初一暑假几何讲义.pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 E D C B A 第一章截长补短 知识要点： 1 一分为二与合二为一2 三种变换3角平分线与中线的理解4 局部合成整体 1 在 ABC 中,AD 是角平分线，B=2 C.求证AB+BD=AC 2 如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB, CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 3 如图，在 ABC 中，ABC=60 ，AD 、 CE 分别平分 BAC 、ACB ， 求证：AC=AE+CD 4 如图 2-33 所示 RtABC中， BAC=90 ，AD BC于 D， BG平分 ABC ，EF BC且交 AC于 F求证： AE=CF 优秀学习资料欢迎下载

2、5如图 2-14 所示在正方形ABCD 中， P，Q 分别为 BC ，CD 边上的点， PQ=PB+DQ 求证：PAQ=45 6 如图， ABC 为等边三角形，延长BC 到 D，延长 BA 到 E，AE=BD ， 连结 EC、ED，求证： CE=DE 7如图，在ABC中，DACAB,是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点，且 ACEDBED2. 求证：CDBD2. 8 如图所示，ABC是边长为 1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶 点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 优秀学习资料欢迎下载 第二章谈谈面积法和传统几何 知识要点：共边定理

3、，局部合成整体，反比 例 1：求证等腰三角形两腰上的高相等。 例 2：给定等腰三角形ABC ，D 为底边 BC 上任意一点求证D 到两腰的距离和相等。 例 3 如图 2-76 所示 ABC 中，AD是BAC 的平分线求证： AB AC=BD DC 例 4 平行四边形 ABCD 中，设 E、F分别是 BC 、AB上 的一点， AE与 CF相交于 P，且 AECF求证： DPA DPC F P D E C B A 优秀学习资料欢迎下载 例 5 已知：在梯形ABCD 中， DC/AB ，M 为腰 BC 上的中点 求证： 1 2 S DMASABCD D C N M A B 例 6 在ABC 中， ,

4、AB=AC ，在 AB边上取点 D ， 在 AC延长线上了取点 E ， 使 CE=BD ， 连接 DE交 BC于点 F，求证 DF=EF . 例 7 已知：如图6 所示在ABC中， BAC 、 BCA 的角平分线AD 、CE 相交于 O。若 三角形 AE0 与三角形OCD 面积和等于三角形AOC 面积，求证B60 图6 B C A E D F O 14 2 3 5 6 F C B A E D 优秀学习资料欢迎下载 第三章旋转，平移，对称 1 如图，分别以 ABC 的边 AB，AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，线段 BE 与 CD 相交于点 O，连接 OA （1）求证： BE=

5、DC ； （2）求 BOD 的度数； （3）求证： OA 平分 DOE 2已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC， 60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线） 于EF， 当 MBN 绕B点旋转到 AECF时（如图 1） ，易证 AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明 （图 1） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D

6、E F M N 优秀学习资料欢迎下载 3 已知 RtABC 中， C=90 ，D 是 AB 上一点，作DEBC 于 E，若 BE=AC ， BD=， DE+BC=1 ，求： ABC 的度数 4 已知： ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA3， PB4，PC5 求： APB 的度数 5 平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、 AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 DPA DPC求证： AECF 6 设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PF AP，CF 平分 DCE 求证： PAPF A P C B F P D E C B A D F E P C

7、 B A 优秀学习资料欢迎下载 7如图 2-6 所示 A=90 ， AB=AC ，M 是 AC 边的中点， ADBM 交 BC 于 D，交 BM 于 E求证： 8 五边形 ABCDE 中， AB AE，BCDECD， ABC AED 180。 求证： ADE ADC 。 9 如图 2-9 所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点， 且BAE=2DAM求 证：AE=BC+CE 优秀学习资料欢迎下载 第四章勾股定理提高篇 知识要点： 1 垂直与勾股定理2 平方差与垂直3 几何变换综合应用 例 1 已知 ABC=30 ， ADC=60 ， AD=DC 求证： 例 2 三角形 ABC

