初三中考复习四边形(教师版).pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 中考复习专题四边形 知识点回顾 知识一：多边形内角和与外角和 1.n 边形内角和为 （n-2）180,外角和为360。 2.多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，n 边形的对角线条数是 2 )3(nn 。 3.镶嵌：在某一点处互不重叠拼在一起的几个多边形的内角和为360时，才是镶嵌；任意一个三角形和四边形、 正六边形可镶嵌平面。 知识二：特殊四边形的性质和判定 1. 特殊四边形的性质 边角对角线 平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分 矩形对边平行且相等四个角均为直角互相平分且相等 菱形四条边都相等对角相等对角线互相垂直，并且每 一条对角线平分

2、一组对角 正方形四条边都相等四个角均为直角对角线互相垂直平分 注：矩形、菱形、正方形具有平行四边形所有性质；菱形具有矩形所有性质；正方形具有矩形、菱形所有性质。 2.特殊四边形的判定 （1）平行四边形的判定 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）矩形的判定方法 、有一个角是直角的平行四边形；、有三个角是直角的四边形； 、对角线相等的平行四边形；、对角线相等且互相平分的四边形 拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。 （3）菱形的判定 、定义；、四

3、条边都相等的四边形； 、对角线互相垂直平分的四边形；、对角线平分一组对角的平行四边形 拓展：若a、b分别表示两条对角线的长，则 （4）正方形的判定 、先证它是矩形，再证一组邻边相等；、先证它是菱形，再证一个角是直角 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大 （5）梯形的性质和判定 梯形的性质 边角对角线 等腰梯形一组对边平行，另一组对边不平行（相等）同一底上的两个底角相等相等 直角梯形一组对边平行，有一腰与底边垂直有两个直角 等腰梯形、直角梯形的判定 （1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）有一个角是直角的梯形是直角梯形 梯形常作辅助线 辅助线是解决梯

4、形问题的一把钥匙，起到转化思想：把梯形转化成特殊的四边形与三角形；把互相平行的两底转化 成一条线段。具体如下图： 优秀学习资料欢迎下载 平移一腰作较长底边的高延长两腰 作腰的平行线 连接上底一顶点 与腰的中点并延长 与下底延长线相交 知识点应用 一、选择题 1如图 1，在四边形ABCD 中， A=135 ， B=D=90，BC=23，AD=2 ，则四边形ABCD 的面积是（） A42B43C4 D6 分析：在处理四边形或多边形的边长、角度或面积问题时，常将不规则的图形通过“割”或“补”转化为特殊三角形 或特殊四边形的问题加以解决。 解：延长 BA 、CD 交于点 E，则易知 EBC 是等腰直角

5、三角形，从而SEBC= 2 1 EBEC=6 同理 SEDA=2，故 S四边形 ABCD =62=4. 2五边形的内角和与外角和的比是（）A5：2 B2：3 C3：2 D2：5 3ABCD 中，边 AB=a，对角线AC=b, BD=c ，则 a、 b、c 的取值可以是下列的（） Aa=4, b=6, c=8 Ba=6, b=4, c=8 Ca=8,b=4,c=6 Da=5,b=4,c=3 4、顺次连结四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（） AABDC BAC=BD CAB=DC DACBD 5如图， 在矩形 ABCD 中，AB=3 ，AD=4

6、，P是 AD 上的动点， PEAC 于 E，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为（） A 5 12 B2 C 2 5 D 5 13 6下列命题中真命题的是（） A有一组邻边相等的四边形是菱形B对角线相等的四边形是矩形 C有一组对边平行的四边形是梯形D对角线相等的菱形是正方形 7梯形 ABCD 中， AD BC， B 与 C 互余， AD=5 ，BC=13， C=60，则该梯形的面积是（） A182B318C36 D362 8直角梯形ABCD 中， AD BC， B=90， AD+BC DC，若腰 DC 上有点 P，使 APBP，则这样的点（） A不存在B只有一个C只有两个D有无数个提示：用

7、圆的解答 二、填空题 9在四边形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点E，若 AC 平分 DAB ，且 AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ACBD， BC=DE ， DBC= 2 1 DAB ， ABE 是正三角形，请写出正确结论的序号。 10已知 AD BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，还需要增加条件。 （只填一个你认为正确的条件即可） AD=BC, AB DC, A= D=180, B+C=180， A= C ， B= D 中任填一个 11在平行四边形ABCD 中，若 DB=DC ， C=70， AEBD 于 E，则 DAE= 。20 12折叠矩形的一边AD ，点

