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1、圆锥曲线与方程专题复习 第四节圆锥曲线的综合问题 考点一椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题 1.(2013 年浙江卷 , 文 9) 如图,F1,F2是椭圆 C1: 2 4 x +y 2=1 与双曲线 C2的公共焦点 ,A,B 分别是 C1,C2在第二、四象限的公共点. 若四 边形 AF1BF2为矩形 , 则 C2的离心率是 ( ) (A)2 (B)3 (C) 3 2 (D) 6 2 解析 : 由椭圆定义得 ,|AF1|+|AF2|=4, |F1F2|=24 1=23, 因为四边形 AF1BF2为矩形 , 所以 |AF1| 2+|AF 2| 2=|F 1F2| 2=12, 所以 2|AF1|AF
2、 2|=(|AF1|+|AF2|) 2-(|AF 1| 2+|AF 2| 2)=16-12=4, 所以 (|AF2|-|AF1|) 2=|AF 1| 2+|AF 2| 2-2|AF 1|AF2|=12-4=8, 所以 |AF2|-|AF1|=22, 因此对于双曲线有a=2,c=3, 所以 C2的离心率 e= c a = 6 2 . 故选 D. 答案 :D 2.(2012 年山东卷 , 理 10)已知椭圆 C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0) 的离心率为 3 2 . 双曲线 x 2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点 , 以这 四个交点为顶点的四边形的面积为16, 则椭
3、圆 C的方程为 ( ) (A) 2 8 x + 2 2 y =1 (B) 2 12 x + 2 6 y =1(C) 2 16 x + 2 4 y =1 (D) 2 20 x + 2 5 y =1 解析 : 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解. 椭圆的离心率为 3 2 , c a = 22 ab a = 3 2 , a=2b. 椭圆方程为x 2+4y2=4b2. 双曲线 x 2-y2=1 的渐近线方程为 xy=0, 渐近线 xy=0 与椭圆 x 2+4y2=4b2 在第一象限的交点为 2 52 5 , 55 bb , 由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 5 5 b 2
4、5 5 b=4, b 2=5, a 2=4b2=20. 椭圆 C 的方程为 2 20 x + 2 5 y =1. 故选 D. 答案 :D 3.(2012 年浙江卷 , 文 8) 如图所示 , 中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、 N是双曲线的两顶点. 若 M,O,N将椭圆长轴四等 分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) (A)3 (B)2 (C)3(D)2 解析 : 设椭圆的标准方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0), 半焦距为 c1, 则椭圆的离心率为e1= 1 c a . 设双曲线的标准方程为 2 2 x m - 2 2 y n =1(m0,n0), 半焦距
5、为 c2, 则双曲线的离心率为e2= 2 c m . 由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2. 由点 M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m, 即 2m=a. 2 1 e e = 2 1 c m c a = a m =2. 故选 B. 答案 :B 4.(2011 年浙江卷 ,文 9)已知椭圆 C1: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0) 与双曲线 C2:x 2- 2 4 y =1有公共的焦点 ,C2的一条渐近线与以C1的长轴为 直径的圆相交于A,B 两点 . 若 C1恰好将线段 AB三等分 , 则( ) (A)a 2=13 2 (B)a 2=13 (C)b 2 = 1 2 (D)b
