圆和相似结合初三.pdf

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1、圆和相似（初三） 一解答题（共18 小题） 1 （2012?铜仁地区）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，AB CD， O 的切线 BF 与弦 AD 的延长 线相交于点F （1）求证： CDBF； （2）若 O 的半径为5，cosBCD=，求线段AD 的长 2 （ 2013?河东区一模）如图，已知CD 是 O 的直径， AC BC，垂足为 C，点 E 为圆上一点，直线BE、CD 相交 于点 A，且 A+2AED=90 （）证明：直线AB 是 O 的切线； （）当 BC=1 ，AE=2 ，求 tanOBC 的值 3 （2011?湛江）如图，在RtABC 中， C=90 ，点 D

2、是 AC 的中点，过点A，D 作 O，使圆心O 在 AB 上， O 与 AB 交于点 E （1）若 A+ CDB=90 ，求证：直线BD 与 O 相切； （2）若 AD：AE=4 ：5，BC=6 ，求 O 的直径 4 （2012?丰润区一模）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相互垂直，垂足为点E，过点 B 作 CD 的平行线与弦 AD 的延长线相交于点F，且 AD=3 ，cosBCD= （1）求证： BF 为 O 的切线 （2）求 O 的半径 5 （2013?塘沽区二模）如图（1） ，AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，若直线CD 与 O 相切于点C，AD CD， 垂足为 D （

3、）求证： ADC ACB ； （）如果把直线CD 向下平行移动， 如图（2） ， 直线 CD 交 O 于 C， G 两点，若题目中的其他条件不变，且 AG=4 ， BG=3，求的值 6 （2012?德州）如图，点A，E 是半圆周上的三等分点，直径BC=2 ，AD BC，垂足为D，连接 BE 交 AD 于 F， 过 A 作 AG BE 交 BC 于 G （1）判断直线AG 与 O 的位置关系，并说明理由 （2）求线段AF 的长 7 （1997?湖南）已知：如图，AB 是 O 的直径， PB 切 O 于点 B，PA 交 O 于点 C， APB 是平分线分别交 BC，AB 于点 D、 E，交 O 于

4、点 F， A=60 ，并且线段AE、BD 的长是一元二次方程x 2kx+2 =0 的两根（ k 为常数） （1）求证： PA?BD=PB ?AE； （2）求证： O 的直径长为常数k； （3）求 tanFPA 的值 8 （2005?柳州）已知，如图，直线l 与 O 相切于点D，弦 BCl，与直径AD 相交于点 G，弦 AF 与 BC 交于点 E，弦 CF 与 AD 交于点 H （1）求证： AB=AC ； （2）如果 AE=6 ，EF=2，求 AC 9 （2006?黄冈）如图， AB 、AC 分别是 O 的直径和弦，点D 为劣弧 AC 上一点，弦ED 分别交 O 于点 E，交 AB 于点 H，

5、交 AC 于点 F，过点 C 的切线交ED 的延长线于点P （1）若 PC=PF，求证： ABED； （2）点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE?DF，为什么？ 10已知：如图，在半径为4 的 O 中， AB ，CD 是两条直径，M 为 OB 的中点， CM 的延长线交 O 于点 E，且 EMMC连接 DE，DE= （1）求证： AM ?MB=EM ?MC ； （2）求 sinEOB 的值； （3）若 P是直径 AB 延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE 是 O 的切线 11 （2012?临沂）如图，点A、B、C 分别是 O 上的点， B=60 ，AC=3 ，CD 是

6、 O 的直径， P 是 CD 延长线上 的一点，且AP=AC （1）求证： AP 是 O 的切线； （2）求 PD 的长 12 （2012?陕西）如图，PA、 PB 分别与 O 相切于点A、B，点 M 在 PB 上，且 OM AP，MN AP，垂足为N （1）求证： OM=AN ； （2）若 O 的半径 R=3， PA=9，求 OM 的长 13 （2012?东营）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切 O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN 于点 C， （1）求证： OD BE； （2）如果 OD=6cm ，OC=8cm ，求 CD 的长 14 （2013

