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1、圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程， 求准线或渐近线 方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形 面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和 y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意 2 ,2,aaa， 2 ,2 ,bbb， 2 ,2,ccc，2,2ppp的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222 bac，双曲线中 222 bac，离心率ace，准线方程ca
2、x 2 ； 例题： （1）已知定点)0 ,3(),0, 3( 21 FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（） A4 21 PFPFB6 21 PFPFC10 21 PFPFD12 2 2 2 1 PFPF（答：C）； （2）方程 2222 (6)(6)8xyxy表示的曲线是 _ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q及抛物线 4 2 x y上一动点P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _ （答： 2） （4）已知方程 1 23 22 k y k x 表示椭圆，则k的取值范围为_ （答： 11 ( 3,)(,2) 22 ）； （5）双曲线的离心率等于 2 5 ，且与
3、椭圆1 49 22 yx 有公共焦点，则该双曲线的方程_（答： 2 2 1 4 x y）； （6）设中心在坐标原点O，焦点 1 F、 2 F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P，则 C 的方程为 _（答： 22 6xy） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离 有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何 的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定 理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出
4、时，应由 向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质 ： （1）椭圆 （以1 2 2 2 2 b y a x （0ab）为例）： 范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c； 对称性 ：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（ 0,0 ），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b ；准线：两条准线 2 a x c ； 离心率 ： c e a ，椭圆01e，e越小，椭圆越圆； e越大，椭圆越扁。 例：（ 1）若椭圆1 5 22 m yx 的离心率 5 10 e，则m的值是 _（答： 3 或 3 25 ）； （2） 以椭圆
5、上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时， 则椭圆长轴的最小值为 _ （答： pecba, 22） （2）双曲线 （以 22 22 1 xy ab （0,0ab）为例）： 范围： x a或 ,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c； 对称性 ：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（ 0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为 2a，虚 轴长为 2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0xyk k； 准线：两条准线 2 a x c ； 两条渐近线 ： b yx a 。 离心率： c e a ，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小， e越大，开
6、口越大； 例：（ 3）双曲线的渐近线方程为y=3x/4, 则双曲线的离心率为 _ （4）双曲线 22 1axby 的离心率为 5 ，则 :a b= （答： 4 或 1 4 ）； （5）设双曲线1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是 _（答：, 32 ）； （3）抛物线 （以 2 2(0)ypx p为例）： 范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0) 2 p ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性 ：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 准线：一条准线 2 p x； 离心率： c e a ，抛物线1e。
7、（4） 点 00 (,)P xy和椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ab） 的关系 ： （1） 点 00 (,)P xy在椭圆外 22 00 22 1 xy ab ； 2）点 00 (,)P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1；（3）点 00 (,)P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 例：（ 6）1 1625 22 yx 设Raa,0，则抛物线 2 4axy的焦点坐标为 _（答：) 16 1 , 0( a ）； （7）已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P到右准线的距离为 _（答： 35 3 ）； （8）已知抛物线方程为xy8 2
8、，若抛物线上一点到y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等 于_； （9）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 _（答：7,(2,4)）； （10）点 P 在椭圆1 925 22 yx 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为 _（答： 25 12 ）； 三、直线与圆锥曲线的关系题 （1）写直线方程时，先考虑斜率k 存在，把直线方程设为bkxy的形式，但随后应对斜率k 不存 在的情况作出相应说明，因为k 不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立； （2） 联立直线方程和圆锥曲线方程， 消去x或消去 y ， 得到方程0 2 cbxa
