1、函数的单调性及最值一、函数单调性的定义定义增函数I减函数设函的g的定义域为/.假如时于定义域/内某个区间。上的阴懑两个自变t当MX2时，都有,那么就说函数/(公在区间及上是增函数当X1.&#匕都有那么就说函数J(外在区间。上是减函数图象描述自左向右后图望是自左向右看图望是二、证明函效单调性的一般方法1 .定义法.2 .导数法.设/(X)在某个区间加，内有存数,若/(X)在区间(。，切内，总有rA.y=tanxB.y=-yC.y=3*D.y=1.nxI解析:r=anX只在其周期内单调逆增.=一3aR上单网速发力*3在K上单码递增.y=InIx1.在(一8,0)上单调还减，在U),+-)上小涧逮好
2、答案：C2 .(2013海淀区一模)已知0,下列函数中，在区间0,0)上肯定是就函数的是()A./B.fix)=2-2v+1C.fix)=aD.f(x)=1.og,鼾析：40时，fix)=(a+h.为增品数：对于函数儿力=,0w1计.在R上为增圉效：对于/(x)=kg1.4,OVaVI时，(0,+8)上为成岛敦：当时在(0.+8)上为赠的找：讨于函数h)=-20r+1.图象是开r,向上的抛物线,对称轴为x=.所以该曲数在区间(0.0)上方定是减函表.所以逸项B对.故选B.答案：B3 .若函数/(x)=/-2x+n在3.+8)上的最小值为1,则实数m的值为.解析：TfCn=U-I)2+rw-在
3、3.+8)上为单调楮的,/(x)A(3.+8)上的最小值为I.贝3)=1.,Sp22+m-=),m-2.答案:一24 .一个矩形的周长为人面积为S,拎出：(4,1),(8.6),(10,8),*.其中可作为=eW!(-63)的最大值为()E错俣！C.3A.9B.幡测解析：国为产检误！=幡误！=!,所以当“=-1H1.!4,)=的值最大.最大值为借喉！答案:B6 .柠函数r(X)=x2+T0误!在借候！是增函数.则“的取色范围毡()D.3.+)B.-1,+)C.0,3A.-1,0|解析：/Q=2r+“弓一传误！传读!f在I上恒成立,由于y=*!Zr/误!上单词递减.所以.v3.故只臭N3.答案：
4、D7 .已知函轲Cr)=一十4x在区间川上的值域是-5,4，则m+n的取值范明是()D.0.6C.(-.1.B.II.6A.(1,7解析:/Cr)=-,r+4,t=-(.r-22+4./(2)=4.又由/(X)=5,4=-I5.由Kr)的图象知：-1.m2.2n5*13itIm+n7,答案:A8.已知f(x)是定义在实数集R上的墙函数，且川)=0,函Sfx)在(一8,|上为埴函数.在1,+8)上为减函数,I1.g(4)=0)=0,则集合(X1.KX)8(x)N0=()A.xIx0s!c1.x4B.(10x4)C.xIx4)D.vOx1.!cr4)解析:由超.稣合的敦植庵可用x1.It.j,)0
5、O+.fix)04Jt.g(X)V0;0x0.ivj?0的第集为*W0或1WxW4).故选A.答案:A函数的奇偶性及周期性一、函侬的奇偶性I.函数奇隅性的定义及简洁性质.奇偶性定义图象特点性质偶函数如果对于函数G)的定义域内任意一个X,都有,那么函数/U)是偶函数定义域关于一对称在对称区间上单调性奇函数如果对于函和6)的定义域内任意一个X,都有,那么函加U)是奇函数关于_对称在对称区间上单调性2.S(x为隅函数JW1.-X)=(x)=fixI),反之,也成立.3 .若奇函如U)的定义域包含O.则/0=0.4 .推断函数的奇隅性有时可以用定义的等价形式.在定义域关于原点对称的状况下，(1)荒八