7、?黄石）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是 O 的两条切线， E 是 O 上一点， D 是 AM 上一点，连 接 DE 并延长交BN 于点 C，且 ODBE，OFBN （1）求证： DE 与 O 相切； （2）求证： OF=CD 15 （2012?枣庄）如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于点 E，过点 B 作 O 的切线，交AC 的延长线于点F已 知 OA=3 ，AE=2， （1）求 CD 的长； （2）求 BF 的长 16 （2012?达州）如图， C 是以 AB 为直径的 O 上一点，过O 作 OEAC 于点 E，过点 A 作 O 的切线交OE 的 延长线于点F，

8、连接 CF 并延长交BA 的延长线于点P （1）求证： PC 是 O 的切线 （2）若 AF=1， OA=，求 PC 的长 17 （2012?衢州） 如图， 在 RtABC 中，C=90 ，ABC 的平分线交AC 于点 D，点 O 是 AB 上一点， O 过 B、 D 两点，且分别交AB、 BC 于点 E、F （1）求证： AC 是 O 的切线； （2）已知 AB=10 ，BC=6，求 O 的半径 r 18 （2012?怀化）如图， 已知 AB 是 O 的弦， OB=4，OBC=30 ，点 C 是弦 AB 上任意一点 （不与点A、B 重合）， 连接 CO 并延长 CO 交 O 于点 D，连接

9、AD 、DB （1）当 ADC=18 时，求 DOB 的度数； （2）若 AC=2，求证： ACD OCB （2013?天津）已知直线l 与 O， AB 是 O 的直径， ADl 于点 D （）如图 ，当直线l 与 O 相切于点 C 时，若 DAC=30 ，求 BAC 的大小； （）如图 ，当直线l 与 O 相交于点 E、F 时，若 DAE=18 ，求 BAF 的大小 圆和相似结合（初三） 参考答案与试题解析 一解答题（共18 小题） 1 （2012?铜仁地区）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，AB CD， O 的切线 BF 与弦 AD 的延长 线相交于点F （1）求证： C

10、DBF； （2）若 O 的半径为5，cosBCD=，求线段AD 的长 考点 ： 切线的性质；圆周角定理；解直角三角形 专题 ： 压轴题 分析：（ 1）由 BF 是 O 的切线， AB 是 O 的直径，根据切线的性质，即可得BFAB ，又由 ABCD，即可得 CDBF； （ 2）又由 AB 是 O 的直径，可得ADB=90 ，由圆周角定理，可得BAD= BCD，然后由 O 的半径 为 5， cosBCD=，即可求得线段AD 的长 解答：（ 1）证明： BF 是 O 的切线， AB 是 O 的直径， BFAB ， 3 分 CDAB ， CDBF； 6 分 （ 2）解： AB 是 O 的直径， AD

11、B=90 ， 7 分 O 的半径 5， AB=10 ， 8 分 BAD= BCD， 10 分 cosBAD=cos BCD=， AD=cos BAD ?AB= 10=8， AD=8 12 分 点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意数形结合 思想与转化思想的应用 2 （ 2013?河东区一模）如图，已知CD 是 O 的直径， AC BC，垂足为 C，点 E 为圆上一点，直线BE、CD 相交 于点 A，且 A+2AED=90 （）证明：直线AB 是 O 的切线； （）当 BC=1 ，AE=2 ，求 tanOBC 的值 考点 ： 切线的判定 专题 ：

12、 计算题 分析：（ I）连接 OE，CE，OB，求出 BC=BE ，证出 OEB OCB，推出 OEB=ACB=90 ，根据切线的判定 推出即可； （ II）证 AEO ACB ，推出=，求出=，解直角三角形求出即可 解答： （）证明：连接OE， CE，OB， DC 为圆 O 的直径， DEC=90 ， 即 CEB+ AED=90 ， 2AED+ 2CEB=180 ， ACBC， ACB=90 ， A+ABC=90 ， A+2AED=90 ， ABC=2 AED ， ABC+2 CEB=180 ， ABC+ CEB+ ECB=180 ， CEB= ECB， BC=BE ， 在 OEB 和 OC

