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1、因式分解全章复习与巩固（提高） 撰稿：康红梅责编：李爱国 【学习目标】 1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多 项式分解因式. 因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆. 因式分解是一种恒等变 形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是
2、各项的公因式 m，另一个因式是 ，即，而正好是 除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1. 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 22 ababab 2. 完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（差）的平方 即 2 22 2aabbab， 2 22 2aabbab. 形如 22 2aabb， 22 2aabb的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次
3、三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （ 3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式 2 xbxc，若存在 pqc pqb ，则 2 xbxcxpxq 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑 分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解分组分解法. 即先对题目进行分组，然后再分解因
4、式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法 , 公式法 , 分组分解法 , 十字相乘法 , 添、 拆项法 等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解 （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止 【典型例题】 类型一、提公因式法分解因式 1、 分解因式： (1) 222 284a bcacabc； (2) 32 ()()()()m mnm mnm mn mn 【答案与解析】 解： (1) 222 2842(42 )a bcacacbac ab
5、ccb (2) 32 ()()()()m mnm mnm mn mn 2 ()()()()m mnmnmnmn 22 ()(22 )m mnmmnnn 【总结升华】 在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别 是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确 与否 、利用分解因式证明： 712 255能被 120 整除 【思路点拨】25 2 5，进而把 7 25整理成底数为5 的幂的形式，然后提取公因式并整理为 含有 120 的因数即可 【答案与解析】 证明： 712 255 7 212 55 1412 55 122 551 12 52
6、4 11 5524 11 5120 712 255能被 120 整除 【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120 的因数相乘的形 式 类型二、公式法分解因式 3、放学时，王老师布置了一道分解因式题： 22 22 44xyxyxy，小 明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了， 你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的 【思路点拨】把xyxy、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答 【答案与解析】 解：把xyxy、看作完全平方式里的,a b； 原式 22 222xyxyxyxy 2 2xyxy 2 3yx 【总结升华】本题主要
7、考查利用完全平方公式分解因式，注意把xyxy、看作完全 平方式里的,ab是解题的关键 举一反三： 【变式】下面是某同学对多项式 22 42464xxxx进行因式分解的过程 解：设 2 4xxy 原式 264yy （第一步） 2 816yy（第二步） 2 4y（第三步） 22 (44)xx（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（） A、提取公因式 B平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底_（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式 22 222
8、1xxxx进行因式分解 【答案与解析】 解：（ 1）运用了C，两数和的完全平方公式； （2） 2 44xx还可以分解，分解不彻底；结果为 4 2x. （3）设 2 2xxy 22 2221xxxx 21y y， 2 21yy， 2 1y 2， 22 (21)xx， 4 1x 4、计算： (1 2 1 2 )(1 2 1 3 )(1 2 1 4 ) (1 2 1 2004 )(1 2 1 2005 ) 【思路点拨】 先把括号里的式子通分，再把分子分解因式， 利用乘法约分即可剩下 12006 22005 . 【答案与解析】 解： (1 2 1 2 )(1 2 1 3 )(1 2 1 4 ) (1
9、2 1 2004 )(1 2 1 2005 ) 2222 2222 21 31 4120051 2342005 12006 22005 1003 2005 【总结升华】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关 键是正确运算和分解 举一反三： 【变式】设 22 1 31a， 22 2 53a， 22 2121 n ann（n为大于 0 的自然 数）（ 1）探究 n a是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数 的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”试找出 1 a， 2 a， n a， 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并
10、指出当n满足什么条件时， n a为完全平 方数（不必说明理由） 【答案】 解：（ 1） 22 22 21214414418 n annnnnnn， 又n为非零的自然数， n a是 8 的倍数 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8 的倍数 （2）这一列数中从小到大排列的前4 个完全平方数为16，64，144，256 n为一个完全平方数的2 倍时， n a为完全平方数 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式 5、分解因式： （1） 2 22 222xx （2） 2 22 4420xxxx （3） 22 44634aabbab 【答案与解析】 解： （1）原式 22 22212211x
11、xxxxx （2）原式 2 2222 4(4 )204544xxxxxxxx 2 512xxx （3）原式 2 23 242421abababab 【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题. 举一反三： 【变式】下列何者是 765 228321xxx的因式？（） A2x3 B 2 (117)xx C 5 113xx D 6 27xx 【答案】 C； 解： 765525 22832122832111327xxxxxxxxx， 则 2 (117)xx是多项式的一个因式 6、已知长方形周长为300 厘米，两邻边分别为x厘米、 y厘米， 且 3223 44xx yxyy0，求长方形的面
12、积 【思路点拨】 把 3223 44xx yxyy0 化简成22xyxyxy，可得2xy， 由题意可得150xy，解方程组 2 150 xy xy 即可 . 【答案与解析】 解： 3223 44xx yxyy0 22 4xxyyxy0 22xyxyxy0 2xy，xy，2xy（不合题意，舍去） 又由题意可得150xy 解方程组 2 150 xy xy 解之得，x100，y50 长方形的面积 100505000 平方厘米 【总结升华】 本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法 和运用平方差公式法 举一反三： 【变式】因式分解： 22 1448xyxy，正确的分组是（） A 22 (14)(84)xxyy B 22 (144)8xyxy C 22 (18)(44)xyxy D 22 1(448)xyxy 【答案】 D； 当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解本题中 22 448xyxy正好 符合完全平方公式，应考虑2，3，4 项为一组