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1、优秀学习资料欢迎下载 第九讲 “设而不求”的未知数 让我们先看一道简单的数学题 三角形的面积 解 设这个三角形的斜边长度为c，因为斜边上的中线长是1，所以斜边长 c=2再设两 条直角边的长度是a，b，面积是 S，那么 a2+b 2+2ab=6 把，代入式得 4+4S=6 ， 在这个题目中，只要求出未知数S的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在 解题过程中，我们也根本没求a，b 的值但是由于增设了a，b 后，给我们利用等量关系列 方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数( 如 a，b) 就是本讲所要介绍的 “设而不求”的未知数 所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我
2、们为解决问题增设的一些参数，它 能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用 例 2 若 求 x+y+z 的值 分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比 解 令 则有 x=k(a-b)， y=k(b -c) ， z=k(c -a)， 优秀学习资料欢迎下载 所以 x+y+z=k(a-b)+k(b -c)+k(c -a)=0， 所以 x+y+Z=0 说明 本例中所设的 k，就是“设而不求”的未知数 例 3 已知 p，q，r 都是 5 的倍数， rqp，且 r=p+10，试求 解 不妨设 p=5k1，q=5k2，r=5k 3，由题意可知， k1，k2，k3都是整
3、数因为 r qp，所 以 k3k2k1又因为 r=p+10， 所以 5k3=5k1+10， k3=k1+2， 所以 k 1+2k2k1， 所以 k2=k1+1 将，代入所求的代数式得 说明 本题中 k1，k2，k3均是“设而不求”的未知数 a1，并且设 分子： n-13=ak1， 分母： 5n+6=ak2 其中 k1，k2为自然数 由得 n=13+ak1，将之代入得 5(13+ak1)+6=ak2， 即71+5ak1=ak2， 优秀学习资料欢迎下载 所以a(k2-5k1)=71 由于 71是质数，且 a1，所以 a71，所以 n=k171+13 故 n 最小为 84 例 5 甲、乙、丙、丁四人
4、，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23， 21 和 17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 解 设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有 由上述四式可知 比较，知， d 最大， c 最小，所以 -得 所以 d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18 说明 此题不必求出 a，b，c，d 的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差 即可求解 例 6 设有 n 个数 x1，x2， xn，它们的值只能是 0，1，2 三个数中的一个，如果记 试用 f1和 f2表示 优秀学习资料欢迎下载 解 设在 x1，x2， xn这几个数中取值为0 的有 s 个，取值为
5、1 的有 t 个，取值为 2 的有 r 个，则 s+t+r=n ，0t n，0sn，0r n，由此得 f 1=t+2r ，f2=t+4r 所以 =(2k-1)f 2-(2k-1-2)f1 说明 本题借助于 s，t ，r 找到了 f k与 f1，f2的关系表达式 整除根据一个数能被9 整除的特征有 6+2+4+2+7=9m(m 为自然数 ) ， 即+3=9m1(m1 为自然数 ) 又由于09，09，则有 3+321， 从而有 +=6或+=15 同理，按照一个数被11整除的特征有 -=-2 或-=9 与相结合，并考虑09，09，故只有 =2，=4 所以原自然数为 6 224 427 例 8 我手中
6、的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调， 取两数的差 (大数减小数 )， 将所得差的三位数与此差的个位、 百位数字对调后的三位数相加， 最后的和是多少？ =a100+b10+c-(c 100+b10+a) =99a-99c =100a-100c-100+90+10 -a+c 优秀学习资料欢迎下载 =100(a-c-1)+910+(10-a+c) 因 k 是三位数，所以 2a-c8， 1 a-c-17 所以210-a+c8 差对调后为 k=(10-a+c)100+910+(a-c-1)， 所以 k+k=100(a-c-1)+910+(10-a+c) +(10-a+c)1
7、00+910+(a-c-1) =1089 故所求为 1089 说明 本例中 a， b， c 作为参数被引进，但运算最终又被消去了， 而无须求出它们的值 这 正是“设而不求”的未知数的典型例子 在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题 例 9 从两个重量分别为12 千克(kg) 和 8 千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量 相等的两块， 把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数 相等求所切下的合金的重量是多少千克？ 分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百 分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数
8、，才能充分利用已知， 为列方程创造 条件 解法 1 设所切下的合金的重量为x 千克，重 12 千克的合金的含铜百分数为p，重 8 千 克的合金的含铜百分数为q(pq)，于是有 整理得5(q-p)x=24(q -p) 因为 pq，所以 q-p0，因此 x=4.8 ，即所切下的合金重4.8 千克 解法 2 设从重 12 千克的合金上切下的x 千克中含铜 m千克，从重 8 千克的合金上切下 的 x 千克中含铜 n 千克(mn)，则这两个合金含 整理得 5x(n -m)=24(n-m) 优秀学习资料欢迎下载 因为 m n，所以 n-m 0，因此 x=4.8 ，即所切下的合金重4.8 千克 说明 在解含
9、参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的 一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关 例 10 某队伍长 1998米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回， 当这个战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变， 求这个战士走过的路程 解法 1 设这个战士走过的路程为s 米，所需要的时间为t 小时(h) ， 消去参数 t 得 解之得 解法 2 设这个战士的行进速度为V1米/ 小时，队伍行进的速度为 优秀学习资料欢迎下载 因此 所以这个战士所走距离为 说明 在同一个问题中， 由于考虑问题的角度不同， 所以增设的参数也会有所不同(如上 例中的两种解法 ) 练习九 字) ，又 N是 4 的倍 数，且 N被 11 除余 5，那么 x+y 等于多少？ 4五个人要完成某项工作，如果甲、乙、丙三人同时工作需6 小时； 时；乙、丙、戊同时 工作，需用 5 小时，问五个人同时工作需用多少小时完成？ 5公共汽车每隔x 分钟(min) 发车一次，小红在大街上行走，发 辆公共汽车，如果公 共汽车与小红行进的速度都是匀速的，则x 为多少？