圆锥曲线全国高中数学联赛试题一试.pdf

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1、2000-2010 年全国高中数学联赛试题一试( 答案 ) 解析几何圆锥曲线部分 一、选择题 2000、已知点A为双曲线x 2 y 2=1 的左顶点，点 B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边 三角形，则ABC的面积是【答】 （） (A) 3 3 (B) 2 33 (C) 33 (D) 63 2002直线 x 4+ y 3=1 与椭圆 x 2 16+ y 2 9 =1 相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得 PAB面积等于 3这 样的点P共有【答】（） A1 个B2 个C3 个D4 个 2003. 设,0,a bR ab那么直线0axyb和曲线 22 bxayab的图形是【答】 （） 2003

2、. 过抛物线 2 82yx的焦点 F 作倾斜角为60 的直线 . 若此直线与抛物线交于A，B 两点，弦AB的中垂线与x轴交于 P点，则线段PF的长等于【答】 （） （A） 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 2004、已知M= 32|),( 22 yxyx ， N= bmxyyx| ),( ，若对于所有的 Rm ，均有 ,NM 则b的取值范围是【答】 （） A 2 6 , 2 6 B。 （ 2 6 , 2 6 ）C 。 （ 3 32 , 3 32 ） D。 3 32 , 3 32 2005. 方程1 3cos2cos3sin2sin 22 yx 表示的曲线是【答】

3、（） A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线 2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是 【答】（） 二、填空题 2000、在椭圆1 2 2 2 2 b y a x (ab0) 中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B. 若 该椭圆的离心率是 2 15 ，则ABF=_. 2003设 12 ,F F是椭圆 22 1 94 xy 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且 12 :2:1PFPF，则 12 PF F的面积等于 _. 2005. 若正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另

4、外两个顶点在抛物线 2 xy上. 则该 正方形面积的最小值为. 2006. 已知椭圆 22 1 164 xy 的左右焦点分别为 1 F与 2 F， 点P在直线l：382 30xy 上. 当 12 F PF取最大值时，比 1 2 PF PF 的值为 . 2009. 椭圆 22 22 1 xy ab +=（0ab）上任意两点P，Q，若OQOP，则乘积|OQOP的 最小值为 _ 2009已知直线L：90xy和圆M： 22 228810xyxy，点A在直线L上， B、C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围 为 2010.双曲线 22 1xy的右半支与直线100x围成的区

5、域内部（不含边界）整点（纵横坐 标均为整数的点）的个数是 三、解答题 2000、已知C0:x 2+y2=1 和 C1:1 2 2 2 2 b y a x (ab0) 。试问：当且仅当a,b满足什么条件时， 对C1上任意一点P，均存在以P为项点 ,与C0外切 , 与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。 2002已知点A(0，2) 和抛物线y 2=x4 上两点 B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值 范围 2005. 过抛物线 2 xy上的一点A （1,1 ）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足 1 EC AE ; 点 F 在线段BC

6、 上，满足 2 FC BF ，且 1 21 ，线段 CD与 EF交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程 . 2006. 给定整数2n，设),( 000 yxM是抛物线1 2 nxy与直线xy的一个交点 . 试证 明对于任意正整数m，必存在整数2k，使),( 00 mm yx为抛物线1 2 kxy与直线 xy的一个交点 . 2007 已知过点 (0，1)的直线 l 与曲线 C： ) 0( 1 x x xy 交于两个不同点M 和 N。求曲线 C 在点 M、 N 处切线的交点轨迹。 2008 如图，P是抛物线 2 2yx 上的动点， 点B C,在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于P

7、BC， 求PBC面积的最小值 2009.设直线l：ykxm（其中k，m为整数）与椭圆 22 1 1612 xy 交于不同两点A，B， 与双曲线 22 1 412 xy 交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若 存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 2010 （本小题满分20 分）已知抛物线 2 6yx上的两个动点A（ 1 x， 1 y）和B（ 2 x， 2 y） ， 其中 12 xx且 12 4xx线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值 十年全国高中数学联赛试题一试( 答案 ) 解析几何圆锥曲线部分 一、选择题 2000、已知点A为双曲线x