8、 D 落在 BC 边上点 F 处，已知 AB=8cm ，BC=10cm ，则 DE 的长是cm。5 13.梯形 ABCD 中， AD BC，对角线ACBD ，且 AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线长等于cm.6.5 14.ABC 中， BC=a,B1、 B2、 B3、 B4是 AB 边的五等分点； C1、 C2、 C3、 C4是 AC 边的五等分点， B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2a 15正方形ABCD 中， F 是 AD 的中点， BF 与 AC 交于点 G，则 BGC 与四边形CGFD 的面积之比是4:5 16梯形 ABCD 中，DCAB ，将梯形对折， 使点

9、D、C 分别落在AB 上的 D , C处，折痕为 EF， 若 CD=3cm ，EF=4cm， 则 AD +BC = cm。 2 17如图 8-47,在 ABC 中,AD BC 于 D,E、F 分别是 AB 、AC 的中点 ,当 ABC 满足条件 _时,AEDF 是菱形 . AB=AC 优秀学习资料欢迎下载 图 8-47 图 8-48 提示： 如果是等腰三角形，AD BC 于 D，依据等腰三角形三线合一，则D 为中点，又E、F 分别是 AB、AC 的中点， 所以 DE AC， DFAB. 四边形是平行四边形且有一组邻边相等，所以为菱形，因此添加AB=AC. 18.如图 8-48,菱形 ABCD

10、的对角线的长分别为2 和 5,P 是对角线AC 上任一点 (点 P 不与点 A、C 重合 ),且 PEBC 交 AB 于 E,PFCD 交 AD 于 F,则阴影部分的面积是_. 2.5 提示： 易证四边形AEPF 也是菱形， PEF 与 AEP 同底等高，所以，SPEF=SAEP，S阴影=SABC=菱形面积的一半，菱 形面积 =对角线乘积的一半= 2 52 =5，所以 S阴影=2.5. 19. 如图 8-49,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状 ,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行 四边形的一个最小内角的值等于_30 图 8-49 图 8-50 提示： 使其面积为矩

11、形面积的一半，由于两个四边形的底相等，所以平行四边形的高为矩形宽的一半，即高为CD 的 一半，在直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角为30. 20. 如图 8-50，在梯形ABCD中， DCB=90 ， ABCD,AB=25,BC=24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合， BE 为折痕，那么AD 的长度为 _30 提示： 利用折叠前后相等线段和勾股定理,AB=DB, 又 C=90,可求出 DC=7. 过 D 作 DFAB,垂足为 F,利用勾股定理可求AD= 22 AFDF= 22 1824=30. 20. 如图 8-51,在梯形 ABCD 中 ,ADBC,对角线 AC B

12、D,且 AC=12,BD=9, 则此梯形的中位线长是_ 7.5 图 8-51 提示： 如图，平移对角线形成直角三角形，且AC=12，BD=9 ，根据勾股定理，求BE=15，即上下底的和为15，又因 为中位线长为上下底和的一半，所以为7.5. 21、 .如图 8-52,ABC 是等边三角形,P 是 ABC 内一点 ,PEAC 交 AB 于点 E,PFAB 交 BC 于点 F,PDBC 交 AC 于 点 D.已知 ABC 的周长是12 cm,则 PD+PE+PF=_ cm. 4 图 8-52 提示： 延长 FP ， 交 AC于 M ， 可得到平行四边形AMPE 和等边三角形MPD ， 所以三条线段

13、的和为等边三角形的边长, 即 PE=AM ， PD=MD ， PF=CD ，所以 PD+PE+PF= 3 12 =4. 三、解答题 23、如图 8-53,在四边形 ABCD 中, ADC= B=90,DEAB, 垂足为 E,且 DE=EB=5, 请用割补 (旋转图形 )的方法求四边 形 ABCD 的面积 . S=25. 优秀学习资料欢迎下载 图 8-53 图 8-54 提示： 如图 ,把 ADE 绕点 D 逆时针旋转90后，得到的图形为边长是5 的正方形，面积为25. 24、如图 8-54,已知在 ABC 中,AB=AC=a,M为底边 BC 上任意一点 ,过点 M 分别作AB 、AC 的平行线

