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1、对 行 为 一 一 为 一 四边形 两 组 边 平 一个内 角 Rt 一个内角为 Rt, 一组邻边相等 组邻边 相等 组对边 平行 且另一 组对边 不平行 一个内 角 Rt 组邻边 相等 四边形知识与题型总结 一. 本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之 间的内在关系 . （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形） 平行四边形 图2 FED C B A 图1 F E D C B A 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱
2、形、正方形、等腰梯形的有关性 质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名 称 平行四边形矩形菱形正方形 定 义的四边形是平行 四边形 的平行四边形是 矩形 的平行四边形 是菱形 的平行四边形 是正方形 性 质 边 角 对 角 线 对 称 性 判 定 边 角 对 角 线 面 积 周 长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图 1， ABCD S=BC AE=CD BF 30 60 60 （2）同底 ( 等底)同高（等高）的平行四边形面积相等. 如图 2， ABCD S= BCFE S 4. 三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线 （与中线的区 分）;
3、 定理: 作用: 可以证明两条直线平行; 线段的相等或倍分 . 拓展: 三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线 5. 正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为2a; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离 相等 （3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的 一半. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大 . 6. 梯形的中位线 （1）定义 : 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理 : 梯形的
4、中位线平行于两底，且等于两底和的一 半. （3）梯形的面积 S=1 2 （上底 +下底）高 =中位线高 7. 几种特殊四边形的对角线 矩形对角线交角为60(120) 时,可得： 等边三角形和含30角直角三角形（ 图） 菱形有一个角为60时, 可得： 正方形中可得： 含 30角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三 角形 C F BE D A 60 60 AD C BF E （图）（图） 对角线互相垂直的梯形, 对角线互相垂直的等腰 梯形 平移腰可得：双垂图可得：等腰直角三角形 （图）（图） 8. 中点四边形 : （顶点为各边的中点，需讨论对角线 (3) 若 AE=3 ，CF=7 ，请作出对应图
5、形，并求ABCD周长 A B C D C B E A F D 3(1) 在平行四边形 ABCD 中，若 C= B+D，则 A= . (2) 已知在ABCD, A比B小20o， 则C的度数是 (3) 在ABCD中，周长为 100cm ，AB-BC=20cm ，则 AB= , BC= . （4） 在ABCD中，周长为 30cm ， 且 AB ： BC=3 ： 2， 则 AB= cm. （5） （2007 河北省）如图， 若ABCD与 EBCF关于BC所在直线对称， ABE90，则F 4 （2007 福建福州）下列命题中，错误的是（） A矩形的对角线互相平分且相等 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C
6、等腰梯形的两条对角线相等 D等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 5. （2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（） A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6. （2007 甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ( ) A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 7. （2007四川眉山）下列命题中的假命题是( ) A 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B 一组邻边相等的矩形是正方形 C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 8.
7、 （2007四川成都）下列命题中，真命题是（） 两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 9. （2007 浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（） ABCDACBD 等边ABD CABCAD （二）图形的性质和判定方法 10如图，已知四边形ABCD 是正方形，分别过A、C两点作 1/2，作 BM 2于 M ，DN 2于 N，直线 MB 、ND分别交1、2于 Q 、P，试判断四 边形 PQMN 的形状 11如图，在正方形ABCD 中，E、F、G 、H分别为正方形边上的点，而 且 A
8、E=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH 为正方形 12如图，在矩形 ABCD 中，E是 CD边上一点， AE=AB ，AB=2AD ，求 EBC的度数 l2 l1 Q B AM N D CP E H G F D C B A E CD AB （三）转化的思想将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形 和平行四边 形问题 . 如 图所示： 13填空 （1）等腰梯 形上底长为 3cm ，腰长为 4cm ，其中锐角等于60o ， 则下底长是 （2）等腰梯形一个底角是60o ，它的上、下底分别是8 和 18，则这梯 形的 腰长是，高是，面积是 （3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm ，上底长 3c
9、m ，另一腰与下底 的 夹角为 30o ，则另一腰长为，下底长 为 （4） 等腰梯形两对角线互相垂直， 一条对角线长为6， 则高为， 面积为 （5）已知在梯形 ABCD 中，AD/BC，若两底 AD 、BC的长分别为 2、8， 两条对角线 BD=6 ，AC=8 ，则梯形的面积为 （四）推理论证的进一步巩固 14 （2007 恩施自治州）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD相交 于点 O,E、F是直线 AC上的两点，并且AE=CF, 求证：四边形 BFDE 是平行四边形 . 15如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是直线 AB 、CD的中点，AF、 DE相交于点 G ，CE
10、 、BF交于点 H求证：四边形GEHF 是平行四边 形. 16平行四边形 ABCD 中，点 E、F分别在 BC 、AD上，且 AF=CE ，, 求证： 四边形 AECF 是平行四边形 . 17求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形 H G F A D B CE F A D B CE G E D H C F B 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A 18已知点 E、F在正方形 ABCD 的边 BC 、CD上， （1）若 BE=CF ，如图 13(1) 求证： AE=BF 并且 AE BF ； （2）若 E、F 分别是 BC 、EF的中点，如图 13(2) ，求证： GD=AD 19 （2
11、007 浙江金华）国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木 葱茏某广场上一个形状是平 行四边形的花坛（如图） ，分别 种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花如果有ABEFDC，BCGHAD，那么下列说法中 错误的是（） A红花、绿花种植面积一定相等 B紫花、橙花种植面积一定相等 C红花、蓝花种植面积一定相等 D蓝花、黄花种植面积一定相等 20. （06 盐城）已知ABCD的面积为 4，对角线交于 O ， 则 SA OB= 21. 若 A,B,C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（） A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个 22. 平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a G F E D C B A A BC D E F G E F A B C 的取值范围是（） A.4” 、 “=”或“ACAB， 在图 3 中画出 ABC的所有 “友 好矩形” ，指出其中周长最小的矩形并证明之.