8、中过 A 作 BC 的高 AD 求证 2222 ABACBDCD 例 3 如图 14，已知等边 ABC 内有一点 N，NDBC ，NEAB，NFAC ，D、E、F 都是 垂足， M 是 ABC 中异于 N 的另一点， 若， 那么与的大小关系是 _ 优秀学习资料欢迎下载 例 4 如图，已知 ABC 中，AB=AC ，B=2A 求证： 例 5 如图 2-31 所示从锐角三角形 ABC的顶点 B， C分别向对边作垂线BE ， CF 求 证： BC 2=AB BF+AC CE 例 6 如图 2-22 所示 AM 是ABC的 BC边上的中线，求证： AB 2+AC2=2(AM2+BM2) 例 7 如图

9、7，已知 ABC 中， AD BC，AB+CD=AC+BD求证： AB=AC 优秀学习资料欢迎下载 第二节勾股定理与定量计算 知识要点： 1 割补法 2 勾股定理和逆定理3 对称性 4 分类讨论 例1 如图8-2，四边形ABCD中 A 60， B D 90， AD 8， AB 7， 则 BCCD 等于 （） 例 2 如图 8-3，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD 3，BC9，AB 6，CD4，若 EF BC， 且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则EF 的长为（） A. 7 45 B. 5 33 C. 5 39 D. 2 15 例 3 如图 10-5，在矩形 ABCD 中，

10、AB5，BC12，将矩形 ABCD 沿对角线对折，然后放 在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 例 4 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于 另一个内角2 倍的 ABC ？证明你的结论。 例 5 在 ABC 中，已知BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且BD CE，BD=4， CE=6，那 么ABC 的面积等于（） 例 6已知ABC 的三边长分别为a，b，c，面积为 S，A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1 面积为 S1，且 aa1，bb1，cc1则 S 与 S1的大小关系一定是（）。 （A）SS1；（B）SS1；（C）SS1；（ D）不确定。 60 A B

11、C D A B C D P 图 8-1 图 8-2 A D C B E F 图 8-3 A B C D E D 图 10-5 优秀学习资料欢迎下载 例 7 如图，在 ABC 中， AB7，AC11，点 M 是 BC 的中点， AD 是 BAC 的平分线， MF AD，则 FC 的长为 _ 例 8 如图，在四边形ABCD 中， B135 ， C120 ， AB=2 3， BC=42 2， CD4 2， 则 AD 边的长为（） 例 9如图，在梯形ABCD 中，AB DC，AB8，BC6， BCD 45 ， BAD 120 ，则梯形 ABCD 的面积等于 _。 第五章四边形第一节平行四边形 知识要点

12、： 1 性质定理与判定定理2 倍长中线3 进一步深入理解几何变换 由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： (1) 平行四边形对角相等； (2) 平行四边形对边相等； (3) 平行四边形对角线互相平分 除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： (1) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 优秀学习资料欢迎下载 D A C B M F N E B A C D O F E A D B C EF (4) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1 如图 :E.F 分别为平行四边形ABCD 的边

13、 AD,BC 的中点 ,G.,H 在 BD 上 ,且 BG=DH, 求证 :四边形 EGFH 是平行四边形 2 如图 ;平行四边形ABCD 中,AE=CF, M.N 分别是 DE,BF 的中点 , 求证 :四边形 ENMF 是平行四边形 3 如图 ;平行四边形的对角线AC 和 BD 相交于点 O, 经过 O 的直线交BC, AD 于 E. F. 求 证:四边形 BEDF 是平行四边形 4 如图 : 在平行四边形ABCD 中,AB BC,A 的平分线与 D 的平分线交于点 E, B 的平分线与 C 的平分线交于点F,求证 :EF=AB BC 5 将图甲中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将