6、2=2 解析 : 双曲线渐近线方程为y=2x, 圆的方程为 x 2+y2=a2, 则|AB|=2a, 不妨设 y=2x 与椭圆交于 P、Q两点 , 且 P在 x 轴上方 , 则由已知 |PQ|= 1 3 |AB|= 2 3 a , |OP|= 3 a , P 52 5 , 1515 a . 又点 P 在椭圆上 , 2 2 5 225 a a + 2 2 20 225 a b =1. 又 a 2-b2=5,b2=a2-5, 联立解得 2 2 11 , 2 1 . 2 a b 故选 C. 答案 :C 5.(2011 年山东卷 , 文 15) 已知双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a
7、0,b0) 和椭圆 2 16 x + 2 9 y =1有相同的焦点 , 且双曲线的离心率是椭圆离心率的 两倍 , 则双曲线的方程为. 解析 : 椭圆 2 16 x + 2 9 y =1 的焦点坐标为F1(-7,0),F 2(7,0),离心率为 e= 7 4 . 由于双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1 与椭圆 2 16 x + 2 9 y =1 有相同的焦点 , 因此 a 2+b2=7. 又双曲线的离心率e= 22 ab a = 7 a , 所以 7 a = 2 7 4 , 所以 a=2,b 2=c2-a2=3, 故双曲线的方程为 2 4 x - 2 3 y =1. 答案 : 2
8、4 x - 2 3 y =1 考点二椭圆与抛物线综合问题及解法 1.(2012 年山东卷 , 理 21)在平面直角坐标系xOy中,F 是抛物线 C:x 2=2py(p0) 的焦点 ,M是抛物线 C上位于第一象限内的任意一点 , 过 M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点 Q到抛物线 C的准线的距离为 3 4 . (1) 求抛物线 C 的方程 ; (2) 是否存在点M,使得直线 MQ 与抛物线C相切于点 M? 若存在 , 求出点 M的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 . (3) 若点 M的横坐标为2, 直线 l:y=kx+ 1 4 与抛物线 C有两个不同的交点A,B,l与圆 Q有两个不同的交点D,E
9、, 求当 1 2 k2 时,|AB| 2+|DE|2 的最小值 . 解:(1) 依题意知 F0, 2 p , 圆心 Q在线段 OF的垂直平分线y= 4 p 上, 因为抛物线 C 的准线方程为y=- 2 p , 所以 3 4 p = 3 4 , 即 p=1. 因此抛物线 C 的方程为 x 2=2y. (2) 假设存在点M 2 0 0, 2 x x (x00)满足条件 , 抛物线 C在点 M处的切线斜率为y 0 xx = 2 2 x 0 xx =x0, 所以直线 MQ的方程为 y- 2 0 2 x =x0(x-x 0). 令 y= 1 4 得 xQ= 0 2 x + 0 1 4x . 所以 Q （
10、 0 2 x + 0 1 4x , 1 4 ）. 又|QM|=|OQ|, 故（ 0 1 4x - 0 2 x ） 2+（1 4 - 2 0 2 x ） 2 =（ 0 1 4x + 0 2 x ） 2+1 16 , 因此（ 1 4 - 2 0 2 x ） 2=9 16 . 又 x00, 所以 x0=2, 此时 M(2,1). 故存在点 M(2,1), 使得直线 MQ与抛物线 C 相切于点 M. (3) 当 x0=2时, 由(2) 得 Q（ 5 2 8 , 1 4 ）, Q的半径为 r= 2 2 5 21 84 = 3 6 8 , 所以 Q的方程为（ x- 5 2 8 ） 2+（y-1 4 ） 2
11、=27 32 . 由 21 , 2 1 4 yx ykx 整理得 2x 2-4kx-1=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x 2,y2), 由于 1=16k 2+80,x 1+x2=2k,x1x2=- 1 2 , 所以 |AB| 2=(1+k2)(x 1+x2) 2-4x 1x2 =(1+k 2)(4k2+2). 由 2 2 5 2127 , 8432 1 4 xy ykx 整理得 (1+k 2)x2-5 2 4 x- 1 16 =0. 设 D,E 两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由于 2= 2 4 k + 27 8 0,x3+x4= 2 5 2 4 1k
12、, x3x4=- 2 1 16 1k . 所以 |DE| 2=(1+k2)(x 3+x4) 2-4x 3x4 = 2 25 8 1k + 1 4 . 因此 |AB| 2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ 2 25 8 1k + 1 4 . 令 1+k 2=t, 由于 1 2 k2, 则 5 4 t5, 所以 |AB| 2+|DE|2=t(4t-2)+25 8t + 1 4 =4t 2-2t+25 8t + 1 4 , 设 g(t)=4t 2-2t+25 8t + 1 4 ,t 5 ,5 4 , 因为 g(t)=8t-2- 2 25 8t , 所以当 t 5 ,5 4 时,g (t) g
