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1、圆锥曲线与向量的综合性问题 一、常见基本题型： 在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐 标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。 (1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质， 例 1、设(1,0)F，M点在 x 轴的负半轴上，点 P在y轴上，且,MPPNPMPF 当点P在y轴上运动时，求点N 的轨迹 C 的方程； 解： （解法一）MPPN ，故P为MN的中点 设( , )N x y ，由M点在 x轴的负半轴上，则(,0) ,(0,) , (0) 2 y MxPx 又(1,0)F，(,) ,(1,) 22 yy PMxPF 又
2、PMPF ， 2 0 4 y PMPFx 所以，点N的轨迹C的方程为 2 4(0)yx x （解法二）MPPN ，故P为MN的中点 设( , )N x y ，由M点在 x轴的负半轴上，则(,0) ,(0,) , (0) 2 y MxPx- 又由,MPPNPMPF ，故 FNFM，可得 22 FNFM 由(1,0)F，则有 222 (1)(1)xyx，化简得： 2 4(0)yx x 所以，点N的轨迹C的方程为 2 4(0)yx x 例 2、已知椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，它的一个焦点与抛物线 2 8yx的焦点 重合，离心率 2 5 5 e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不
3、垂直的直线l，交椭圆于 A、B两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点(1,0)M，且()MAMBAB，求直线l的方程； 解： （）设椭圆的右焦点为( ,0)c，因为 2 8yx的焦点坐标为(2,0)，所以2c 因为 2 5 5 c e a ，则 2 5a， 2 1b 故椭圆方程为： 2 2 1 5 x y （）由（ I）得(2,0)F，设l的方程为(2)yk x（0k） 代入 2 2 1 5 x y，得， 设 1122 (,),(,),A x yB xy则 22 121 2 22 20205 , 5151 kk xxx x kk ， 12121212 (4),()yyk xxyyk xx
4、112212122121 (1,)(1,)(2,),(,)MAMBxyxyxxyyABxx yy 12212112 ()0,(2)()()()0MAMBABxxxxyyyy 22 2 22 2043 20,310, 51513 kk kk kk 所以直线l的方程为320320xyxy或 （2）所求问题以向量的形式呈现 例 3、已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线 2 4 5yx的焦点，离心率是 6 3 （1）求椭圆E 的方程； （2）过点C（ 1，0） ，斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A、 B 两点，请问x 轴上 是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说 明
5、理由。 解： （ 1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴， 且 630 5,5, 33 acea又 22 bac故 105 5, 33 故所求方程为 22 1, 5 5 3 xy 即53 22 yx， （2）假设存在点M 符合题意，设AB：),1(xky代入53: 22 yxE 得：0536)13( 2222 kxkxk )0,(),(),( 2211 mMyxByxA设则 13 53 , 13 6 2 2 212 2 21 k k xx k k xx 2222 1211 (1)()()MA MBkx xkm xxkm 2 2 1614 2 33(31) m mm k 要使上式与k无关，则有614
6、0,m 解得 7 3 m，存在点)0 , 3 7 (M满足题意。 例 4、线段 AB过y轴上一点 0,Nm，AB所在直线的斜率为0k k，两端点 A、B 到y轴的距离之差为4k. () 求出以y轴为对称轴，过A、O、B三点的抛物线方程； () 过该抛物线的焦点F作动弦CD，过C、D两点分别作抛物线的切线，设 其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出 2 FC FD FM 的值 . 解： ( ) 设AB所在直线方程为mkxy，抛物线方程为pyx2 2 ， 且 11, y xA， 22, y xB，不妨设0 1 x，0 2 x kxx4 21即 kxx4 21 把mkxy代入pyx2 2 得022 2
7、 pmpkxx pkxx2 21 ， kpk42 2p故所求抛物线方程为yx4 2 () 设 2 33 4 1 ,xxC， 2 44 4 1 ,xxD 则过抛物线上C、D两点的切线方程分别是 2 33 4 1 2 1 xxxy， 2 44 4 1 2 1 xxxy 两条切线的交点M的坐标为 4 , 2 4343 xxxx 设CD的直线方程为1nxy，代入yx4 2 得044 2 nxx 4 43x x故M的坐标为1, 2 43 xx 点M的轨迹为1y 1 4 1 , 2 33 xxFC1 4 1 , 2 44 xxFD 1 4 1 4 1 4 12 4 2 3 2 4 2 343 xxxxxx
8、FDFC 1 4 1 1 2 4 2 343 xxxx2 4 12 4 2 3 xx 而 2 2 43 2 110 2 xx FM2 4 1 4 4 2 2 4 2 3 43 2 4 2 3 xx xxxx 故1 2 FM FBFA (3) 问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 例 5、在直角坐标系xOy 中，长为21的线段的两端点C、D 分别在x 轴、 y 轴上 滑动，2CPPD记点 P 的轨迹为曲线E （I）求曲线E 的方程； （II）经过点（ 0，1）作直线l 与曲线E 相交于A、B 两点，,OMOAOB当点 M 在曲线 E 上时，求cos,OA OB的值 解：（）设C (m， 0)