9、x或0 2 cbyay ，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。 （3）当方程或的二次项系数0a时, 方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况 是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行； （过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条， 过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；） （4）当方程或的二次项系数0a时，判别式0、0、0，与之相对应的是，直线与 圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用0来求斜率 k的范围； 例题： （1）过点)4 ,2(作直线与抛物线xy8 2 只有一个公共点，这样的直线有_（
10、答： 2）； （2）过点 (0,2)与双曲线1 169 22 yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答： 44 5 , 33 ）； （3）直线 ykx1=0 与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点， 则 m 的取值范围是 _ （答：1，5）（5， +）； （4）过双曲线 1 21 22 yx 的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若AB 4，则这样的直线有 _ 条（答： 3）； （5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提0a，0），记为 AB ，其中),( 11 yxA，),( 22 yxB， AB 的 坐标可由方程或求得，一般是由方程求出 21,x x，再代入直线方程求 21, y
11、y，或由方程求出 21,y y，再代入直线方程求 21,x x。 （6）涉及弦长问题， 可用韦达定理 ，由方程0 2 cbxax求出 2121 ,xxxx， ),( 11 yxA，),( 22 yxB在直线bkxy上，bkxy 11 ，bkxy 22 ， )( 2121 xxkyy, 2 21 22 21 2 21 )(1 ()()(xxkyyxxAB 4)(1 ( 21 2 21 2 xxxxk a k )1( 2 。 请注意 ，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到0 2 cbyay，继而用 韦达定理 ，求出 2121 ,yyyy， )( 1 2121 yy k xx , 2 21 2
12、2 21 2 21 )( 1 1()()(yy k yyxxAB 4)( 1 1( 21 2 21 2 yyyy kak ) 1 1( 2 ； （6）若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点弦为 AB ，1122(,),(,)A xyB xy，则12|ABxxp； 2 2 1212 , 4 p x xy yp （7）若 OA 、OB是过抛物线 2 2(0)ypx p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 (2,0)p （7）涉及弦中点问题， 可用韦达定理 ， 由方程0 2 cbxax求出 21 xx， 设弦),( 11 yxA),( 22 yxB 的中点为),( 00 yxM，则 2
13、21 0 xx x，M 点也在直线bkxy上，bkxy 00 。 如果问题 仅仅与弦中点和弦的斜率k 有关，而不涉及弦长， 则可把弦 AB 的坐标),( 11 yx，),( 22 yx直接 代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有)( 21 xx、)( 21 xx、)( 21 yy、)( 21 yy， 这些都与弦中点坐标和弦的斜率k 有关。 （点差法） （8）弦 AB 满足有关的向量的条件 ，如0OBOA（O 为原点），则0 2121 yyxx，bkxy 11 ， bkxy 22 ，0)()1()( 2 2121 2 2121 bxxkbxxkbkxbkxxx. 又如过椭圆22 22
14、 yx的右焦点1F的直线 l 与该椭圆交于,M N两点，且3262 21 MFMF，求直 线 l 的方程。 特别提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别忘了检验0！ 例： （1） 抛物线xy2 2 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是5， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 _ （答： 2）； （2）如果椭圆 22 1 369 xy 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答： 280xy）； （3）已知直线 y=x+1 与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L： x
15、2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答： 2 2 ）； （1）双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 0 2 2 2 2 b y a x ； （2）以x a b y为渐近线（即与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线）的双曲线方程为 ( 2 2 2 2 b y a x 为参数， 0）。 如（4）与双曲线1 169 22 yx 有共同的渐近线，且过点) 32, 3(的双曲线方程为 _（答： 22 4 1 94 xy ） （5）经过双曲线 1 3 2 2y x的右焦点F2作倾斜角为30的弦 AB ， （1）求 |AB| （2）求三角形ABF1的周长，（ F1是左焦点