14、交AC 于 P,交 AB 于 Q. (1)求四边形AQMP 的周长； (2)写出图中的两对相似三角形(不需证明 );(3)M 位于 BC 的什么位置时 ,四边形 AQMP 为菱形 ?说明你的理由 . 提示 :根据平行的性质可以得到平行四边形和两个等腰三角形，由对边和腰相等， 四边形的周长等于ABC 的两腰之和 . 解： (1)PMAB ，QMAC, 四边形AQMP 为平行四边形，且1= C， 2=B. 又 AB=AC=a, B= C. 1=B= C=2.QB=QM ， PM=PC.四边形AQMP 的周长为2a AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a. (2)答案： B

15、QM MPC BAC. (3)答案： 当 M 为底边 BC 的中点时，四边形AQMP 为菱形 . 提示：四边形 AQMP 已是平行四边形， 要使之为菱形， 则需有一组邻边相等.理由： M 为底边 BC 的中点 , BM=CM. 由(1)知 B=C，1=2, BQM CMP. PM=QM. 由(1)四边形 AQMP 为平行四边形 , 四边形 AQMP 为菱 形. 25、如图 2，四边形ABCD 是平行四边形，且EAD= BAF 。 （1）求证： CEF 是等腰三角形； （2） CEF 的哪两边之和恰好等于ABCD 的周长？证明你的结论。 分析： （ 1）根据已知条件不难证明E=F，得 CEF 是

16、等腰三角形。 （2）易探索出CE+CF 等于ABCD 的周长。 证明： （ 1）由题意，得DA CF，AB CE， EAD= F， BAF= E。又 EAD= BAF， E=F， 故 CE=CF。 （2） EAD= BAF= F=E， DE=AD ，FB=AB CE+CF=CD+AD+CB+AB，即 CE+CF 等于ABCD 的周长。 26、如图 3， ABCD 中， AQ、BN 、CN、DQ 分别是 DAB 、 ABC 、 BCD、 CDA 的平分线， AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M，在不添加其它条件的情况下，试写出 一个 由上述条件推出的结论， 并给出证明过程 （要求：

17、 推理过程中要用到“平行四边形” 和“角 平分线”这两个条件） 。 解：由题设条件可得出：APB 是直角三角形证明如下：在ABCD 中， AD BC ， BAD+ ABC=180 又 AQ 、BN 分别平分 BAD ， ABC ， BAP+ ABP=90 ， 即 APB=90 故 APB 是直角三角形。 事实上，由题设条件还可得出BPA DMC ，四边形PQMN 是矩形等结论。 说明：解此类问题要审清题意：（1）不增加任何条件； （2）推理过程中要用到“平行四边形” 和“角平分线”这两个条件，否则算错。 27、如图 4，以长为2 的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点 P，连结

18、 PD，在 BA 的延长线上取点F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形AMEF ，点 M 在 AD 上。 （1）求 AM 、DM 的长； （2）求证； AM 2=AD DM 分析： （1） 在 RtPAD 中，利用勾股定理可以计算出PD=5=PF， AM=AF=PF AP=51， DM=AD AM=2 （5 1）=35（2）利用代数方法证明等积式，分别计算等式左、右两边。 优秀学习资料欢迎下载 解（ 1）正方形ABCD 的边长为2，P 是 AB 中点， AB=AD=2 ，AP=1， BAD=90 PD=5 22 ADPA 又 PF=PD， AF=51 在正方形 AMEF 中， AM=AF=

19、51，MD=AD AM=3 5 证明（ 2） ：由（1）得， AD DM=2 （35）=625，AM 2=（ 51） 2=62 5 AM 2=AD DM 28如图 5，四边形 ABCD 是正方形，四边形ACEF 为菱形， E 在 FB 上，求 ECB 的度 数。 分析：欲求 ECB ，须求 ECA ，而求角的度数应对图中线段作数量上的分析，连结BD 交 AC 于 O，过 E 作 EGAC 于 G，则易探寻出EG 与 BD（即 CE）之间的特殊关系。 解：连结 BD ，设它与 AC 交于点 O。过 E 作 EGAC 于 G。四边形ABCD 是正方形。 BDAC， EGBO 又四边形ACEF 是菱