13、B 中 ， OEB OCB， OEB=ACB=90 ， 即 OE AB， AB 是 O 切线 （）解：BE=BC=1 ，AB=2+1=3 ， 在 RtACB 中，由勾股定理得：AC=2， A=A， AEO= ACB=90 ， AEO ACB ， =， =， tanOBC= 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应 用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力 3 （2011?湛江）如图，在RtABC 中， C=90 ，点 D 是 AC 的中点，过点A，D 作 O，使圆心O 在 AB 上， O 与 AB 交于点 E （1）若 A+ C

14、DB=90 ，求证：直线BD 与 O 相切； （2）若 AD：AE=4 ：5，BC=6 ，求 O 的直径 考点 ： 切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理 专题 ： 几何综合题；压轴题 分析：（ 1）连接 OD，由 A= ADO ，进而证得 ADO+ CDB=90 ，而证得BDOD； （ 2）连接 DE，由 AE 是直径，得到ADE=90 ，然后利用已知条件可以证明DEBC，从而得到 ADE ACB ，接着利用相似三角形的性质得到AD ：AC=DE ：BC，又 D 是 AC 中点，由此可以求出 DE 的长度，而AD ：AE=4：5，在直角 ADE 中，设 AD=4x ，AE=

15、5x ，那么 DE=3x ，由此求出x=1 即可解 决问题 解答：解： （1）连接 OD， OA=OD ， A=ADO ， 又 A+CDB=90 ， ADO+ CDB=90 ， ODB=180 （ ADO+ CDB）=90 ， BDOD， BD 是 O 切线； （ 2） 连接 DE， （7 分） AE 是直径， ADE=90 ， （8 分） 又 C=90 ， ADE= C， A=A， ADE ACB ， （9 分） AD ：AC=DE ：BC 又 D 是 AC 中点， AD=AC， DE=BC， BC=6， DE=3， （11 分） AD ：AE=4 ：5， 在直角 ADE 中，设 AD=4x

16、 ，AE=5x ， 那么 DE=3x ， x=1 AE=5 点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相 似三角形的判定和性质解题的关键是连接OD、DE，证明 DEBC 4 （2012?丰润区一模）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相互垂直，垂足为点E，过点 B 作 CD 的平行线与弦 AD 的延长线相交于点F，且 AD=3 ，cosBCD= （1）求证： BF 为 O 的切线 （2）求 O 的半径 考点 ： 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形 分析：（ 1）由 ABCD，BFCD，可得 AB BF，又由 AB 是 O 的直径，即可

17、证得BF 为 O 的切线； （ 2）首先连接BD ，由 AB 是 O 的直径，可得ADB 是直角，又由AD=3 ， cosBCD=，即可得 cosBAD=，继而求得答案 解答：（ 1）证明： ABCD，BFCD， ABBF， AB 是 O 的直径， BF 为 O 的切线； （ 2）解：连接BD ， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， BCD= BAD ，cosBCD=， cosBAD=， AD=3 ， AB=4 ， O 的半径为2 点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法， 注意数形结合思想与转化思想的应用 5 （2013?塘沽区二模

18、）如图（1） ，AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，若直线CD 与 O 相切于点C，AD CD， 垂足为 D （）求证： ADC ACB ； （）如果把直线CD 向下平行移动， 如图（2） ， 直线 CD 交 O 于 C， G 两点，若题目中的其他条件不变，且 AG=4 ， BG=3，求的值 考点 ： 切线的性质；相似三角形的判定与性质 分析：（ I）连接 OC，求出 ADC= ACB ， DCA= B，根据相似三角形的判定推出即可； （ II）根据勾股定理求出AB，求出 ACG+ B=180 ，求出 DCA= B，求出 ADC= AGB ，证 ADC AGB ，得出比例式，代入求出即

19、可 解答：（ I）证明：连接OC， OC=OB ， OBC=OCB， AB 是 O 直径， DC 切 O 于 C，AD DC， ADC= DCO=ACB=90 ， DCA+ ACO= ACO+ OCB=90 ， DCA= OCB=OBC， ADC= ACB ， DCA= OBC， ADC ACB （ II）解： AB 是 O 直径， AGB=90 ， AG=4 ， BG=3，由勾股定理得：AB=5， 四边形ACGB 是 O 的内接四边形， B+ACG=180 ， ACD+ ACG=180 ， B=DCA ， AD DC， ADC= AGB ， ADC AGB ， =， = 点评：本题考查了圆内

