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1、优秀学习资料欢迎下载 圆周运动 1遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于 C、D 二点 .求证： AC = BD 证明 :过 O 作 OEAB 于 E O为圆心， OEAB AE = BE CE = DE AC = BD 练习：如图，AB为 O的弦，P是 AB上的一点， AB = 10cm ，PA = 4cm. 求 O的半径 . 规
2、律 89. 有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角 . 例：如图，已知AB是 O的直径， M 、N分别是 AO 、BO的中点， CM AB,DN AB,求证：ACBD 证明：（一）连结OC 、OD M 、N分别是 AO 、BO的中点 OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO OA = OB OM = ON CM OA 、DN OB 、OC = OD RtCOM RtDON COA = DOB ACBD （二）连结AC 、OC 、OD 、BD M 、N分别是 AO 、BO的中点 AC = OC BD = OD OC = OD AC = BD ACBD 规律 90. 有弦中点时
3、常连弦心距 例：如图，已知M 、N分别是 O 的弦 AB 、 CD的中点 ,AB = CD ，求证： AMN = CNM 证明：连结OM 、ON O为圆心， M 、N分别是弦AB 、CD的中点 OM AB ON CD AB = CD OM = ON OMN = ONM AMN = 90 o OMN CNM = 90 o ONM O EDC BA P O B A ONM DC B A O N M D C B A 优秀学习资料欢迎下载 AMN = CNM 规律 91. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距. 例：如图，已知O1与 O2为等圆， P为 O1、O2的中点，过P的直线分别交O1、 O2于
4、A、C、 D、B.求证： AC = BD 证明：过O1作 O1M AB于 M,过 O2作 O2N AB于 N，则 O1M O2N 11 22 O MO P O NO P O1P = O2P O1M = O2N AC = BD 规律 92. 有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： 连结过弧中点的半径 连结等弧所对的弦 连结等弧所对的圆心角 例：如图，已知D、E分别为半径OA 、OB的中点， C为弧 AB的中点，求证：CD = CE 证明：连结OC C为弧 AB的中点 ABBC AOC = BOC D、E分别为 OA 、 OB的中点，且AO = BO OD = OE = 1 2
5、 AO = 1 2 BO 又 OC = OC ODC OEC CD = CE 规律 95. 有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图， AB为 O的直径， AC为弦， P为 AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交 O于 D，求证： AC = DC 证明：连结AD AB为 O的直径 ADP = 90 o AC = PC AC = CD = 1 2 AP 例 （2005 年自贡市）如图2，P 是 O 的弦 CB延长线上一点，点A 在 O 上，且BAPC。求证： PA 是 O 的切线。 证明： 作 O 的直径 AD，连 BD，则 P O2 O1 N M
6、D C B A O E D C BA P O D C B A 优秀学习资料欢迎下载 CDABD,90 即DBAD90 所以CBAD90 因为CPAB 所以BADPAB90 即AP AD 所以 PA为 O 的切线。 3遇到 90 度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 练习：如图，在RtABC中， BCA = 90 o , 以 BC为直径的 O交 AB于 E，D为 AC中点，连结 BD交 O于 F.求 证： BCCF BEEF 规律 97. 有等弧时常作辅助线有以下几种： 作等弧所对的弦 作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角 练习： 1. 如图
7、， O的直径 AB垂直于弦CD ，交点为 E ，F为 DC延长线上一点，连结AF交 O于 M.求证： AMD = FMC(提示：连结BM) 2. 如图， ABC内接于 O ，D、E 在 BC边上，且BD = CE， 1 = 2， 求证： AB = AC （提示如图） 规律98. 有弦中点时，常构造三角形中位线. 中， AB CD ，OE BC于 E，求证： OE = 1 2 AD 例：已知，如图，在O 证明：作直径CF，连结 DF、BF CF为 O的直径 CD FD 又 CD AB AB DF ADBF AD = BF OE BC O 为圆心 CO = FO CE = BE OE = 1 2
8、BF OE = 1 2 AD 规律 99. 圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 2题图 G O F ED CB A 2 1 1题图 F M O E D C BA O F E D C B A 优秀学习资料欢迎下载 例：如图，ABC内接于 O ，直线 AD平分 FAC ，交 O于 E，交 BC的延长线于D，求证： AB AC = ADAE 证明：连结BE 1 = 3 2 = 1 3 = 2 四边形ACBE为圆内接四边形 ACD =E ABE ADC AEAB ACAD AB AC = ADAE 规律 100. 两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如图，O1与 O2相交于 A、B ，过 A 的直线分
9、别交O1、 O2于 C、D，过 B 的直线分别交 O1、 O2于 E、 F. 求证： CE DF 证明：连结AB 四边形为圆内接四边形 ABF =C 同理可证：ABE =D ABF ABE = 180 o C D = 180 o CE DF 规律 101. 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： 当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂 直即可 . 如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长 即可 . 例 1：如图， P为 O外一点，以OP为直径作圆交O于 A、B两点，连结PA 、PB. 求证：
10、 PA 、PB为 O的切线 证明：连结OA PO为直径 PAO = 90 o OA PA OA为 O的半径 PA为 O的切线 同理： PB也为 O的切线 例 2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且 AB是小圆的切线，切点为E，求证： CD是小圆的切线 证明：连结OE ，过 O作 OF CD于 F OE为半径， AB为小圆的切线 OE AB OF CD, AB = CD OF = OE CD为小圆的切线 练习：如图，等腰ABC ，以腰 AB为直径作 O交底边 BC于 P ，PE AC于 E, 求证： PE是 O的切线 3 2 1 O F E D C B A O2O1 F E D C B
11、A O F E D C BA PO B A P O E C B A 优秀学习资料欢迎下载 规律 102. 当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题. 例：如图，在RtABC中， C = 90 o，AC = 12 ，BC = 9 ，D是 AB上一点，以 BD为直径的 O切 AC于 E， 求 AD长. 解：连结OE ，则 OE AC BC AC OE BC OEAO BCAB 在 RtABC中， AB = 2222 12915ACBC 15 915 OEABOBOE AB OE = OB = 45 8 BD = 2OB = 45 4 AD = ABDB = 15 45 4 = 15 4 答： AD 的长为 15 4 . 练习：如图，O的半径 OA OB ，点 P在 OB的延长线上，连结AP交 O于 D，过 D作 O的切线 CE交 OP于 C， 求证： PC = CD O E D C B A P O E D C B A