20、形， FEAC 四边形EBOG 是平行四边形， EG=BO= 2 1 BD= 2 1 AC= 2 1 EC。在 RtCEG，由 EG= 2 1 EC，得 ECG=30又 ACB=45 ， ECB=45 30=15。说明：探究出EG= 2 1 EC 是解决本题的关键所在。 29如图 6，ABCD 是梯形， AB CD，AC=BC ，且 ACBC，BD=BA ，求 DAC 的度数。 分析： 欲求 DAC ，应先求出 DAB ，但题设条件只有BD=DA ，于是想到梯形中常用的辅 助线高，可转化为先求ABD ，从而问题迎刃而解。 解：分别过D、 C 作 DEAB 于 E，CFAB 于 F AC=BC

21、，ACBC， CF= 2 1 AB 又 AB=BD ， CF= 2 1 BD ，即 DE= 2 1 BD。 在 RtBDE 中，由 DE= 2 1 BD ，设 ABD=30 注意到 AB=BD ， DAB=75 。而 CAB=45 DAC=75 45=30 30如图 7，ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点O 作直线 MN BC，设 MN 交 BCA 的平分线于点E，交 DCA 的平分线点F。 (1)求证： OE=OF；(2)当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。 (3)若 AC 边上存在点O，使四边形AECF 是正方形，且 2 6 BC AE ，求 B

22、 的大小。 分析： （1）可通过 OC 作桥梁，证得OE=OC=OF 。 （2）可先证 AECF 是平行四边形，再证明ECF=90。 （3）结合三 角函数易求出B 的大小。 证明（ 1） ：由已知， MN BC， OEC=BCE ， 又 BEC=OCE， OEC=OCE， 从而 OE=OC，同理 OF=OC， 故 OE=OF。 解（2） ：当点 O 运动到 AC 边的中点时，四边形AECF 是矩形。 OE=OF，OA=OC ， 四边形 AECF 是平行四边形。 又 ECF=ECO+OCF= 2 1 （ BCA+ ACD ）=90 ， AECF 是矩形。 （3）若四边形AECF 是正方形，则AC

23、EF， 又 EF BC， ACBC。 在 RtABC 中， tan B=3 2 6 2 2 BC AE BC AC , B=60. 说明： （ 1）证明四边形是矩形（或菱形），通常先证它是平行四边形，再根据矩形（或菱形）的特有条件论证它是矩形 （或菱形）。 （2）解动态几何问题的一般方法是考察所给图形上的动点运动到某一特殊位置上的静止状态，再研究此时 各元素之间的位置或数量关系，使问题得到解决。 31、 如图 8， 梯形 ABCD 中， AD BC， AD ： BC=1： 3， 对角线 AC 与 BD 相交于 O， AEBC， 垂足为 E，AE 恰好过 BD 的中点 F， FBE=30 优秀学

24、习资料欢迎下载 （1）求证： AOF 是等边三角形 （2）若 BF 和 OF 是关于 X 的方程 x 2（ k2）x+k=O 的两实根，试求 k 的值，并求梯形ABCD 的面积。 分析： （1）可作 DGBC 于 G，将 AD 转化为 EG，再根据 F 是 BD 的中点及 AD ：BC=1 ：3，可证出 AEC DGB ， 得 CAE= BDG=60 ，结合 AFO= BFE=60 ，可知 AOF 是等边三角形。 （2）利用根与系数关系求出反值，进 而求出方程的根，再求出AD=23，BC=63，AE=4 ，得梯形ABCD 的面积为163。 证明（ 1） ：过 D 作 DGBC 于 G，则 AD

25、=EG. AD BC ，F 是 BD 的中点，AD=BE ，AF=EF. 又 AD ： BC=1： 3，GC=AD ，EC=BG. RtAEC RtDGB, CAE= BDG= 90 30=60, 又 AFO= BFE=60 故 AOF 是等边三角形， 解（ 2） ：设 OF=x1，BF=x2， BF=2EF=2AF=2OF ，x2=2x1 由根与系数关系得 , 2 21 21 kxx kxx 即 kx kx 2 1 1 2 23 ，解得 k1= , 2 1 k2= 8. k=时 2 1 x10，应舍去。 k=8，此时 x1=2, x2=4. 从面 AD=2.4,36, 3AEBC故 S梯形ABCD =163。 说明：中考试题中常出现以特殊四边形为背景设计的，与三角形、相似形、方程或函数等知识有机结合的综合题，难 度较大且灵活，解题时应结合特殊四边形的有关性质，采用数形结合、转化等思想方法，实破难点，以较快地找到解 题途径。