20、接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应 用，关键是推出ADC ACB 或ADC AGB 6 （2012?德州）如图，点A，E 是半圆周上的三等分点，直径BC=2 ，AD BC，垂足为D，连接 BE 交 AD 于 F， 过 A 作 AG BE 交 BC 于 G （1）判断直线AG 与 O 的位置关系，并说明理由 （2）求线段AF 的长 考点 ： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形 专题 ： 计算题；证明题 分析：（ 1）求出弧AB= 弧 AE= 弧 EC，推出 OA BE，根据 AG BE，推出 OA AG ，根据切线的判定即可得出

21、 答案； （ 2）求出等边三角形AOB ，求出 BD、AD 长，求出 EBC=30 ，在 FBD 中，通过解直角三角形求出DF 即可 解答：解： （1）直线 AG 与 O 的位置关系是AG 与 O 相切， 理由是：连接OA， 点 A，E 是半圆周上的三等分点， 弧 AB= 弧 AE= 弧 EC， 点 A 是弧 BE 的中点， OABE， 又 AGBE， OAAG， AG 与 O 相切 （ 2）点 A，E 是半圆周上的三等分点， AOB= AOE= EOC=60 ， 又 OA=OB ， ABO 为正三角形， 又 AD OB，OB=1 ， BD=OD=，AD=， 又 EBC=EOC=30 （圆周角

22、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）， 在 RtFBD 中， FD=BD ?tanEBC=BD ?tan30 =， AF=AD DF= 答： AF 的长是 点评：本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题 的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中 7 （1997?湖南）已知：如图，AB 是 O 的直径， PB 切 O 于点 B，PA 交 O 于点 C， APB 是平分线分别交 BC，AB 于点 D、 E，交 O 于点 F， A=60 ，并且线段AE、BD 的长是一元二次方程x 2kx+2 =0 的两根

23、（ k 为常数） （1）求证： PA?BD=PB ?AE； （2）求证： O 的直径长为常数k； （3）求 tanFPA 的值 考点 ： 圆的综合题 专题 ： 压轴题 分析：（ 1） 由 PB 切 O 于点 B， 根据弦切角定理， 可得 PBD=A， 又由 PF平分 APB， 可证得 PBD PAE， 然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA?BD=PB ?AE； （ 2）易证得 BE=BD ，又由线段AE、BD 的长是一元二次方程x 2kx+2 =0 的两根（ k 为常数），即可得 AE+BD=k ，继而求得AB=k ，即： O 的直径长为常数k； （ 3）由 A=60 ，并且线段AE、BC

24、 的长是一元二次方程x 2kx+2 =0 的两根（ k 为常数），可求得AE 与 BD 的长，继而求得tan FPB 的值，则可得tanFPA 的值 解答：（ 1）证明：如图， PB 切 O 于点 B， PBD= A， PF 平分 APB， APE= BPD， PBD PAE， PB：PA=BD ：AE， PA?BD=PB ?AE； （2 分） （ 2）证明：如图， BED= A+EPA， BDE= PBD+ BPD 又 PBD=A， EPA=BPD， BED= BDE BE=BD 线段 AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k 为常数）， AE+BD=k ， AE+BD=

25、AE+BE=AB=k， 即 O 直径为常数k （5 分） （ 3） PB 切 O 于 B 点， AB 为直径 PBA=90 A=60 PB=PA?sin60 =PA， 又 PA?BD=PB ?AE， BD=AE ， 线段 AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k 为常数） AE?BD=2， 即AE 2=2 ， 解得： AE=2 ，BD=， AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=， 在 RtPBA 中， PB=AB ?tan60 =（2+）=3+2 在 RtPBE 中， tanBPF=2， FPA=BPF， tanFPA=2 点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性

