四年级奥数教师版追及问题.pdf

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1、第九讲追击问题 知识导航 追及路程甲走的路程乙走的路程 （甲的速度 追及时间）（乙的速度 追及时间） （甲的速度乙的速度）追及时间 速度差追及时间. 例1： 甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米同时一列 快车从乙地出发，每小时行90千米两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小 时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 解析： 追及路程即为两地距离240千米，速度差306090（千米），所以追及时 间830240（小时） . 【巩固 1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5 分钟后，哥哥以每分钟 60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟

2、弟？（假定从 学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 解析： 若经过 5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了200540（米）；哥哥每 分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？10)4060(540（分）， 哥哥 10分钟可以追上弟弟. 【巩固 2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时 行驶 15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 解析： 出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短 51015 （千 米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能 追上：2)1015(10（小

3、时），还需要2个小时 . 【巩固 3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12 小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少 时间后，通讯员能赶上先遣队？ 解析： 追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 1)678()126(小时 ) 例2： 小明步行上学，每分钟行70米离家 12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家 中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明问爸爸出发几 分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？ 解析 ：如图： 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270( 米 ) ，即爸爸要追及的路 程为 8

4、40米 , 也就是 爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”， 爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短21070280( 米 ) ， 也就是爸爸与小明的速度差为21070280( 米 /分), 爸爸追及的时间： 4210840( 分钟 ) 当爸爸追上小明时，小明已经出发16412( 分钟 ) ，此 时离家的距离是：11201670( 米 ) 【巩固 1】哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米， 有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也 到达学校，问他们家离学校有多远? 解析： 哥哥出发的时候弟弟走了：2

5、00540（米），哥哥追弟弟的追及时间 为：8)4065(200（分 钟），所以家离学校的距离为：520658（米） . 【巩固 2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自 行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度. 解析： 小强出发的时候小明走了6001250（米），被小强追上时小明又走了： 850)6001000(（分 钟），说明小强8分钟走了 1000米，所以小强的速度为： 12581000（米 /分钟） . 例 3: 小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分 钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走

6、了多少米？ 解析： 小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追 他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差路程差是两人相背运动的总路 程：3903)7060(米)追及时间为：39)6070(390(分钟 ) 小强走的总路程为：2940)339(70(米) 【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影小聪每分钟行60米， 他出发后 10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 解析： 要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知 )和小明所用的时 间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是： 40602400(

7、分钟 )，小明所用的时间是：301040(分钟 )， 小明每分钟走的米数是：80302400(米) 例4: 王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华 每分钟走 70米，出发 5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然 后追赶李华求多少分钟后追上李华？ 解析： 已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校 又耽误了 2分钟，王芳一共耽误了12225( 分钟 ) 李华在这段时间比王芳多 走：8401270(米)，速度差为：4070110( 米/ 秒) ，王芳追上李华的时间 是：2140840( 分钟 ) 【巩固 1】小王、小李共

8、同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份， 小王迟到了 1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务一 共有多少份报纸？ 解析： 本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间， 小李整理报纸的份数（60份），速度差：126072（份 / 分钟）此时可求两人 整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是51260（分钟）共整理 报纸：7202725（份） 【巩固 2】甲、乙两车同时从A地向 B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千 米，开出 1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达 A地后又立即向 B地开出追乙 车，当甲车追上乙车时，两

9、车正好都到达B地，求 A、B两地的路程 解析： 根据题意画出线段图： 从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的 路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地 到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程 ,追及路程为：68234(千米 ); 追及时间为：17)3438(68(小 时).A、B两地的路程为：6461738(千米 ). 例 5: 甲、乙两辆汽车同时从A地出发去 B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40 千米途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达 B地 A、 B两地间的路程是多少？ 解析： 由

10、于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车 少用 2小时可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先 行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答即：行 这段路程甲车比乙车少用的时间是：213( 小时 ) ，乙车 2小时行的路程是： 80240( 千米 ) ，甲车每小时比乙车多行的路程是：104050(千米 )，甲车所 需的时间是：81080(小时 )， A、B两地间的路程是：400850(千米 ) 【巩固 1】甲、乙两车分别从A、 B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在 后已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米 /

11、小时，乙车每小时行 80千米甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离 解析： 由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解追及时 间为：415( 小时 ), 追及路程为：644)8096( 千米 ),A 、 B两地间的距离为：1606496(千米 ) 【巩固 2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托 车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米 ，经过 4小时汽车追上摩托 车，甲乙两地相距多少千米？ 解析： 先求 出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差 )，再求出两地相距的路 程，即：1484)2865(千米 ). 例 6： 小明的家住学