16、） （6）已知抛物线xy 2 与直线 y=k(x+1) 相交于 A、B 两点 （1）求证： OBOA （2）当10 OAB S，求 k 的值。 （7）已知动直线(1)yk x与椭圆 22 :1 5 5 3 xy C相交于A、B两点 , 已知点 7 (,0) 3 M， 求证：MA MB为定值 . 解: 将(1)yk x代入 22 1 5 5 3 xy 中得 2222 (13)6350kxk xk 4222 364(31)(35)48200kkkk， 2 122 6 31 k xx k ， 2 122 35 31 k x x k 所以 11221212 7777 (,)(,)()() 3333 M
17、A MBxyxyxxy y 2 1212 77 ()()(1)(1) 33 xxkxx 222 1212 749 (1)()() 39 kx xkxxk 22 222 22 357649 (1)()() 313319 kk kkk kk 42 2 2 316549 319 kk k k 4 9 。 （8）过椭圆1 416 22 yx 内一点)1 ,2(M引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 四、关于圆锥曲线的最值 （1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标),( 00 yxM，用两点间的距离公式表 示距离 d ，利用点 M 的坐标),( 00 yx满足圆锥曲线
18、方程， 消去 0 y（或消去 0 x）， 把 2 d表示成 0 x（或 0 y） 的二次函数，因为 0 x（或 0 y）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二 次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。 （2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所 求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。 例：（ 1）椭圆 x2/3+y2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离； 五、求动点的轨迹方程 （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 注意： 不重合的两条直线0: 1111 Cy
19、BxA与0: 2222 CyBxA， 1的法向量为： ),( 11 1BAn， 方向向量为), 1 (),( 111 1kABe，0 212121 BBAA 121212 ABBA且 2121 ACCA； （2）求轨迹方程的常用方法： 直接法 ：直接利用条件建立, x y之间的关系( , )0F x y； (1) 已知动点 P到定点 F(1,0) 和直线3x的距离之和等于4，求 P的轨迹方程（答： 2 12(4)(34)yxx或 2 4 (03)yxx）； 待定系数法 ：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条 件确定其待定系数。 （2）线段 AB 过 x 轴正半轴上
20、一点 M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴 为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答： 2 2yx）； 定义法 ：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程； (3) 由动点 P向圆 22 1xy作两条切线 PA 、PB ，切点分别为 A、B，APB=60 0，则动点 P的轨迹方程 为（答： 22 4xy）； （4）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线05xl：的距离小于 1，则点 M的轨迹方程是 _ （答： 2 16yx）； (5)一动圆与两圆 M ：1 22 yx和N：0128 22 xyx
21、都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； 代入转移法 ：动点( , )P x y依赖于另一动点 00 (,)Q xy的变化而变化，并且 00 (,)Q xy又在某已知曲 线上，则可先用, x y的代数式表示 00 ,xy，再将 00 ,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程； (6) 动点 P是抛物线12 2 xy上任一点，定点为) 1,0(A, 点 M分PA所成的比为 2，则 M的轨迹方程 为_ （答： 3 1 6 2 xy）； （7）AB是圆 O的直径，且 |AB|=2 a，M为圆上一动点，作 MN AB ，垂足为 N，在 OM 上取点 P ，使 | |OPMN，求点 P 的轨迹。（答
22、： 22 |xya y）； （8）若点),( 11 yxP在圆1 22 yx上运动，则点),( 1111 yxyxQ的轨迹方程是 _（答： 2 1 21(|) 2 yxx）； （9） 过抛物线yx4 2 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B两点， 则弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _ （答： 2 22xy）； （14 全国卷） 20.（本小题满分12 分）已知点A（0，-2），椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆的焦点， 直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点 . （）求E的方程； （）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的
23、面积最大时，求l的方程 . 20. （本小题满分12 分） 解：（）设( ,0)F c，由条件知， 22 3 3c ，得3c， 又 3 2 c a ，所以 222 2,1abac 故E的方程为 2 2 1 4 x y5 分 （）当 lx轴时不合题意，故设:2lykx ， 1122 (,),(,)P xyQ xy，将2ykx代入 2 2 1 4 x y得 22 (14)16120kxkx 当 2 16(43)0k，即 2 3 4 k时， 2 1,22 82 43 41 kk x k 从而 22 2 122 4143 |1 | 41 kk PQkxx k 又点O到直线PQ的距离 2 2 1 d k
24、 ，所以OPQ的面积 2 2 14 43 | 241 OPQ k SdPQ k 9分 设 2 43kt，则0t， 2 44 4 4 OPQ t S t t t 因为 4 4t t ，当且仅当2t，即 7 2 k时等号成立，且满足0 所以当OPQ的面积最大时，l的方程为 7 2 2 yx或 7 2 2 yx12 分 答案 一：1.C 2.双曲线的左支 3y=x2/4 即 x2=4y焦点 F为（0,1 ）准线： y=-1 过点 P作 PM y=-1 于 M PM =PF y+|PQ|=PM +|PQ|-1= PF +|PQ|-1 当 F,P,Q 三点共线时 PF +|PQ|最小 （PF +|PQ|