26、质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知 识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用 8 （2005?柳州）已知，如图，直线l 与 O 相切于点D，弦 BCl，与直径AD 相交于点 G，弦 AF 与 BC 交于点 E，弦 CF 与 AD 交于点 H （1）求证： AB=AC ； （2）如果 AE=6 ，EF=2，求 AC 考点 ： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理 专题 ： 计算题；证明题；压轴题 分析：（ 1）根据切线的性质知道AD L，由 BCl 可得 AD BC，那么可得到AB 和 AC 所对的弧相等，进而得 到 AB=AC ； （ 2）根据（ 1）可知 F=B= AC

27、B ，由此即可证明AEC ACF ，然后利用其利用对应线段成比例可 以解决问题 解答：（ 1）证明：直线l 与 O 相切于点 D， AD l， BCl， AD BC AB=AC （ 2）解： AB=AC ， B=ACB B=F， F=ACB 又 EAC= FAC， AEC ACF =， AE=4 点评：本题用到的知识点为： 弧相等，弧所对的弦也相等； 相似三角形中的对应线段成比例来 9 （2006?黄冈）如图， AB 、AC 分别是 O 的直径和弦，点D 为劣弧 AC 上一点，弦ED 分别交 O 于点 E，交 AB 于点 H，交 AC 于点 F，过点 C 的切线交ED 的延长线于点P （1）若

28、 PC=PF，求证： ABED； （2）点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE?DF，为什么？ 考点 ： 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题 ： 几何综合题 分析：（ 1）作辅助线，连接OC根据切线的性质，OCPC根据 PC=PF，OC=OA ，可得： PCF=PFC， OCF= OAC 在 RtFHA 中，可得：FHA=90 ，故 ABED ； （ 2）根据 AD 2=DE?DF，可得： FAD AED ， FAD= DEA 从而可知： =，即 D 在劣弧 AC 的中点 解答：（ 1）证明：连接OC， PC 为 O 的切线， OCP=FCP+ OCF=90

29、 ， PC=PF， PCF=PFC， OA=OC ， OCA= OAC， CFP= AFH ， AFH+ OAC=90 ， AHF=90 ， 即： ABED （ 2）解： D 在劣弧 AC 的中点时，才能使AD 2=DE?DF 连接 AE若 AD 2=DE?DF， 可得： FAD AED ， FAD= DEA ， = 即 D 为劣弧 AC 的中点时，能使AD 2=DE?DF 点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形性质的运用 10已知：如图，在半径为4 的 O 中， AB ，CD 是两条直径，M 为 OB 的中点， CM 的延长线交 O 于点 E，且 EMMC连接 DE，DE= （1）求证：

30、AM ?MB=EM ?MC ； （2）求 sinEOB 的值； （3）若 P是直径 AB 延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE 是 O 的切线 考点 ： 切线的判定；相似三角形的判定与性质 专题 ： 计算题；压轴题 分析：（ 1）连接 AE， BC，由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的 两三角形相似，得到三角形AEM 与三角形CBM 相似，由相似得比例，化简后即可得证； （ 2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE 的长，再由相交弦定理求出EM 的长，根据所求EM 的长与半 径相等判断出OEM 为等腰三角形，过E 作 EF OM，根据等腰三角形的性质及

31、勾股定理可求出OF，EF 的长，进而求出sinEOB 的值； （ 3）由 EO=EM ，EF 垂直于 OM ，得到 F 为 OM 的中点，由M 为 OB 中点，求出OM 的长，可得出OF 的长，由OB+BP=OP ，得出 OP 的长，利用OPOF 求出 FP 的长，再由EF 的长，利用勾股定理求出EP 的长，在三角形OEP 中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形OEP 为直角三角形，可得OEP 为直角， 即 EP 垂直于 OE，可得 EP 为圆 O 的切线 解答： 解： （1）连接 AE，BC， AEC 与 MBC 都为所对的圆周角， AEC= MBC ，又 AME= BMC （对顶角相等）