6、)(一R=O或误！11.f(-x)HOJW1.x)为催函数：(2)若f(X)+4一X)=O或错误!=一1口x)0,则AX)为奇函数.5.W(R,g(x的定义域分别是小，D2.那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，隅+偶=偶,偶X佃=儡，奇X奇=偶,奇X佃=奇.二、函数的周期性1.周期函数定义：若T为非零常数，对于定义域内的随意,使得/0+7)=/XHn成立.则/0)叫敞THq做这个函数的2.周期南数的性质：(I)若,是函数/(X)的一个周期，则K7UCZ,&0)也是它的一个周期：(2g(x+7)=Ax)常写作NHR1.二通*!：3)若八刈的周期中.存在一个最小的正数则称它为小)的最小正周期：I
7、2013重庆二模)下列函数为奇函数的是()A. y=sinMB. y=IIC. y=+x-1.D. v=n0TVxV1,所以岛数F=IMHU的定义圾为一11).关于原点,对楸J1.In错误！=：n钳谀！F=-In借误！.故V=In借误！为号他故4D.答案：D2.函数/Cr）=检收！+x的图奥关于（）A.轴片称B.直段y=一对称C.坐标原点而称D.直投J=X对你解析：可推断/（X）=：+X为行国K,所以圉就关于原点对价.故选C答案：C3.设/G）是定义在R上的奇函数，且当x0时，/（x）=23,R/（-2）=i模a巩国1.设函即Ir）和以K）分别是R上的倒函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（
8、A. fix)+g(x)1.是偶函数B. f(x)-,?(K)I是奇函数C. I(xI+俱R是偶函数D. INr)1.g(X)是奇函数解析：目为(.力是R上的号函效,所以Ig(x)I是R上的偶晶敦,从而贝X)+烈t)I是偈晶轨.故选Ae答案：A2. (2013山东卷)已知的即外为奇函数,且当n0时，/(*=/，错误1.则/(-1)=()D.2C.iB.OA.-2解析：因为/Cr)为奇的代.所以1-1)=一负1=-(1.+1.)=-2.故土A。答案：A3. (2013江苏卷)已知(x)是定义在R上的奇函数.当x0时J(x)=f-4x,则不等式r(x).郴J解集用区间役示为解析:因为凡是定义在R
9、上的寺房货.所以为如XWO时次K)=一三一4解不等犬拜利/(x)x的解集用区间表示为一5.0U(5,+).答案：(-5Q)U=7,则()./(K)为例函数旦在(0,+8)上单调递增B.fix)为奇函数I1.在(0,十8)上单调递增C.是定义在R1.:是哥函数.且当x0时,U)=c+.苟(x)在R上是单调函数.则实数。的最小值是.解析：依超点用=0.当x0时./G)e+=+1.若岛敦G)在R上此单词扇敦，时有“十I三OAm-1,因此实数。的最小伍正一1.答案:一1第四节一次函数和二次函数一双才林*4t*I.娴熟驾驭二次函数的图象，并能求给出了某些条件的二次函数的解析式.2.驾驭二次函数的单调性,
10、会求二次函数的单调区间.3.会求二次函数的最值.4.结合二次函数的图象，了解函数的零点及方程根的联系，推断一元二次方程根的存在性及根的个数.知以1J-1成卖学问梳理II一、一次函数及其性质函数y=HXW0)叫做一次函数.当时，该函数在R上是增函数；当时，该函数在R上是减函数.由于一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大值、最小值肯定在端点处取得.若函数(x)=x+在;vp,q时恒为正(负)，则在p,q处的函数值满意.若函数)=Or+在Xeq上及X轴有交点，则在p，q处的函数值满意.二、二次函数定义及其性质1 .二次函数的定义：O2 .二次函数的三种表示形式.(1)一般式：；(2)顶点式：;(3
11、)零点式：。3 .二次函数f(x)=r2+fevc(a0)的性质.(1)定义域为R。当aO时，值域为:当,S时，值域为.(2)图象是抛物线，其对称轴方程为,顶点坐标是(3)当40时，开口向；当“0时，开口向.(4)当加0时，在区间上是增函数，在区间上是减函数；当0时,在区间上是增函数，在区间上是减函数.(5)当时,该函数是偶函数：当时，该函数是非奇非偶函数.4 .二次函数/(X)=P+版+c在闭区间pq(pq)上的最值问题(以加0的情形为例).(1)若衿一错误!，则该函数的最大值为,最小值为.(2)若错误！W一恰误！q,则该函数的最大值为,最小值为.(3)若pW!0）的两实根，则M，,3分布范
