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1、圆中的三角函数 解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的 直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类 问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下： 一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中 例 1(成都市 )如图 1， 已知 AB 是 O 的直径，弦 CDAB，2 2AC， BC=1，那么 sinABD 的值是 解析： 在 O 中， ACD=ABD； 又由于 AB 为 O 的直径， CD AB，则 ACD = ABC. Rt ABC 中， AB= 22 BCAC= 22 1)22(=3, 从而 sinABD = AB AC
2、 = 3 22 . 评注： 借用 “ 同弧所对圆周角相等” ，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想 的巧妙运用。 二、用直径与所对圆周角构造直角三角形 例 2(烟台市 )已知是半圆 O 的直径， 弦 AD、 BC 相交于点P， 若 DPB= ， 那么 CD AB 等于 Asin B COS Ctan D 1 tan 解析：连结 BD,由于 AB 为直径 ,则 ADB =90 , 于是 ,在 RtPBD 中,有 COS = PB PD , 而点 C 和点 A 在圆周上，所以A=C， 又 APB= CPD，则 APB CPD， 从而 CD AB = PB PD ，所以 CD AB =COS
3、 ，故选 B。 评注： 直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三 角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关 注直径所对圆周角。 三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形 例 3(武汉市 )如图 4，等腰三角形ABC 中，ACBC10，AB12。以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DFAC，垂足为F，交 CB 的延长线于点E。 (1)求证：直线EF 是 O 的切线； (2)求 sin E 的值。 解析： （ 1）证明：如图5,连结 OD、 CD， 因为 BC 是直径，所以CD AB， 而 AC=BC，则 D 是 AB 的中点 又因为 O 是 C
4、B 的中点，所以OD/AC 由于 DF AC，则 ODEF，于是 EF 是 O 的切线 . （2）连结 BG，因为 BC 是直径，所以BGC=90 图 A B D C E F G O 图 4 A C B D O 图 1 E D OA B C D E O A B C 在 RtBCD 中， CD= 22 ADAC= 22 610=8 而 AB CD=2 ABC S= AC BG , 则有 BG= AC CDAB = 10 812 = 5 48 . 在 RtBCG 中， CG= 22 BGBC= 22 ) 5 48 (10= 5 14 ; 又因为 BGAC， DF AC，所以 BG/EF, 则 E=
5、 CBG,从而 sinE=sinCBG= BC CG = 10 5 14 = 25 7 评注： 挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角 形，为求角的函数值提供便利. 例 4. 如图， Rt ABC 中, ACB=90 ， AC=4 ， BC=2, 以 AB上的一点0 为圆心作 O分别与 AC BC相切于点D，E。 (1)求 O的半径。 (2) 求 sin BOC 的值。 证： (1) ：连 OE,OD ，证四边形OECD 为正方形，设半径为R， 2 R = 4 4R , R= 3 4 ； (2) 10 103 ，作 CM AB于 M ，易求 AB=25AB CM
6、=BC AC ， CM= 5 54 , 易求 OC=R2= 3 24 , sin BOC= OC CM = 10 103 例 5.如图，等腰 ABC 中， AB=A C ，以 AB为直径作 O， 交 BC于点 D，DEAC于点 E。 (1) 求证： DE为 O的切线： (2) 若 BC=45，AE=1 ，求 cos AEO的值。 图 5 O A E C B D F E D B A C O 解： (1) 连 OD, C=ABC= ODB. OD/AC, ODE= DEC =90 (2) AEO= DOE, cos AEO= cosDOE= OE OD ，连 DA.证 CD=BD =25， 证CD
7、E CDA,CD 2=CE CA=CE (CE+1) CE =4, DE= 22 CECD=2, OD= 2 1 AC= 2 5 ，OE= 22 ODDE= 2 41 , cos AEO= cosDOE= OE OD = 41 415 专练 1如图，已知RtABC和 RtEBC ， B=90以边 AC上的点 D为圆心， OA 为半径的 O 与 EC相切于点D，AD BC. (l)求证：E=ACB: (2)若 AD=1, tan DAC= 2 2 ，求 BC的长 2如图，已知点0 是 RtABC的直角边AC上一动点，以D为圆心， OA为半径的 O交 AB 于 D点， DB 的垂直平分线交BC于
8、F, 交 BD于 E。 (l) 连结 DF，请你判断直线DF与 O的位置关系 , 并证明你的结论 (2) 当点 D运动到 OA=2OC 时，恰好有点D是 AE的中点，求tan B。 F E D O B A C F E M O D A B C D M P C O A B F 3如图，在 ABC 中 AB=BC, 以 AB为直径的 O交 AC于点 D过 D 作 DFBC,交 AB的延长线于点E,垂足为 F . (1)求证；直线DE是 O的切线； (2) 当 AB=5 ，AC=8时，求 cos E的值 4如图， RtABC 中，C=90 ， BD平分ABC ，以 AB上一点 0 为圆心， 过 B、
9、D两点作 O ， O交 AB于点 E EFAC于点 F。 (1)求证： O与 AC相切： (2)若 EF=2 ，BC =4，求 tan A的值。 5如图，ABP中， ABP=90 ，以 AB为直径作 O交 AP于点 C，在弧 AC上取一点F， 使弧 CF=弧 CB ，过 C作 AF的垂线，垂足为M ， MC 的延长线交BP于 D。 (1)求证： CD为 O的切线。 (2) 连 BF交 AP于 B若 BE=6 ，EF=2 求 tan FAE 。 6如图，AB是O的直径，AC是弦，点D是BC的中点， DPAC, 垂足为点 P. （1）求证：PD是O的切线 . （2）若AC=6, cosA=3 5
10、，求 PD的长 . 7如图， O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点 .过点B作BECD，交AC的延 长线于点E. 连接BC （1）求证：BE为 O的切线； （2）如果CD=6，tan BCD= 2 1 ，求O的直径的长 8如图，DEC内接于O ，AC经过圆心 O 交 O 于点 B，且 AC DE ，垂足为 F ， 连结 AD 、BE ，若 1 sin 2 A，BED =30 （1）求证：AD是O的切线； （2）DCE是否是等边三角形？请说明理由； （3）若O的半径2R，试求 CE的长 D B O C A P E B M D C O A A B C D E O F 9如图， AB 为 O 的直径，弦CDAB ，垂足为点E，CFAF，且 CF=CE （1）求证： CF 是 O 的切线； （2）若 sinBAC=，求的值