反比例函数定义,图像,性质.pdf

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1、学习必备欢迎下载 课程名称：反比例函数定义，图像，性质 教学内容和地位：反比例函数是初中阶段三大函数中的第二部分，区别于一次函数，但又高于 并且建立在一次函数之上，是中考的必考内容，经常以选择或填空题形式出 现，内容比较简单；解答题形式出现时，难度中等，经常与一次函数结合， 分值 8 分左右，通过实际问题考察反比例函数解析式的确定。 知识衔接点：利用平面直角坐标系来研究一次函数与反比例函数。 教材分析重点： (1)掌握反比例函数的概念及性质，确定反比例函数的解析式。 理解函数图像的含义，培养由图像获取信息，解决问题的能力。 难点： 掌握反比例函数图像的几何意义，渗透数形结合的数学思想。 课时规

2、划3 课时 教学目标分析 1理解反比例函数定义和性质，会用待定系数法求反比例函数的解析式。 2树立数形结合的数学思想，能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。 3综合运用多种数学思想，逐步形成数学应用和建模的意识。 教学思路 1、复习、检查上次课重点知识 2、梳理本节课重要知识 3、例题精讲 4、重点、常见题型（图形变换） 5、易错点，常用解题方法和技巧 6、课堂总结，课下安排 教学过程 必讲知识点 一、复习上次课重要内容 二、梳理本节课重要知识 1知识结构： 2. 定义：形如y x k （k 为常数， k0 ）的函数称为反比例函数。其中x 是 自变量， y 是函数，自变量x 的取值是不等于0

3、 的一切实数。 1）y 的取值范围是一切非零的实数。 学习必备欢迎下载 2）反比例函数解析式的三种表示方法：xy=k ； 1 kxy ；x ky 1 （k 为 常数，k0） 3. 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数yx k 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就 可以求出k 的值，从而确定其解析式。 4. 反比例函数的画法： 1）列表； 2）描点； 3）连线 5. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称 图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y= x；对称中心是： 原点。 6. 反比例函数图像与性质:： 反比例 函数 y x k （k

4、为常数， k0 ） k 的取 值 k0 k 0 图像 性质x 的取值范围是x0；y 的取值范围是y0; 函数的图像两支分别位 于第二、第四象限，在 每个象限内y 值随 x 值 的增大而增大。 x 的取值范围是x0； y 的 取值范围是y0; 函数的图像两支分别位于 第一、第三象限，在每个 象限内y 值随 x 值的增大 而减小。 1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一 学习必备欢迎下载 个象限内”这一条件。 2）反比例函数图像的两个分支可以无限地接近x 轴、 y 轴，但与 x 轴、 y 轴 没有交点。 对 称 性 )0(k x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为 )

5、0( kxy 或 )0( kxy )0(k x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0） ； x k y x k y和 (k0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称， 也关于 y 轴对称 7. 反比例函数y x k （k0 ）中的比例系数k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩 形的面积。 如图，过双曲线yx k （k0 ）上的任意一点P（x , y）做 x 轴、 y 轴的垂线 PA 、PB ，所得矩形 四边形 OBPA的面积 S=PA PB=xy =k。 当反比例函数过一，三象限时，k=xy 当反比例函数过二，四象限时，k=-xy 推出：过

6、反比例函数图像上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所 得三角形的面积为 2 k 三、例题精讲 例 1 :下面函数中，哪些是反比例函数？ （1） 3 x y ； （2） x y 8 ； （3） 54xy ； （4） 1 5xy ； （5） . 8 1 xy 解：其中反比例函数有（2） ， （4） ， （5） 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义， x k y )0(k ，它 学习必备欢迎下载 也可变形为 1 kxy 及 kxy 的形式，（4） ， （5）就是这两种形式 例 2: 已知反比例函数 6 2 )2( a xay ，y 随 x 增大而减小，求a 的值及解 析式 分析根据反比例

7、函数的定义及性质来解此题 解 3：因为 6 2 )2( a xay 是反比例函数，且y 随 x 的增大而减小， 所以 . 02 , 16 2 a a 解得 .2 ,5 a a 所以 5a ，解析式为 x y 25 例 4： （1）若函数 2 2 )1( m xmy 是反比例函数，则m 的值等于（） A 1 B1 C 3 D 1 （2）如图所示正比例函数 0(kkxy ）与反比例函数 x y 1 的图像相交于A、C 两点，过A 作 x 轴的垂线交x 轴于 B，连结 BC若 ABC的面积为 S ，则： A 1S B 2S C 3S DS的值不确定 解： （ 1）依题意，得 , 12 , 01 2

8、m m 解得 1m 故应选 D （2）由双曲线 x y 1 关于 O 点的中心对称性，可知： OBCOBA SS 1 2 1 22ABOBABOBSS OBA 故应选 A 例 5: 已知 21 yyy ， 1 y 与 x 成正比例， 2 y 与 x 成反比例，当 1x 时， 4y ；当 3x 时， 5y ，求 1x 时， y 的值 分析先求出 y 与 x 之间的关系式，再求 1x 时， y 的值 学习必备欢迎下载 解因为 1 y 与 x 成正比例， 2 y 与 x 成反比例， 所以 )0(, 21 2 211 kk x k yxky 所以x k xkyyy 2 121 将 1x ， 4y ；