25、）min= （22）2+1=3 （y+|PQ|）min=（PF +|PQ|-1 ）min=3-1=2 4. 11 ( 3,)(,2) 22 ）； 5. 2 2 1 4 x y； 6. 22 6xy 二：1. 3或 3 25 2. 设焦点在 x 轴上, 则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形, 底边长为 2c, 面积最大时 , 底边上的 高最大 , 即该动点必须位于椭圆与y 轴的交点上 , 即此时高为 b, 即 2c*b/2=1,bc=1,c=1/b 而 c2= a2-b2 =(1/b)2 即 a2= b2 +(1/b)2 2 a2 长轴 2a22 3. （1）焦点在 x 轴上, 渐近线 y=(
26、b/a)x b/a=3/4 b=3t, a=4t c=5t e=c/a=5/4 （2）焦点在 y 轴上, 渐近线 y=(a/b)x a/b=3/4 a=3t, b=4t c=5t e=c/a=5/3 4. 4或 1 4 5. e=c/a 2,2, cos( - )/2=a/c1/2,1/2, ( - )/2 /4, /3, - /2,2 /3, 的取值范围是 /3, /2. 6.) 16 1 ,0( a 7. 35 3 8. 7 9. （7,(2,4)）10. 25 12 三：1、2 2. 44 5 , 33 显然该抛物线焦点是（ 2,0 ）这个点在 x=5 上. 解方程组 x=5,y 2=8
27、x , 则 x=5,y=2 10. 该点坐标为（ 5,2 10）. 用公式算得该点至抛物线距离为7. 2. 设直线为 y=kx+a, 过（ 0,2 ）点, 可得 a=2 y=kx+2 与 x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点 也就是方程组 x2/9-y2/16=1 ；y=kx+2只有一组解 将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1得到： (16-9k2)x2-18kx-180=0 就此讨论： 当 16-9k2=0 时, 方程只有一组解 , 也就是 k=(4/3) 时, 方程 只有一组解 当 16-9k2 不等于 0 时, 一元二次方程有且只有唯一解的条件 也就是 b2-4ac=0
28、, 可以得到另一组 k 的值 3：椭圆，且，直线恒过定点，欲使其与椭圆恒 有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，选 C. 4. X2 - Y2/2 =1 c2=1+2=3 F(3,0) 过 F 且垂直 x 轴的直线是 x=3 代入则 y2=4 y=2 所以此时 AB=2-(-2)=4 所以这里有一条 且 AB都在右支时其他的直线则AB都大于 4 所以 AB都在右支只有 1 条 直线 L 交双曲线于 A,B 两点,A、B分别在两支时 , 顶点是 (-1,0),(1,0) 顶点距离是 24 所以也有两条 , 关于 x 轴对称所以共有 3 条 1. 2 2. 280xy3. 2 2 4. 22
29、 4 1 94 xy 5 6、（1）将 y=k(x+1) 代入 y2=-x, 设 A（X1,y1）,B(X2,y2) 易得 X1+X2=-(2k2+1)/k2,X1*X2=1 y1*y2=k2(X1+1)(X2+1)=-1 0A斜率 K1为 y1/X1,0B 斜率 K2为 y2/X2, 所以 K1*K2=-1 得证 （2）1/2( 根 x12+y12*根下 x22+yx2)= 根 10 （x12+y12）*（x22+yx2）=40 x12x22+(x12+y22+x22y12)=40 2-(x12x2+x22x1)=40 x1x2(x1+x2)=-38 (2k2+1)/-k2=-38 k2=1
30、/36 k=-1/6 7、7、解 : 将(1)yk x代入 22 1 5 5 3 xy 中得 2222 (13)6350kxk xk 4222 364(31)(35)48200kkkk， 2 12 2 6 31 k xx k ， 2 12 2 35 31 k x x k 所以 11221212 7777 (,)(,)()() 3333 MA MBxyxyxxy y 2 1212 77 ()()(1)(1) 33 xxkxx 222 1212 749 (1)()() 39 kx xkxxk 22 222 22 357649 (1)()() 313319 kk kkk kk 42 2 2 3165
31、49 319 kk k k 4 9 。 8. 设直线与椭圆的交点为),( 11 yxA、),( 22 yxB )1 ,2(M为 AB 的中点4 21 xx2 21 yy 又 A、 B两点在椭圆上，则164 2 1 2 1 yx，164 2 2 2 2 yx 两式相减得0)(4)( 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 于是0)(4)( 21212121 yyyyxxxx 2 1 24 4 )(4 21 21 21 21 yy xx xx yy 即 2 1 AB k，故所求直线的方程为)2( 2 1 1xy，即042yx。 四、 1. 解：将直线 L 向椭圆方向平移至直线L:x-y+c=0
32、，使直线 L与椭圆恰好相切，切点为P， 把 x=y-c 代入椭圆方程 x2/3+y2=1 （ 1）, 得 （y-c)2/3+y2=1 整理得： 4y2-2cy+c2-3=0 由=0得 4c2-4 4(c2-3)=0 c=2 即直线 L方程为 :x-y 2=0 方程为 :x-y+2=0 （ 2） 符合题意 解（1）、（ 2）得 P点坐标为（ -3/2,1/2）。 点 P到直线 L:x-y+4=0 的距离的最小值为： d=|-3/2-1/2+4|/2=2/2 。 五、1. 2 12(4)(34)yxx或 2 4 (03)yxx）； 2. 2 2yx3. 22 4xy4. 2 16yx5.双曲线的一
33、支 6. 3 1 6 2 xy7. 2 22xy 20. （本小题满分12 分） 解：（）设( ,0)F c，由条件知， 22 3 3c ，得3c， 又 3 2 c a ，所以 222 2,1abac 故E的方程为 2 2 1 4 x y5 分 （）当lx轴时不合题意，故设:2lykx， 1122 (,),(,)P xyQ xy，将2ykx代入 2 2 1 4 x y得 22 (14)16120kxkx 当 2 16(43)0k，即 23 4 k时， 2 1,2 2 82 43 41 kk x k 从而 22 2 122 4143 |1 | 41 kk PQkxx k 又点O到直线PQ的距离 2 2 1 d k ，所以OPQ的面积 2 2 14 43 | 241 OPQ k SdPQ k 9分 设 2 43kt，则0t， 2 44 4 4 OPQ t S t t t 因为 4 4t t ，当且仅当2t，即 7 2 k时等号成立，且满足0 所以当OPQ的面积最大时， l的方程为 7 2 2 yx或 7 2 2 yx12 分