32、， AME CMB ， AM ：CM=EM ：MB ，即 AM ?MB=EM ?MC ； （ 2）如图， DC 为 O 的直径， DEEC， DC=8， DE=， EC=7， 设 EM=x ，由于 M 为 OB 的中点， BM=2 ，AM=6 ， AM ?MB=x ?（7x） ，即 6 2=x（7x） ， 整理得： x27x+12=0， 解得： x1=3，x2=4， EMMC， EM=4， OE=EM=4 ， OEM 为等腰三角形， 过 E 作 EFOM，垂足为 F，则 OF=OM=1 ， EF=， sinEOB=； （ 3）在 RtEFP 中， EF=，PF=FB+BP=3+12=15 ，

33、根据勾股定理得：EP=4， 又 OE=4，OP=OB+BP=4+12=16 ， OE2+EP2=16+240=256， OP2=256， OE2+EP2=OP2， OEP=90 ， 则 EP 为圆 O 的切线 点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定 与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：有点连接此点与圆心证直线与半径垂直； 无点作垂线证明垂线段等于半径 11 （2012?临沂）如图，点A、B、C 分别是 O 上的点， B=60 ，AC=3 ，CD 是 O 的直径， P 是 CD 延长线上 的一点，且AP=AC （1）

34、求证： AP 是 O 的切线； （2）求 PD 的长 考点 ： 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形 分析：（ 1）首先连接OA ， 由 B=60 ， 利用圆周角定理， 即可求得 AOC 的度数， 又由 OA=OC ， 即可求得 OAC 与 OCA 的度数， 利用三角形外角的性质，求得 AOP 的度数， 又由 AP=AC ，利用等边对等角，求得 P， 则可求得 PAO=90 ，则可证得AP 是 O 的切线； （ 2）由 CD 是 O 的直径， 即可得 DAC=90 ，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD 的长 解答：（ 1）证明：连接OA B=60 ， AOC=2 B=120

35、， 又 OA=OC ， ACP= CAO=30 ， AOP=60 ， AP=AC ， P=ACP=30 ， OAP=90 ， OAAP， AP 是 O 的切线， （ 2）解：连接AD CD 是 O 的直径， CAD=90 ， AD=AC ?tan30 =3=， ADC= B=60 ， PAD=ADC P=60 30 =30 ， P=PAD， PD=AD= 点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，解 题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用 12 （2012?陕西）如图，PA、 PB 分别与 O 相切于点A、B，点 M 在 PB 上，

36、且 OM AP，MN AP，垂足为N （1）求证： OM=AN ； （2）若 O 的半径 R=3， PA=9，求 OM 的长 考点 ： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质 专题 ： 几何综合题 分析：（ 1）连接 OA，由切线的性质可知OA AP，再由 MN AP 可知四边形ANMO 是矩形，故可得出结论； （ 2）连接 OB，则 OBBP 由 OA=MN ，OA=OB ，OM AP可知 OB=MN ， OMB= NPM 故可得出 Rt OBM MNP，OM=MP 设 OM=x ，则 NP=9x，在 RtMNP 利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出结论 解答：（

37、1）证明：如图，连接OA，则 OA AP， MN AP， MN OA， OMAP， 四边形ANMO是矩形， OM=AN ； （ 2）解：连接OB，则 OBBP OA=MN ，OA=OB ，OM AP OB=MN ， OMB= NPM RtOBM RtNPM， OM=MP 设 OM=x ，则 NP=9x， 在 RtMNP 中，有 x2=32+（9x） 2 x=5，即 OM=5 点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时 往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答 13 （2012?东营）如图， AB 是 O 的直径，

38、AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切 O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN 于点 C， （1）求证： OD BE； （2）如果 OD=6cm ，OC=8cm ，求 CD 的长 考点 ： 切线的性质；勾股定理 专题 ： 几何综合题 分析：（ 1）首先连接OE，由 AM 和 BN 是它的两条切线，易得ADO= EDO ， DAO= DEO=90 ，由切线长 定理， 可得 AOD= EOD=AOE ，AOD= ABE，根据同位角相等，两直线平行， 即可证得OD BE； （ 2）由（ 1） ，易证得 EOD+ EOC=90 ，然后利用勾股定理，即可求得CD 的长 解答：（ 1）证明：连接OE

39、， AM 、DE 是 O 的切线， OA 、OE 是 O 的半径， ADO= EDO， DAO= DEO=90 ， （2 分） AOD= EOD=AOE， ABE=AOE ， AOD= ABE， ODBE； （5 分） （ 2）由（ 1）得： AOD= EOD=AOE ， 同理，有：BOC=EOC=BOE， AOD+ EOD+BOC+EOC=180 ， EOD+EOC=90 ， DOC 是直角三角形， （7 分） CD=10（cm） （9 分） 点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握辅助 线的作法，注意数形结合思想的应用 14 （2013?