9、3x ， 5y 代入，得 .5 3 1 3 ,4 21 21 kk kk 解得 . 8 21 , 8 11 2 1 k k 所以x xy 8 21 8 11 所以当 1x 时， 4 8 21 8 11 y 说明不可草率地将 21 kk、 都写成 k 而导致错误， 题中给出了两对数值，决 定了 21 kk、 的值 例 6:（ 1）一次函数 1xy 与反比例函数 x y 3 在同一坐标系中的图像 大致是如图中的（） （2） 一次函数 1 2 kkxy 与反比例函数 x k y 在同一直角坐标系内的图 像的大致位置是图中的（） 学习必备欢迎下载 解： 1xy 的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C

10、；又x y 3 的 图像两支在第一、三象限，故排除D答案应选A （2） 若 0k ， 则直线 )1( 2 kkxy 经过第一、三、四象限，双曲线 x k y 的图像两支在第一、 三象限，而选择支A、 B、 C、 D 中没有一个相符； 若 0k ， 则直线 )1( 2 kkxy 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、 四象限，故只有C正确应选C 四、重点、常见题型（图形变换） 1，根据图像的所在象限，确定K 值。 2，根据图像的单调性，确定x 值大小，或y 值大小。 3，根据反比例函数定义，确定解析式中的常量值。 4，反比例关系与反比例函数的区别和联系： 如果 xy=k（ k0 ） ，那么

11、 x 与 y 这两个量成反比例的关系，这里的x、y 可以 表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。 例如：y1 与 x+1 成反比例，则 1 1 x k y ； 若 y 与 x2 成反比例，则 2 x k y 成反比例关系， x 和 y 不一定是反比例函数； 但反比例函数 x k y （k0 ）必成反比例关系。 5，坐标系中的求不规则图形的面积 结论 1：过双曲线上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积S为定 值|k| 分析：对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的 对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论 2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论

12、 3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 学习必备欢迎下载 结论 4：在三角形AMB 中，面积为S=|k| 利用已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k） 例 1、如果函数 22 2 kk kxy 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么 的值是多少？ 分析：有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y ， （0k）即 kxy 1 （ 0k ）又在第二，四象限内，则 0k 可以求出的值 解：由反比例函数的定义，得： 0 122 2 k kk 解得 0 2 1 1 k kk或 1k 1k 时函数 22 2 kk kxy 为 x y 1 例 2、在反比例函数 x y 1 的图像上有三

13、点 1 x ， 1 y ， 2 x ， 2 y ， 3 x ， 3 y 。若 321 0xxx 则下列各式正确的是（） A 213 yyy B 123 yyy C 321 yyy D 231 yyy 分析：可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得 1 1 1 x y ， 2 2 1 x y ， 3 3 1 x y 321 0xxx ， 213 yyy 所以选 A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x y 1 的图像 学习必备欢迎下载 描出三个点，满足 321 0xxx 观察图像直接得到 213 yyy 选 A 解法三：用特殊值法 123 0xxx ， 123

14、 2,1,1xxx令 ， 123 1 ,1,1 2 yyy 312 yyy 例 3：已知函数 24 2 3 1 m xmy 是反比例函数，且其函数图像在每一 个象限内， y 随 x的增大而减小，求反比例函数的解析式 解：因为 y 是x的反比例函数， 所以 124 2 m ，所以2 1 m 或 . 2 1 m 因为此函数图像在每一象限内， y 随x的增大而减小， 所以 0 3 1 m ，所以3 1 m ，所以2 1 m ， 所以反比例函数的解析式为 . 6 5 x y 说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数 x k y )0(k ， 当 0k 时， y 随 x 增大而减小，当 0k

15、时， y 随 x 增大而增大 例:4：当 n 取什么值时， 12 2 )2( nn xnny 是反比例函数？它的图像在第 几象限内？在每个象限内，y 随 x增大而增大还是减小？ 分析根据反比例函数的定义 )0(k x k y 可知， 12 2 )2( nn xnny 是 反比例函数，必须且只需 02 2 nn 且 11 2 nn 解 12 2 )2( nn xnny 是反比例函数，则 学习必备欢迎下载 ,11 , 02 2 2 nn nn .10 , 20 nn nn 或 且 即 1n 故当 1n 时， 12 2 )2( nn xnny 表示反比例函数： x y 1 01k ， 双曲线两支分别

16、在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随 x 的增大而增 大 五、易错点、常用方法、解题技巧 1，反比例函数画图像时应该注意： （1）列表取值时，x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代 表性，可以“ 0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互 为相反数，这样也便于求y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些 点，这样便于连线，使画出的图象更精确 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折 线 （4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与x 轴、 y 轴相交， 只是无限靠近两坐标轴 六、课堂小结、课下安排 反比例函数解析式的特征： (1)等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k（也叫 做比例系数 k） ，分母中含有自变量x，且指数为 1. (2)系数 0k (3)自变量 x的取值为一切非零实数。 (4)函数 y 的取值是一切非零实数。 课下安排：