8、2 y 2=1 的左顶点，点 B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边 三角形，则ABC的面积是【答】 （） (A) 3 3 (B) 2 33 (C) 33 (D) 63 答案：C 。 解析：如图所示， 设 BD=t， 则 OD=3t-1 ， 从而 B （3t-1 ， t） 满足方程1 22 yx， 可以得到t=3, 所以等边三角形，ABC的面积是33. 2002直线 x 4+ y 3=1 与椭圆 x 2 16+ y 2 9 =1 相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得 PAB面积等于 3这 样的点P共有 A1 个B2 个C3 个D4 个 解：直线与椭圆的交线长=5直线方程3x+4y12=0 设

9、点P(4cos ，3sin ) 点P与直线的距离d= 12|cos +sin 1| 5 ， 当 0 2 时，d 12 5 (21)，SABC6(21)）上任意两点P，Q，若OQOP，则乘积OPOQ的最 小值为 _ 22 22 2 ba ba _ 【解析】设 cossinP OPOP， ， cossin 22 QOQOQ， 由P， Q 在椭圆上，有 22 222 1cossin ab OP 22 222 1sincos ab OQ + 得 2222 1111 ab OPOQ 于是当 22 22 2a b OPOQ ab 时， OP OQ 达到最小值 22 22 2a b ab 2009已知直线

10、L：90xy 和圆M： 22 228810xyxy，点A在直线L上， B、C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围 为_3,6_ 【解析】设 9A aa， ，则圆心 M 到直线 AC 的距离 sin45dAM ，由直线 AC 与圆 M相交，得 34 2 d 解得 36a 2010 双曲线1 22 yx的右半支与直线100x围成的区域内部（不含边界）整点（纵 横坐标均为整数的点）的个数是9800 . 解：由对称性知， 只要先考虑x轴上方的情况， 设)99,2, 1(kky与双曲线右半支于 k A, 交直线100x于 k B，则线段 kkB A内部的整点的个数为99k

11、，从而在x轴上方区域内部整 点的个数为 99 1 (99)99494851 k k . 又x轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为 98009848512. 【解析】 三、解答题 2000、已知C0:x 2+y2=1 和 C1:1 2 2 2 2 b y a x (ab0) 。试问：当且仅当a,b满足什么条件时， 对C1上任意一点P，均存在以P为项点 ,与C0外切 , 与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。 答案：所求条件为 2 1 a + 2 1 b =1. 证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心. 假设论成立 , 则对点 ( a, 0 ), 有( a, 0 )

12、为项点的菱形与C1内接 , 与 Co外切 . ( a, 0 )的相 对顶点为 ( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分, 另外两个顶点必在y 轴上 , 为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为 a x + b y =1, 即 bx+ay=ab. 由于菱形与CO外切 , 故必有 2 2 ba ab =1, 整理得 2 1 a + 2 1 b =1. 必要性得证 . 充分性 : 设 2 1 a + 2 1 b =1,P 是 C1上任意一点 , 过 P、O作 C1的弦 PR ，再过 O作与 PR垂直的弦 QS ， 则 PQRS 为与 C1内接菱形 . 设 OP = r1,

13、OQ =r2, 则点 O的坐标为 (r1cos, r1sin), 点 Q的坐 标为 (r2cos(+ 2 ),r2sin(+ 2 ), 代入椭圆方程, 得 2 2 1cos a r + 2 2 1sin b r =1, 2 22 ) 2 cos( a r + 2 22 ) 2 sin( b r =1, 于是 , 2 1 OP + 2 1 OQ = 2 2 2 1 11 RR =( 2 2 2 2 sincos ba )+ 2 2 ) 2 (cos a + 2 2 ) 2 (sin b = 2 1 a + 2 1 b =1. 又在 Rt POQ 中，设点O到 PQ的距离为h，则 h 1 = 2