12、校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米， 每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校已知小明的速度 是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？ 解析： 小明比小芳提前3分钟出发，则多走210370（米）两家之间的所剩路程 是12002101410(米)，两人的速度和是1508070（米），所剩路程需： 8)8070(1200（分）走完小明家距离学校770)38(70（米） 【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每 小时行 12千米，小宙每小时行15千米当小宇走了3千米后，小宙才出发当小宙追 上小宇时，

13、距部队驻地还有多少千米？ 解析： 追及时间：1)1215(3( 小时 ) ， 此时距部队驻地还有：11516( 千米 ) 例 7： 甲、乙两列火车同时从A地开往 B地，甲车 8小时可以到达，乙车每小时比甲车 多行 20千米，比甲车提前2小时到达求 A、B两地间的距离 解析： 这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有 两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程 方法一： 如图： 甲车 8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了： 628(小时 )，此 时路程差为：120620(千米 )，此时路程差就是甲车2小时 的路程，所以甲车速度为：602120(

14、千米 /小时 )，A、B两地间的距离： 480860(千米 ) 方法二： 如图： 假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：160820(千米 )，这段 路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：802160(千米 /小时 )，乙车到达时 用了：628(小时 )，A、B两地间的距离：480680(千米 ) 例 8： 龟、兔进行 1000米的赛跑小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“ 我小兔每分钟能跑100 米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手” 比赛开始后，当小兔跑到全程的 一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了当乌龟跑到距终点 还有 40米时，小兔醒了，拔腿就跑请同学们解

15、答两个问题：它们谁胜利了？为什 么？ 解析： 乌龟胜利了因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要 41040( 分钟 ) 就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5100500( 分 钟 ) 才能到达，所以乌龟胜利了 乌龟跑到终点还要41040( 分钟 ) ，而小兔跑到终点还要510021000( 分 钟 ) ，慢 1分 钟当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001100( 米) 【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前， 为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已 经提高到 5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？ 解析：

16、 由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为50510( 米/ 分 ) ，乌龟先 跑 10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了5001050( 米) ，还剩 5005001000( 米 ) ，需要1050500( 分钟 ) 就可 以到达终点，而兔子到达终点 需要的时间是：101001000( 分钟 ) ，所以，兔子和乌龟同时到达终点 例9： 军事演习中， “我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到 A岛时， “敌” 舰已在 10分钟前逃离， “敌”舰每分钟行驶1000米， “我”海军英雄舰每分钟行驶1470 米，在距离 “ 敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少 分钟可射击敌

17、舰？ 解析： “我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰 与“敌”舰的距离为10000米。 . 又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射 击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400，即可开炮射击. 所以，在这个问题中，不妨 把9400当作路程差，根据公式求得追及时间： 20)10001470()600101000( （分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰. 【巩固】 ( 第二届 “走进美妙数学花园”) 在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车 以90千米 / 小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米 / 小时的速度行驶后面的汽 车刹车突然失控，向前冲去( 车速不

18、变) 在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽 车在这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 解析： 这是一道“追及问题”根据追及问题的公式，追及时间时间 差由题意知，追及时间为5秒钟，也就是)6060(5小时，两车相距距离为路程 差，速度差为1890108( 千米 / 时 ) ， 也就是 18000 米/ 时，所以路程差为： 253600518000( 米 ) ，所以，在这辆车鸣笛时两车相距25米 例10：小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小 蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝小红、小蓝二人的速 度各是多少？ 解析： 小红让小蓝先跑20米，则 20米就是小红

19、、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追 上小蓝， 5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为4520( 米 ) ；若小红让 小蓝先跑 4秒，则小红6秒 可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一 个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4 秒钟所行的路程，路程差就等于2464( 米) ，就是 小蓝在 4秒内跑了 24米，所以 可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度 综合列式计算如下：小蓝的速度为：646520( 米/ 秒) ， 小红的速度为：1046( 米/ 秒 ) 【巩固】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若 甲让乙先跑2秒钟，则

20、甲跑4秒钟就能追上乙问：甲、乙二人的速度各是多少？ 解析： 若甲让乙先跑10米，则 10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据 此可求出他们的速度差为2510( 米/ 秒 ) ；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上 乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于842( 米 ) ，即乙在 2 秒内跑了 8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度综合列式计算如下： 乙的速度为：424510（米）甲的速度为：64510( 米 / 秒 ) 例 11：甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲26 分钟赶 上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行50 米，求A

