；不妨设 CEB 的面积 =4b ，因为CE ：EF = （5+7） ：15 =4：5 ，所以BEF 的面积 =5b ；根据题意可得：a+4b=38 ，3a+ 5b=65，解得： a=10 ， b=7 ；那么三角形ADG 面积 =ADE+ AGE=4a=40 。 7设 A和 B都是自然数，并且满足： 11

33、A + 3 B = 33 17 ，那么， A+B= 。 分析： 把等式的左边通分，比较左右两边的分子，得3A+11B=17 。故 B=1，A=2，A+B=3 年薪 40 万的面试题 小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M 月 N 日， 2 人都不知道张老师的生日是下列10 组 中的哪一天，张老师把M 值告诉了小明，把N 值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗？ 3 月 4 日、 3 月 5 日 、 3 月 8 日 、6 月 4 日、 6 月 7 日 、9 月 1 日 、9 月 5 日 、12 月 1 日 、12 月 2 日、12 月 8 日 ； 小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道 小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了 小明说：哦，那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？ 答案： 9 月 1 日