14、1 OP + 2 1 OQ =1,故得 h=1 同理，点O到 QR ，RS ， SP的距离也为1，故菱形 PQRS 与 C0外切 .充分性得证 . 注 对于给出 2222 baba， 22 ba ab =1 等条件者，应同样给分. 2002已知点A(0，2) 和抛物线y 2=x4 上两点 B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值 范围 解：设B(y0 24， y0) ，C(y1 24， y1) 则 kAB=y 02 y 2 04 = 1 y0+2 kBC= y1y0 y 2 1y 2 0 = 1 y1+y0 由kABkBC=1，得 (y1+y0)(y0+2)=1 y0 2+( y1+2)y0

15、+(2y1+1)=0 =(y1+2) 24(2 y1+1)=y1 24y 10， y10，y1 4 当y1=0 时，得B( 3， 1)，当y1=4 时，得B(5 ， 3) 均满足要求，故点C的纵坐标的 取值范围是 ( ， 0 4 ，+) 2005. 过抛物线 2 xy上的一点A （1,1 ）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足 1 EC AE ; 点 F 在线段BC 上，满足 2 FC BF ，且 1 21 ，线段 CD与 EF交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程 . 解 一 ： 过 抛 物 线 上 点A 的 切 线

16、斜 率 为 ： ,2|21xxy切 线AB 的 方 程 为 DBxy、.12的坐标为DDB),0, 2 1 (),1,0(是线段 AB的中点 . 5 分 设),(yxP、),( 2 00 xxC 、),( 11 yxE、),( 22 yxF，则由 1 EC AE 知， ; 1 1 , 1 1 1 2 01 1 1 01 1 x y x x, 2 FC BE 得. 1 1 , 1 2 2 02 2 2 02 2 x y x x EF所在直线方程为：, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 01 2 02 1 01 1 2 01 2 2 02 1 2 01 xx x x xx x y 化

17、简得.13)()1 ()( 2 020 2 0122012 xxxxyx 10 分 当 2 1 0 x时，直线CD的方程为： 12 2 0 2 0 2 0 x xxx y 联立、解得 0 2 0 1 3 3 x x x y ，消去 0 x，得P 点轨迹方程为：.)13( 3 12 xy 15 分 当 2 1 0 x时， EF方程为：CDxy, 4 1 2 3 )3 4 1 4 1 ( 2 3 212 方程为： 2 1 x， 联立解得 . 12 1 , 2 1 y x 也在 P点轨迹上 . 因 C与 A不能重合，. 3 2 , 1 0 xx 所求轨迹方程为 ). 3 2 () 13( 3 1 2

18、 xxy20 分 解二：由解一知，AB的方程为),0 , 2 1 (),1,0(, 12DBxy故 D是 AB的中点 . 5 分 令 ,1,1, 2211 CF CB t CE CA t CP CD 则.3 21tt 因为 CD为ABC的中线， .22 CBDCADCAB SSS 而 , 2 3 , 2 3 2 ) 11 ( 2 1 22 1 2121 21 2121 tttt tt ttS S S S S S CBCA CFCE tt CBD CFP CAD CEP CAB CEF P是ABC的重心 . 10 分 设),(),( 2 00 xxCyxP因点 C异于 A，则, 1 0 x故重心

19、 P的坐标为 , 33 11 ), 3 2 ( , 3 1 3 10 2 0 2 000 xx yx xx x消去, 0 x得.)13( 3 12 xy 故所求轨迹方程为). 3 2 ()13( 3 12 xxy20 分 2006. 给定整数2n，设),( 000 yxM是抛物线1 2 nxy与直线xy的一个交点 . 试证 明对于任意正整数m，必存在整数2k，使),( 00 mm yx为抛物线1 2 kxy与直线 xy的一个交点 . 【证明】因为1 2 nxy与xy的交点为 2 00 4 2 nn xy. 显然有 0 0 1 xn x 。（ 5 分） 若),( 00 mm yx为抛物线1 2