13、 5 4 =6, 即函数 g(t)在 t 5 ,5 4 上是增函数 , 所以当 t= 5 4 时,g(t)取到最小值 13 2 , 因此 , 当 k= 1 2 时,|AB| 2+|DE|2 取到最小值 13 2 . 2.(2012 年广东卷 , 文 20) 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 C1: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0) 的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1) 在 C1上. (1) 求椭圆 C1的方程 ; (2) 设直线 l 同时与椭圆C1和抛物线 C2:y 2=4x 相切 , 求直线 l 的方程 . 解:(1) 因为椭圆 C1的左焦点为F1(-1,0
14、), 所以 c=1. 将点 P(0,1) 代入椭圆方程 2 2 x a + 2 2 y b =1, 得 2 1 b =1, 即 b=1. 所以 a 2=b2+c2=2. 所以椭圆 C1的方程为 2 2 x +y 2=1. (2) 由题意可知 , 直线 l 的斜率显然存在且不等于0, 设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由 2 2 1, 2 , x y ykxm 消去 y 并整理得 (1+2k 2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1相切 , 所以 1=16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得 2k 2-m2+1=0. 由 2 4 , , yx yk
15、xm 消去 y 并整理得 k 2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线 l 与抛物线 C2相切 , 所以 2=(2km-4) 2-4k2m2=0, 整理得 km=1. 综合 , 解得 2 , 2 2, k m 或 2 , 2 2. k m 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+2或 y=- 2 2 x-2. 3.(2010 年江西卷 , 理 21)设椭圆 C1: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0), 抛物线 C2:x 2 +by=b 2. (1) 若 C2经过 C1的两个焦点 , 求 C1的离心率 ; (2) 设 A(0,b),Q （33, 5 4 b）, 又 M,N
16、为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若 AMN 的垂心为 B （0, 3 4 b）, 且 QMN 的重心在 C2上, 求椭圆 C1和抛物线C2的方程 . 解:(1) 因为抛物线C2经过椭圆 C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0), 可得 c 2=b2, 由 a 2=b2+c2=2c2, 有 2 2 c a = 1 2 , 所以椭圆 C1的离心率 e= 2 2 . (2) 由题设可知M,N关于 y 轴对称 , 设 M(-x1,y1),N(x 1,y1)(x10), 则由 AMN 的垂心为 B, 有BMAN=0. 所以 - 2 1 x+（y1- 3 4 b）(y1-b)=0. 由于点
17、 N(x1,y1) 在 C2上, 故有 2 1 x+by1=b 2. 由得 y1=- 4 b 或 y1=b(舍去 ), 所以 x1= 5 2 b, 故 M （- 5 2 b,- 4 b ）,N（ 5 2 b,- 4 b ）, 所以 QMN 的重心坐标为（3, 4 b ）. 由重心在 C2上得 3+ 2 4 b =b 2, 所以 b=2, M （-5,- 1 2 ）,N（5,- 1 2 ）. 又因为 M,N在 C1上, 所以 2 2 5 a + 2 1 2 4 =1, 解得 a 2=16 3 . 所以椭圆 C1的方程为 2 16 3 x + 2 4 y =1. 抛物线 C2的方程为x 2+2y=