14、ADC沿着AC方向平移，得 A B D C E F G H 优秀学习资料欢迎下载 到图乙中的 111 A D C，连结 1 AD， 1 BC，除ABC与 111 C D A外，你还可以在图中找出 哪几对 全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母）？请选择其中的一对加以证明 6已知 :如图 ,AD 是 BC上的中线 , 且 DF=DE 求证:BECF 7 如图所示， 在 ABC 中，分别以 AB、 AC、 BC 为边在 BC 的同侧作等边ABD、 等边 ACE、 等边 BCF. （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形； 8 若以三角形ABC的边 AB 、BC为边向 三角形外作正方形ABDE 、B

15、CFG ，N为 AC 中点，求证：DG=2BN ，BM DG 。 A B C D A B C C1 A1 D1 图甲图乙 CB A D F E _ F _ G _ D _ E _ B _ A_ C_ N _ M 优秀学习资料欢迎下载 9 求证三角形的中位线平行于底边并且等于底边的一半 第二节长方形，菱形，正方形 知识要点：特殊平行四边形： 一、矩形 （1）有一角是直角的平行四边形是矩形 （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形 （1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

16、. （2）定理 1:菱形的四条边都相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. （4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2 （5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形 （6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 优秀学习资料欢迎下载 三、正方形 （1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 （2）性质：四个角都是直角，四条边相等 对角线相等， 并且互相垂直平分，每条对角 线 平 分一组对角 （3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 1 在正方形ABCD 的对角线BD上，取 BE=AB ， 若过 E作 BD的垂线

17、EF交 CD于 F， 求证： CF=ED 。 2 在四边形ABCD 中， AB=CD ，P、Q 分别是 AD 、BC中点， M 、N分别是对角线 AC 、 BD的中点，求证：PQ MN 。 3 在直角三角形ABC中， CD是斜边 AB 的高， A的平分线AE交 CD于 F，交 BC 于 E，EG AB于 G，求证： CFGE是菱形。 4 正方形 ABCD 的边 AD上有一点 E， 满足 BE=ED+DC ，如果 M是 AD的中点， 求证： EBC=2 ABM ， _ C _ D _ A _ B _ E _ F _ A _ B _ C _ D _ P _ Q _ N _ M _ F _ A _

18、B _ C _ D _ E _ G _ C _ D _ A _ B _ E_ M 优秀学习资料欢迎下载 5 正方形 ABCD 中，点 P与 B 、C的 连线和 BC的夹角为15 求证： PA=PD=AD。 6 如图，四边形ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上任意一点， DEAG 于点 E，BFAG 于 点 F. (1) 求证： DEBF EF (2) 当点 G 为 BC 边中点时，试探究线段EF 与 GF 之间的数量关系，并说明理由 (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、 BF、EF 之间的数量关系（不需要证明） 7 如图 2-41 所示矩

19、形 ABCD 中，F在 CB延长线上， AE=EF ，CF=CA 求证： BE DE 8 如图，在矩形ABCD 中，已知 AD12，AB5，P 是 AD 边上任意一点，PE BD 于 E， PFAC 于 F，求 PEPF 的值。 _ B _ C _ D _ A _ P 优秀学习资料欢迎下载 9 矩形 ABCD 中，CE BD于 E，AF平分 BAD交 EC延长线于 F求证： CA=CF 第三节梯形 【知识梳理】 与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地 位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的

20、梯形，其判 定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用 的辅助线的作法是： 1、 平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2、 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3、 过底的顶点作另一底的垂线。 优秀学习资料欢迎下载 熟悉以下基本图形、基本结论： 中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的