20、kxy与直线xy的一个交点，则 0 0 1m m kx x . （ 10 分） 记 0 0 1m mm kx x ，则 1011 0 1 () mmmmm kkxknkk x ，(2)m （13.1 ） 由于 1 kn是整数， 222 2002 00 11 ()22kxxn xx 也是整数， 所以根据数学归纳法， 通过 （ 13.1 ） 式可证明对于一切正整数m， 0 0 1m mm kx x 是正整数 . 现在对于任意正整数m， 取 0 0 1m m kx x ，使得1 2 kxy与xy的交点为),( 00 mm yx. （20 分） 2007. 已知过点 (0，1)的直线 l 与曲线 C：

21、 )0( 1 x x xy 交于两个不同点M 和 N。求曲线 C 在点 M 、N 处切线的交点轨迹。 解：设点 M 、N 的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线 C 在点 M、N 处的切线分别为l1、 l2，其交点 P 的坐标为 (xp， yp)。若直线l 的斜率为 k ，则 l 的方程为y=kx+1 。 由方程组 1 1 kxy x xy ，消去 y，得 1 1 kx x x ，即 (k-1)x 2+x-1=0 。由题意知，该方 程 在 (0 ， +)上 有 两 个 相 异 的 实 根x1、 x2， 故k1， 且 =1+4(k-1)0 (1) ， 0 1 1 21 k xx (2)

22、， 0 1 1 21 k xx (3)，由此解得 1 4 3 k 。对 x xy 1 求导， 得 2 1 1 x y ， 则 2 1 1 1| 1 x y xx ， 2 2 1 1| 2 x y xx ， 于 是 直 线l1的 方 程 为 )( 1 1( 12 1 1 xx x yy ，即 )( 1 1() 1 ( 12 11 1 xx xx xy ，化简后得到直线l1的方程为 1 2 1 2 ) 1 1( x x x y (4)。同理可求得直线l2的方程为 2 2 2 2 ) 1 1( x x x y (5)。 (4)- (5)得 0 22 ) 11 ( 21 2 1 2 2 xx x xx

23、 p ，因为 x1x2，故有 21 21 2 xx xx xp (6)。 将(2)(3) 两式代入 (6)式得 xp=2。 (4)+(5) 得 ) 11 ( 2) 11 (2(2 21 2 2 2 1 xx x xx y pp (7) ， 其 中 1 11 21 21 21 xx xx xx ， 12)1(21 2 )( 2)( 11 21 2 21 21 2 2 2 1 21 2 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 kk xxxx xx xx xxxx xx xx xx ， 代 入 (7) 式得 2yp=(3-2k)xp+2，而 xp=2 ，得 yp=4-2k。又由 1 4

24、 3 k 得 2 5 2 p y ，即点 P 的轨迹 为(2，2)，(2， 2.5) 两点间的线段（不含端点）。 2008 如图，P是抛物线 2 2yx 上的动点， 点B C,在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于PBC， 求PBC面积的最小值 解 设 00 (,),(0,),(0, )P xyBb Cc ，不妨设bc 直线PB的方程 : 0 0 yb ybx x ， 化简得 000 ()0yb xx yx b 又圆心(1,0)到PB的距离为1， 00 22 00 1 () ybx b ybx ，5 分 故 22222 000000 ()()2()ybxybx b ybx b ， 易知 02x

25、 ，上式化简得 2 000(2)20xby bx ， 同理有 2 000(2)20xcy cx 10分 所以 0 0 2 2 y bc x ， 0 0 2 x bc x ，则 22 2 000 2 0 448 () (2) xyx bc x 因 00(,)P xy 是抛物线上的点，有 2 002yx ，则 2 2 0 2 0 4 () (2) x bc x ， 0 0 2 2 x bc x 15 分 所以 0 000 00 14 ()(2)4 222 PBC x Sbcxxx xx 2448 当 2 0(2)4x时，上式取等号，此时 00 4,2 2xy 因此 PBC S 的最小值为820 分