18、4. 考点三双曲线与抛物线的综合问题及解法 1.(2013 年山东卷 , 文 11)抛物线 C1:y= 1 2p x 2(p0) 的焦点与双曲线 C2: 2 3 x -y 2=1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点M.若 C1 在点 M处的切线平行于C2的一条渐近线 , 则 p 等于 ( ) (A) 3 16 (B) 3 8 (C) 2 3 3 (D) 4 3 3 解析 : 如图在同一坐标系中画出C1、C2草图 , 知 C1焦点 F（0, 2 p ）, C2右焦点 F2(2,0). 由 C2渐近线方程为y= 3 3 x. 直线 FF2方程为 2 x + 2 x p =1. 联立 C1与直线
19、FF2方程得 2 1 , 2 2 1, 2 yx p xy p 代入得 2x 2+p2x-2p2=0. 设 M(x0,y0), 即 2 2 0 x+p 2x 0-2p 2=0. 由 C1得 y= 1 p x, 所以 1 p x0= 3 3 , 即 x0= 3 3 p. 由得 p= 4 3 3 . 故选 D. 答案 :D 2.(2012 年新课标全国卷, 理 8) 等轴双曲线C的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 ,C 与抛物线 y 2=16x 的准线交于 A、B两点 ,|AB|=43, 则 C 的实轴长为 ( ) (A)2 (B)22(C)4 (D)8 解析 : 设双曲线的标准方程为x 2-y2
20、=( 0), 抛物线 y 2=16x 的焦点是 (4,0), 由题意知 , 点(-4,23) 在双曲线上 . 16-12= , 即=4, 实轴长为 4. 故选 C. 答案 :C 3.(2012 年福建卷 , 理 8) 已知双曲线 2 4 x - 2 2 y b =1 的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合 , 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等 于( ) (A) 5 (B)42 (C)3 (D)5 解析 : 抛物线 y 2=12x 的焦点是 (3,0), c=3,b 2=c2-a2=5. 双曲线的渐近线方程为y= 5 2 x, 焦点 (3,0) 到 y= 5 2 x 的距离 d= 3 5
21、3 =5. 故选 A. 答案 :A 4.(2012 年山东卷 , 文 11) 已知双曲线 C1: 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0) 的离心率为 2. 若抛物线 C2:x 2=2py(p0) 的焦点到双曲线 C1的渐近 线的距离为 2, 则抛物线 C2的方程为 ( ) (A)x 2=8 3 3 y (B)x 2=163 3 y(C)x 2=8y (D)x2=16y 解析 : 由 e= c a =2 得 4= 2 2 c a =1+ 2 2 b a , 2 2 b a =3. 双曲线的渐近线方程为y=3x, 抛物线 x 2=2py 的焦点是（ 0, 2 p ）, 它到直线 y
22、=3x 的距离 d=2= 2 2 p = 4 p , p=8. 抛物线方程为x 2=16y. 故选 D. 答案 :D 5.(2010 年天津卷 , 文 13)已知双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0) 的一条渐近线方程是y=3x, 它的一个焦点与抛物线y 2 =16x 的焦点 相同 , 则双曲线的方程为 . 解析 : 由双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0) 的一条渐近线方程为y=3x 得 b a =3, b=3a. 抛物线 y 2=16x 的焦点为 F(4,0), c=4. 又 c 2=a2+b2, 16=a 2+( 3a) 2, a 2=4,
23、b2=12. 所求双曲线的方程为 2 4 x - 2 12 y =1. 答案 : 2 4 x - 2 12 y =1 6.(2013 年天津卷 , 文 11)已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0) 的一个焦点 , 且双曲线的离心率为2, 则该双曲 线的方程为. 解析 : 由 y 2=8x 准线为 x=-2. 则双曲线中 c=2, c a = 2 a =2,a=1,b=3. 所以双曲线方程为x 2- 2 3 y =1. 答案 :x 2- 2 3 y =1 考点四圆锥曲线与圆的综合问题及解法 1.(2013 年福建卷 , 文 20)如图 ,
