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1、学习必备欢迎下载 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是 nn GA: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n xxx n xxx . . 21 21 我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 84 4 4 844)()( : 4422)()( abcdefghefghabcdhgfedcba abcdabcdcdabdcbadcba 八维时 二维已证，四维时： 这样的步骤重复 n 次之后将会得到 n n n xxx xxx n 2 2 2
2、1 2 21 . 2 . 令A n xxx xxxxxxx n nnnn n . .;,., 21 2 2111 由这个不等式有 nn n n n n n nn n AxxxAxxx AnnA A 2 1 2 1 21 2 2 21 )( 2 )2( 即得到 n n n xxx n xxx . . 21 21 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要， 下面给出几个竞赛题的例 子： 例 1： 学习必备欢迎下载 1 1 12 1 01(1,2,., ) 1 1(.) n i i i n n n ain a a aa 若证明 例 2： 1 1 1 2 1 1(1,2,., ) 1 1(. )
3、 n i ii n n n rin r r rr 若证明 这 2 个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例 1 的证明： 121212 12 12 2121 2 2 1234 1234 1234 2 112 (1)(2)2(1)(1) 11 1 , (1)(2)2(1) 22(1)2 (1)22 111111 2() 1111 11 4 1 n a aaaaa aa a a paqa aa qppq pqpqqpqq qpq aaaa a aa a aa a a 当时 设 ，而这是 元均值不等式 因此 将此过程进行下去 因 2 1 1 2 12 2 1 1212
4、 2 21 1 22 1 12 1 1(.) .(.) 1122 (2) 111 1() 1 11 n n n n n nn n i i n nnn nnn n n ii n n i i a a aa aaaa aaG n aGG G G n aG 此 令 有 即 例 3： 学习必备欢迎下载 1 11 5, ,1(1), 111 , 11 ()() 11 nn iiiiiii ii nnn iii iii n niiiii iii iii nr s t u vinRr Ss nn Tt Uu Vv nnn r st u vRSTUV r st u vRSTUV 已知个实数都记 ，求证下述不等式
5、成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 其实由均值不等式，以及函数 1 ( )ln 1 x x e f x e 是在 R 上单调递减 因此 111111 1 1 1 1 () 1 1 nnnnnn nnnnnn iiiiiiiiii iiiiii n n ii iii in n n ii iii i RSTUVrstuvr st u v r st u v RSTUV RSTUV r st u v 我们要证明： 1 1 1 1 1 () 1 1 n n ii iii n i ii iii n i ii iii n iiiii i r st u v r st u v r st
6、u v r st u v 证明以下引理： 1 1 1 1 1 ()() 1 1 n n i n in i n ii n i i x x x x 学习必备欢迎下载 122 12 12 12 2 1212121212 2 121212121212 1212 2 1212 2 1 11 2()()() 11 1 ,(1)(1) 2 (1)(1)(1) 2 (1) (1)(1)2 (1) 11 ()() 11 i i x x xx n xx x x Ax xAx xxxxxx x A x xxxAx xxxx xxx A x xxx Ax xA x x xG xG 时， 令 显然成立 因此 2 2 2
7、 2 11 2 2 1 1 1 1 () 1 1 () 1 1 1 ()() 1 1 n n nn n n n n nnn n n i n ii n n n i n ini n i i n i i G G Gx G G G G x x x x ， 因此 所以原题目也证毕了 这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen: ) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf ，则四维： ) 4 (4) 2 (2) 2 (2)()()()( 43214321 4321 xxxx f xx f xx fxfxfxfxf 一直进行 n 次有 ) 2 . ( 2 )(.)()( 2 21 2 21 nn nnxxx f xfxfxf , 令A n xxx xxxxxxx n nnnn n . .;,., 21 2 2111 有)() 2 )2( ( 2 )()2()(.)( 1 Af AnnA f Afnxfxf n n n n n 所以得到 ) . ( )(.)()( 2121 n xxx f n xfxfxf nn 学习必备欢迎下载 所以基本上用 Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少 其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件