40、黄石）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是 O 的两条切线， E 是 O 上一点， D 是 AM 上一点，连 接 DE 并延长交BN 于点 C，且 ODBE，OFBN （1）求证： DE 与 O 相切； （2）求证： OF=CD 考点 ： 切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 分析：（ 1）连接 OE，由 AM 与圆 O 相切，利用切线的性质得到OA 与 AM 垂直，即 OAD=90 ，根据 OD 与 BE 平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE ，利用等边对等角得到一 对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE ，OD 为公共边，利用S

41、AS 得出三角形AOD 与三角形 EOD 全等，利用全等三角形的对应角相等得到OED=90 ，即 OE 垂直于 ED，即可得证； （ 2）连接 OC，由 CD 与 CB 为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC 为公共边， 利用 HL 得出两直角三角形全等，进而得到BOC= EOC，利用等量代换及平角定义得到COD=90 ，即 三角形 COD 为直角三角形，由OF 与 BN 平行， AM 与 BN 平行，得到三线平行，由O 为 AB 的中的，利 用平行线等分线段定理得到F 为 CD 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证 解答：证明：（1）连接 OE，

42、AM 与圆 O 相切， AM OA，即 OAD=90 ， ODBE， AOD= ABE， EOD=OEB， OB=OE， ABE= OEB， AOD= OEB， AOD= EOD， 在 AOD 和 EOD 中， ， AOD EOD（SAS） ， OED=OAD=90 ， 则 DE 为圆 O 的切线； （ 2）在 RtBCO 和 RtECO 中， ， RtBCORt ECO， BOC=EOC， AOD= EOD， DOC=EOD+EOC= 180 =90 ， AM 、BN 为圆 O 的切线， AM AB，BN AB ， AM BN， OFBN ， AM OFBN ， 又 O 为 AB 的中点，

43、F 为 CD 的中点， 则 OF=CD 点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练 掌握切线的判定与性质是解本题的关键 15 （2012?枣庄）如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于点 E，过点 B 作 O 的切线，交AC 的延长线于点F已 知 OA=3 ，AE=2， （1）求 CD 的长； （2）求 BF 的长 考点 ： 切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质 专题 ： 计算题 分析：（ 1）连接 OC，在 OCE 中用勾股定理计算求出CE 的长，然后得到CD 的长 （ 2）根据切线的性质得ABBF，然后用 AC

44、E AFB，可以求出BF 的长 解答：解： （1）如图，连接OC， AB 是直径，弦CDAB ， CE=DE 在直角 OCE 中， OC2=OE 2+CE2 3 2=（32）2+CE2 得： CE=2， CD=4 （ 2） BF 切 O 于点 B， ABF=90 =AEC 又 CAE= FAB（公共角）， ACE AFB = 即：= BF=6 点评：本题考查的是切线的性质，（1）利用垂径定理求出CD 的长 （2）根据切线的性质，得到两相似三角形， 然后利用三角形的性质计算求出BF 的长 16 （2012?达州）如图， C 是以 AB 为直径的 O 上一点，过O 作 OEAC 于点 E，过点 A 作 O 的切线交OE 的 延长线于点F，连接 CF 并延长交BA 的延长线于点P （1）求证： PC 是 O 的切线 （2）若 AF=1， OA=，求 PC 的长 考点 ： 切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题 ： 几何综合题；压轴题 分析：（ 1）连接 OC，根据垂径定理， 利用等角代换可证明FAC= FCA ，然后根据切线的性质得出FAO=90 ， 然后即可证明结论 （ 2）先证明 PAF