24、抛物线 E:y 2 =4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A. 点 C在抛物线 E上, 以 C为圆心 ,|CO| 为半径 作圆 , 设圆 C与准线 l 交于不同的两点M,N. (1) 若点 C 的纵坐标为 2, 求|MN|; (2) 若|AF| 2=|AM|AN|, 求圆 C的半径 . 解:(1) 抛物线 y 2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C的纵坐标为2, 点 C在抛物线 E上, 得点 C的坐标为 (1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2, 又|CN|=|CO|=5, 所以 |MN|=2 2 2 CNd=254=2. (2) 设 C（ 2 0 4
25、y ,y0）, 则圆 C的方程为（ x- 2 0 4 y ） 2+(y-y 0) 2= 4 0 16 y + 2 0 y, 即 x 2- 2 0 2 y x+y 2-2y 0y=0. 由 x=-1, 得 y 2-2y 0y+1+ 2 0 2 y =0, 设 M(-1,y 1),N(-1,y2), 则 2 220 00 2 0 12 44 1240, 2 1. 2 y yy y y y 由|AF| 2=|AM| |AN|, 得|y1y2|=4, 所以 2 0 2 y +1=4, 解得 y0=6, 此时 0. 所以圆心 C的坐标为（ 3 2 ,6）或（ 3 2 ,-6）, 从而 |CO| 2=33
26、 4 , |CO|= 33 2 , 即圆 C的半径为 33 2 . 2.(2013 年新课标全国卷, 文 20) 在平面直角坐标系xOy中, 已知圆 P在 x轴上截得线段长为22, 在 y 轴上截得线段长为23. (1) 求圆心 P的轨迹方程 ; (2) 若 P点到直线 y=x 的距离为 2 2 , 求圆 P的方程 . 解:(1) 设 P(x,y),圆 P的半径为 r. 由题设 y 2+2=r2,x2+3=r2, 从而 y 2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为y 2-x2=1. (2) 设 P(x0,y0). 由已知得 00 2 xy = 2 2 . 又 P 点在双曲线 y 2-x2=1
27、 上, 从而得 00 22 00 1, 1. xy yx 由 00 22 00 1, 1. xy yx 得 0 0 0, 1. x y 此时 , 圆 P的半径 r=3. 由 00 22 00 1, 1. xy yx 得 0 0 0, 1. x y 此时 , 圆 P的半径 r=3. 故圆 P的方程为 x 2+(y-1)2=3 或 x2 +(y+1) 2=3. 3.(2013 年重庆卷 , 文 21)如图 , 椭圆的中心为原点O,长轴在 x 轴上 , 离心率 e= 2 2 , 过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于A、A两 点,AA=4. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 取平行于 y 轴的直
28、线与椭圆相交于不同的两点P、P, 过 P、P作圆心为Q的圆 , 使椭圆 上的其余点均在圆Q外. 求PPQ的面积 S 的最大值 , 并写出对应的圆Q的标准方程 . 解:(1) 由题意知点A(-c,2)在椭圆上 , 则 2 2 c a + 2 2 2 b =1, 从而 e 2+ 2 4 b =1, 又 e= 2 2 , 故 b 2= 2 4 1e =8,从而 a 2= 2 2 1 b e =16. 故该椭圆的标准方程为 2 16 x + 2 8 y =1. (2) 由椭圆的对称性 , 可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y) 是椭圆上任意一点, 则|QM| 2 =(x-x 0) 2+y2=x2
29、-2x0x+ 2 0 x+8（ 1- 2 16 x ） = 1 2 (x-2x 0) 2 - 2 0 x+8(x -4,4). 设 P(x1,y1), 由题意知 ,P 是椭圆上到 Q的距离最小的点 , 因此 , 当 x=x1时|QM| 2 取最小值 , 又 x1(-4,4),所以当 x=2x0时|QM| 2 取最小值 , 从而 x1=2x0, 且|QP| 2=8-2 0 x. 由对称性知 P(x1,-y 1), 故|PP|=|2y1|, 所以 S= 1 2 |2y1|x 1-x0|= 1 2 2 2 1 81 16 x |x0|= 22 00 24xx=2 2 2 0 24x . 当 x0=2时, PPQ的面积 S取得最大值22. 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0), 半径 |QP|= 2 0 8x=6, 因此 , 这样的圆有两个, 其标准方程分别为(x+2) 2+y2=6,(x- 2) 2+y2=6.