26、 2009.由 22 1 1612 ykxm xy 消去 y 化简整理得 222 3484480kxkmxm 设 11 A xy， ， 22 B xy， ，则 12 2 8 34 km xx k 2 22 1 84 344480kmkm 4 分 由 22 1 412 ykxm xy 消去 y 化简整理得 222 32120kxkmx m 设 34 C xy， ， 44 D xy， ，则 34 2 2 3 km xx k 2 22 2 24 3120kmkm 8 分 因为 0ACBD ，所以 42310xxxx ，此时 42310yyyy 由 1234 xxxx 得 22 82 343 kmkm

27、 kk 所以 20km 或 22 41 343kk 由上式解得 0k 或 0m 当 0k 时，由 和 得 2 32 3m 因 m 是整数，所以 m 的值为 3，2，1，0，1，2，3 当0m ， 由和得 33k 因 k是整数，所以1k ，0，1于是满足条件的直线共 有 9 条 14 分 2010. 已知抛物线xy6 2 上的两个动点 1122 (,)(,)A xyB xy和，其中 21xx 且4 21xx . 线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值 . 解一：设线段AB的中点为),( 00 yxM，则 2 ,2 2 21 0 21 0 yy y xx x， 012 2 1 2

28、 2 12 12 12 36 66 yyyyy yy xx yy kAB . 线段AB的垂直平分线的方程是 )2( 3 0 0 x y yy. （1） 易知0, 5 yx是（ 1）的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点， 且点 C 坐标为)0 ,5(. （5 分） 由（ 1）知直线AB的方程为 )2( 3 0 0 x y yy，即2)( 3 0 0 yy y x. （2） （2）代入xy6 2 得 12)(2 00 2 yyyy，即01222 2 00 2 yyyy. （3） 依题意， 21,y y是方程（ 3）的两个实根，且 21 yy，所以 222 000 44(212)4

29、480yyy, 3232 0 y. 2 21 2 21 )()(yyxxAB 2 21 20 )() 3 (1(yy y 4)( 9 1( 21 2 21 2 0 yyyy y )122(44)( 9 1 ( 2 0 2 0 2 0 yy y )12)(9( 3 22 0 2 0 yy . 定点)0 ,5(C到线段AB的距离 2 0 2 0 2 9)0()25(yyCMh. （10 分） 2 0 2 0 2 0 9)12)(9( 3 1 2 1 yyyhABS ABC )9)(224)(9( 2 1 3 1 2 0 2 0 2 0 yyy 3 2 0 2 0 2 0 ) 3 92249 ( 2

30、 1 3 1yyy C(5,0) B A x y O 7 3 14 . （15 分） 当且仅当 2 0 2 0 2249yy ，即 0 5y, 635635 (,57),(,57) 33 AB或 635635 (, ( 57),(,57) 33 AB时等号成立 . 所以AB面积的最大值为7 3 14 . （20 分） 解二：同解一，线段 AB的垂直平分线与 x轴的交点 C为定点，且点C坐标为)0,5( . （ 5 分 ） 设4, 2 2 2 121 2 22 2 11 tttttxtx，则 16 16 105 2 1 2 2 2 1 2 1 tt ttS ABC 的绝对值, （10 分） 2 2 2 212 2 11 2 )656665( 2 1 (ttttttS ABC 2 21 2 21 )5()( 2 3 tttt )5)(5)(24( 2 3 212121 tttttt 3 ) 3 14 ( 2 3 , 7 3 14 ABC S, （15 分） 当且仅当5)( 21 2 21 tttt且4 2 2 2 1 tt， 即, 6 57 1 t 6 57 2 t, 635635 (,57),(,57) 33 AB或 635635 (, ( 57),(,57) 33 AB时等号成立 . 所以ABC面积的最大值是7 3 14 .