21、、B 两 地的距离 . 解析： 先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟 . 而从 A到D则用 26分钟，因此，甲走C到 D之间的路程，用时间应为：20626分. 同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC 加BD.即等于乙在 6分钟内所走的路程与在 26分钟内所走的路程之和，为1600)626(50（米） . 所以，甲的速度为80201600（米 / 分）， 由此可求出 A、B间的距离：80)626()626(50（米 /分）， 7806)5080(（米） 例12：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是 2400 米甲到

22、少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 300米处遇到乙，此时他们离开学 校已经 30分钟问：甲、乙每分钟各走多少米？ 解析： 根据题意，画线段图如下： 方法一 ：30分钟内，二人的路程和：480022400( 米) ，因此速度和为： 160304800( 米/ 分) ；又知道 30分钟甲的路程为：27003002400( 米) ，所以 甲速度为：90302700( 米/分) ，则乙速度为：7090160( 米 / 分 ) 方法二： 30分钟内，甲的路程为27003002400( 米 ) ，乙走的路程为： 21003002400( 米 ) ，因此甲的速度为：90302700( 米 / 分 ) ，

23、乙的速度为：7030)3002400( 米/ 分 ) 课后练习 1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千 米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平 时，距乙地还有多少千米？ 解析： 平平走了 6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程由 于兵兵每小时比平平多走31417(千米 )，要求兵兵几小时可以追上6千米，也 就是求 6千米里包含着几个3千米， 用236(小时 )因为甲地和乙地相距40千 米，兵兵每小时行17千米， 2小时走了34217(千 米)，所以兵兵追上平平时，距 乙地还有63440(千米 ) 2、 一辆慢

24、车从甲地开往乙地，每小时行40 千米，开出5 小时后，一辆快车以每 小时90 千米的速度也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙 两地相距多少千米？ 解析： 慢车先行的路程是：200540(千米 )，快车每小时追上慢车的千米数 是：504090( 千米 ) ，追及的时间是：450200(小时 )， 快车行至中点所行的路程是：360490(千米 )， 甲乙两地间的路程是：7202360(千米 ) 3、四年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米， 15分钟以后，学校有急事 要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多 少米才可以准时追上同学们？ 解析：

25、 同学们 15分钟走10801572（米），即路程差然后根据 速度差路程差追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的 速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度即1927291080（米） 4、小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米小李出发后2小 时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？ 解析： 小李 2小时走：26213（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米 处出发，则知道两人的路程差是20626（千米）每小时小王追上小李 21315（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即： 10220（小时） 5、自行

26、车队出发12 分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9 千米处追 上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时 恰好离出发点18 千米，求自行车队和摩托车的速度 解析： 在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为 (189 )千米，而自行车所走的路程为 (189 )千米，所以，摩托车的速度是自行 车速度的3 倍 ( (18 9) (18 9) ) ；摩托 车与自行车的速度差是自行车速度的2 倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12 分钟，也即第一次 追及的路程差等于自行车在12 分钟内所走的路程，所以追及时间等于1226 (

27、分钟 )；联系摩托车在距出发点9 千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6 分钟内走了9 千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了列式为： （ 18 9）（18 9） 3 倍， 12（3 1） 6 ( 分钟 )，摩托车的速度为：9 6 1.5 (千米 /分钟 )，自行车的速度为：1.5 3 0.5 (千 米/分钟 ) 6、在周长400 米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60 米和 50 米的 速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2 小时内，甲追上乙多少次？ 解析： 此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端， 其路程差为圆周长的一半，4002=200（米），

28、当甲追上乙后，如果再想追上乙必 须比乙多行圆的一周的路程，即一周400 米为路程差，根据不同的路程差，我们可 以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的 时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2 小时内甲追上乙的次数。 解：2 小时 =120 分甲第一次追上乙所用的时间： 4002（ 60-50 ）=20（分） 甲第二次开始每追乙一次所用的时间： 400（ 60-50 ）=40（分） 甲从第二次开始追上乙多少次： （120-20 ） 40=2 次 20 秒 甲共追上乙多少次：2+1=3（次） 答：甲共追上乙3 次。 7、在 480 米的环形跑道上，甲、乙两

29、人同时同地起跑，如果同向而行3 分钟 20 秒 相遇，如果背向而行40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？ 解析： 同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400 米才能与乙相遇， 400 米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3 分 20 秒，可知甲、乙的速度 差。背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400 米， 400 米正好上两 人的路程总和除以40 秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。这样已知甲、乙的速度和 及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多 少？ 解： 3 分 20 秒=200 秒 甲、乙的速度和：40040=10（米） 甲、乙的速度差：400200=2（米） 甲的速度为每秒多少米？（10+2） 2=6（米） 乙的速度为每秒多少米？（10-2） 2=4（米） 答：甲的速度为每秒6 米，乙的速度为每秒4 米。