12、围及二次方程系数之间的关系如下表:根的分布X1.(xikkXJC2x(kx2X,X2三(k,k?)kx(k2(x0,一T-VK1.a,0ry(fe)o.2ah.0f(k)(O/(1)0,/(1.0.tfc0,./(h1)0.J(2)0./（三）Tj*k)oa三ofi-e或-o.u-4i或yo.r)o(一、020(V0)XIo形如.y=r2+bx+c(0,尻C为常数且0)的函数叫做二次函数2. (,)y=ax2+bx+c(WO)(2)y=a(xh)?+k(0)(3)y=d(A-x)(-X2)(0)3. (Ii!ttft(2)a=-HR!上下(4)借谀！储误！幡误！错误！(5)h=0bO4. (1
13、)r(p)f()(2)r(p)HK!(3)(4)f(g)p),1.基础自测1. (2012柳州模拟)已知函数y=x2-4ar(1.WxW3)是单调递增函数，则实数”的取值范围是().A.错误！B.(-8,1C.!Do错误I解析：对称轴为x=2,依题意，对称轴应在区间1,3的左侧(包括左端点).所以2oW1.,得aW幡畏!。故选A.答案：A2. %V0”是“方程加+1=0有一个负数根”的()A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析：若V0,则由Or1+1.=O得=一HH即x=1,所以方程有一个负根；反之,若方程有一个负根,设为松，则=一错误!0。所以iia3
14、或aV1D.aI13解析:依题意知函数/(x)为一次函数,所以炉一2-3=0.解得a=-或a=3.当=3时，“)=1,值域不为R,故舍去.故选B。答案书4. 已知二次函数y=P-2ax+1.在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范附是解析：函数图象的对称轴为r=,当W2或N3时，函数在(2,3)内是单调函数.答案：(-21U3,+)穹客等1Hugo1.设儿0,二次函数f(x)=F+*+c的图象可能是()解析：当a0时，由(&X)知/?,C同号，对应的图象应为C或D.在C,D两图中有C0,故加0,因此得一白()，选项D符合，同理可推断za当VO时，选项A,B都不符合题意.故选D.答案：D2
15、 (2013-重庆卷)若ab(c,则函初(X)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,力和S，C)内B.(一8,a)和(,b)内D.(一84)和(c,)内C.S，C)和(c,+8)内解析：由于“b0,fib)=(.bc)(/?)0,f(c)=(c)(c-b)0o因此有/(0)(7)0,火)贸C)0,又因./(X)是关于X的二次函数,函数的图象是连绵不断的曲线，因此函数/0)的两零点分别位于区间(,b)和(仇C)内，故选A。答案：At1.已知函数y=x2+尿+c,且/U+x)=,/(x),则下列命题成立的是()A. /(x)在区间(一8,1上是减函数B. /(x)在区间错误!上是减函数CfCv)在区间(-8,1上是增函数D.Ax)在区间错误I上是增函数解析：因为/(1.+x)=/(X),所以对称轴是X=错误!。所以/(x)在区间上是减函数.故选B。答案：B2.函数/U)=奴2+办-1在R上恒满意/(x)VO,则的取值范围是()B.(8,4)A.(8,0D.(-4.01C.(-4,0)解析：当=0时，/(x)=-1.在R上恒有/(x)0：当a0时,因为/(X)在R上恒有/(X)Vo,所以惴R1.得一4V0V00综上可知：-4V4W0.答案：D
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