21、一半。 1 已知：直角梯形ABCD 中， BC=CD=a 且 BCD=60，E、F 分别为梯形的腰AB 、 DC的中点，求：EF的长 2 已知：梯形 ABCD中，AB CD ，AC CB，AC 平分 A，又 B=60 ，梯形的周长是20cm, 求： AB的长。 _ E_ F _ A _ B _ D _ C _ A _ B _ D _ C 优秀学习资料欢迎下载 3 在梯形 ABCD 中，二底AD、BC 的中点是E、F，在 EF上任取一点O ， 求证： S OAB =S OCD 4 如图所示，四边形ABCD 中， AD 不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论

22、. 5 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm 和 49cm，求它的腰长 . 6 已知：如图，在梯形ABCD 中， ADBC，E 是 CD 的中点，且AEBE. 求证： ADBCAB 7 已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4，求此梯形的面积。 _ A_ D _ B_ C _ E _ F _ O AB CD A BC D D C B A E 优秀学习资料欢迎下载 8 如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， E、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，若 B C90.AD 7 ，BC 15 ，求 EF 9 如图 2-44 所示 ABCD 是梯形， ADBC ， AD

23、BC ，AB=AC 且 AB AC ，BD=BC ， AC ，BD交于 O.求BCD 的度数 第四章综合应用 知识要点： 1 对中点的认识与处理2 三种变换 1 已知在 ABC 中， B=2C， ADBC 于 D，M 为 BC 的中点 . 求证： 1 2 DMAB 2 梯形 ABCD 中， ABCD， M、N 分别是 AC、BD 的中点。求证：MN 2 1 （ABCD） F EA B C D MDC B A AB DC MN 优秀学习资料欢迎下载 3 四边形 ABCD 中，G、H 分别是 AD、BC 的中点， AB=CD .BA、CD 的延长线交HG 的延长 线于 E、F。求证： BEH= C

24、FH . 4 已知： ABC 中，分别以AB、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和 CAN，P 是 BC 的中 点。求证： PMPN 5 如图已知：ABC 中， AD 是角平分线， BECF，M、N 分别是 BC 和 EF 的中点 求证： MN AD 6 已知如图：正方形ABCD，BEBD，CE 平行于 BD，BE 交 CD 于 F，求证： DE DF 7 已知正方形ABCD ，直线 AG 分别交 BD ，CD 于点 E，F，交 BC 的延长线于点G，点 H 是线段 HG 上的点，且HCCE，求证：点H 是 GF 的中点 . A BC P M N 4 3 21 A B C D E F M N

25、 P F E D CB A A B D E F C H G 优秀学习资料欢迎下载 8 在等腰梯形ABCD 中，CDAB，对角线 AC 、BD 相交于 O，ACD 60 0，点 S、P、 Q 分别是 OD、OA、BC 的中点。 （1）求证： PQS 是等边三角形。 （2）若 AB 5，CD3，求 PQS 的面积。 （3）若 PQS 的面积与 AOD 的面积比是7：8， 求梯形上下底的比CD：AB？ 9 分别以 ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 ABC 外作正方形ACDE 、CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证点P 到边 AB 的距离是 AB 的一半。 第五章面积法的综合应用 例 1 求

26、证平行四边形的性质定理 例 2 在梯形 ABCD 中，二底AD 、BC 的中点是E、F，在 EF上任取一点O ， 求证： S OAB =S OCD _ A _ D _ B_ C _ E _ F _ O 优秀学习资料欢迎下载 例 3 平行四边形ABCD 中， E为 AB上的任一点， 若 CE的延长线交DA于 F，连结 DE， 求证： S ADE=SBEF 例 4 已知平行四边形ABCD ，EF/ AD交 AC于点 G ，求证： ABGADF SS。 例5 请证明勾股定理 例 6 已知 AODBOC SS，求证 AB/CD A B D C O _ E _ C _ B _ D _ A_ F 优秀学习资料欢迎下载 例 7 设 AD 、BE 和 CF 是 ABC 的三条高，求证：AD BCBEAC CFAB A F E B D C 例 8在等腰直角三角形ABC 中，AB=1，A=90o，点 E 为腰 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上，且 EFBE，求 CEF 的面积。