9、，D (0，n)，P (x，y) 由 CP 2PD ，得 (x m，y)2(x， ny)， x m2x， y2(ny)， 得 m(21)x， n 21 2 y， 由| CD | 21，得 m2n 2( 21) 2， (21) 2x2( 21) 2 2 y 2( 21) 2， 整理，得曲线E 的方程为x 2y 2 2 1 （）设 A (x1，y1)，B (x2，y2)，由 OM OA OB ，知点 M 坐标为 (x1x2，y1y2) 设直线 l 的方程为ykx1，代入曲线E 方程，得 (k 22)x22kx10， 则 x1x2 2k k 22，x1x2 1 k 22 y1y2k(x1x2)2 4
10、 k 22， 由点 M 在曲线 E 上，知 (x1x2) 2(y1 y2) 2 2 1， 即 4k 2 (k 22)2 8 (k 22)21，解得 k 22 这时 x1x2y1y2x1x2 (kx11)(kx21)(1k 2)x 1x2k(x2x2)1 3 4 ， (x 2 1y 2 1)(x 2 2y 2 2) (2x 2 1)(2x 2 2)42( x 2 1x 2 2)(x1x2) 2 42(x1x2)22x1x2(x1x2)2 33 16 ， cosOA ， OB x1x2y1y2 (x 2 1y 2 1)(x 2 2y 2 2) 33 11 二、针对性练习 1. 已知圆 M： 22
11、(5)36xy及定点(5,0)N ，点 P 是圆 M 上的动点，点Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上， 且满足. 0,2NPGQNQNP （1）求点 G 的轨迹 C 的方程； （2）过点 K（ 2，0）作直线, l与曲线 C 交于 A、B 两点， O 是坐标原点，设OSOAOB,是否存在这样的直线, l使四边形OASB 的对角 线相等？若存在，求出直线, l的方程；若不存在，说明理由. 解： （1）由 Q NPGQ NQNP 0 2 为 PN 的中点，且GQPNGQ是 PN 的中垂线， PGGN，6PMGMGPGMGN.52 点 G 的轨迹是以M、N 为焦点的椭圆，又.25, 3bca .
12、1 49 22 yx （2） .OBOAOS四边形 OASB 为平行四边行， 假设存在直线1，使ABOS四边形 OASB 为矩形.OBOA 若 1 的斜率不存在，则1 的方程为,2x 由 22 22 16 2 5 9 943 xx OA OB xy y 0. 这与0OBOA相矛盾，1 的斜率存在 . 设直线 1 的方程 1122 2 ,.ykxA xyB xy 1 49 2 22 yx xky ，化简得：.01363649 2222 kxkxk , 49 136 , 49 36 2 2 212 2 21 k k xx k k xx 49 20 422.2 2 2 2121 2 2121 k k
13、 xxxxkxkxkyy 由 1212 00OA OBx xy y. 2 3 0 49 20 49 136 2 2 2 2 k k k k k 存在直线1：0623yx或0623yx满足条件 . 二、针对性练习 1. 已知过抛物线02 2 ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于 12 (,)A xy, 22 ,B xy（ 12 xx）两点，且9AB （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值 解： （ 1）直线 AB的方程是2 2() 2 p yx, 与 2 2ypx联立， 消去y，得 22 450xpxp，所以 4 5 21 p xx ， 由抛
14、物线定义得： 9 21 pxxAB，所以 p=4， 抛物线方程为：xy8 2 （2）由 p=4， , 05x4 22 ppx 化简得045 2 xx， 从而,4, 1 21 xx24,22 21 yy, 从而 A(1,22),B(4,24) 设)24,4()22, 1()( 3, 3y xOC=)2422,41(， 又因为 3 2 3 8xy，即 2 1222 8（41） ， 即 14) 12( 2 ，解得2,0 或 2、在平面直角坐标系内已知两点( 1,0)A、(1,0)B，若将动点( ,)P x y 的横坐标保持不变， 纵坐标扩大到原来的2 倍后得到点( ,2 )Q xy ，且满足1AQ
15、BQ. （）求动点 P所在曲线 C 的方程； （）过点B作斜率为 2 2 的直线 l 交曲线 C 于M、N两点，且0OMONOH， 又点H关于原点 O 的对称点为点G ， 试问M、G 、N、H四点是否共圆？若共圆， 求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由. 解（）设点P的坐标为 ( , )x y ，则点 Q 的坐标为 ( ,2 )xy ， 依据题意，有(1, 2 ),(1,2 ).AQxyBQxy 22 1,121.AQ BQxy 动点P所在曲线 C 的方程是 2 2 1. 2 x y （）因直线l 过点B，且斜率为 2 2 k，故有 2 :(1). 2 lyx 联立方程组 2 2 1 2
16、2 (1) 2 x y yx ，消去y，得 2 2210.xx 设 11 (,)M xy、 22 (,)N xy，可得 12 12 1 1 2 xx x x ，于是 12 12 1 2 2 xx yy . 又0OMONOH，得 1212 (,),OHxxyy即 2 ( 1,) 2 H 而点 G 与点H关于原点对称，于是，可得点 2 (1,). 2 G 若线段MN、 GH 的中垂线分别为 1 l 和 2 l ， 2 2 GH k，则有 12 21 :2(),:2 . 42 lyxlyx 联立方程组 21 2() 42 2 yx yx ，解得 1 l 和 2 l 的交点为 1 12 (,). 88 O 因此，可算得 22 1 93 23 11 |()(), 888 O H 22 111 123 11 |()(). 888 O Mxy 所以M、 G 、N、H四点共圆，且圆心坐标为 1 12 (,), 88 O半径为 3 11 . 8