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1、优秀资料欢迎下载！ 安徽大学 20112012 学年第一学期 数理统计 考试试卷（ B 卷） （闭卷时间 120分钟） 院/系年级专业姓名学号 一、选择题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10分） 1、设总体(1, 9)XN， 129 (,)XXX是 X 的样本，则（）. （A） 1 (0, 1) 1 X N；（B） 1 (0, 1) 3 X N； （C ） 1 (0, 1) 9 X N；（D） 1 (0, 1) 3 X N 2、设 n XXX,., 21 为取自总体),( 2 NX的样本，X为样本均值， 2 1 2 )( 1 XX n S i n i n ， 则服从自由度为1n的t分布
2、的统计量为（） 。 （A） ）Xn( （B） n S Xn)(1 （C） ）Xn(1 （D） n S Xn)( 3、若总体 X ),( 2 N，其中 2 已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度 1减 小，则的置信区间（）. （A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D ）前述都有可能 . 4、在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容 量n一定时，下列说法中正确的是（）. （A）减小时也减小；（B）增大时也增大； （C ）,其中一个减小，另一个会增大；（D） （A）和（ B）同时成立 . 5、在多元线性回归分析中，设 ? 是的最小二乘估计， ? ?YX是残差
3、向量，则 （）. （A） ? n 0；（B） 1 ?XX 2 n Cov( ) =()IX X； （C ） ? 1np 是 2 的无偏估计；（D） （A） 、 （B） 、 （C）都对 . 二、填空题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10分） 题 号一二三四五总分 得 分 得分 得分 优秀资料欢迎下载！ 6、 设总体 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 2 (0, 3 )N， 而 129 (,)X XX和 129 (,)Y YY 是分别来自 X 和Y 的样本，则 19 22 19 XX U YY 服从的分布是 _ . 7、设 1 ?与 2 ? 都是总体未知参数的估计，且 1 ? 比 2
4、? 有效，则 1 ?与 2 ? 的期望与方差满足 _ _. 8、设总体),( 2 NX， 2 已知，n为样本容量，总体均值的置信水平为 1的置 信区间为),(XX，则的值为 _. 9、设 n XXX,., 21 为取自总体),( 2 NX的一个样本，对于给定的显著性水平，已 知关于 2 检验的拒绝域为 2 )1( 2 1 n，则相应的备择假设 1 H为_； 10、多元线性回归模型YX中，的最小二乘估计是 ? =_ _. 三、计算题（本大题共5 小题，每小题 10 分，共 50 分） 11、 已 知 总 体X的 概 率 密 度 函 数 为 1 ,0 ( ), 0, x ex f x 其它 其 中
5、 未 知 参 数0, 12 (,) n XXX为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计 量 12、设 n XXX, 21 是来自总体 X )(P的样本，0未知，求的最大似然估计量 . 得分 优秀资料欢迎下载！ 13、已知两个总体X 与 Y 独立， 2 11 (,)X， 2 22 (,)Y， 22 1212 ,未知， 1 12 (,) n XXX和 2 12 (,) n Y YY分别是来自 X 和 Y 的样本，求 2 1 2 2 的置信度为1的置信 区间. 14、合格苹果的重量标准差应小于0.005 公斤在一批苹果中随机取9 个苹果称重 , 得 其样本修正标准差为007. 0
6、S公斤, 试问： （1）在显著性水平05. 0下, 可否认为该批 苹果重量标准差达到要求 ? （2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？ (023.19)9( 2 025.0, 919.16)9( 2 05.0, 535.17)8( 2 025.0, 507.15)8( 2 05. 0) 15、设总体 X )1 ,(aN，a为未知参数，Ra， n XXX, 21 为来自于 X 的简单随机 样本，现考虑假设： 00 :aaH， 01 :aaH( 0 a为已知数） 取05. 0，试用广义似然比检验法检验此假设（写出拒绝域即可）. （96.1 025.0 u， 65.1 05. 0 u，024
7、.5)1 ( 2 025.0 ，841.3)1( 2 05.0 ） 四、证明题（本大题共2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 16、设总体 X 服从(1,)Bp分布， 12 (,) n X XX为总体的样本，证明X 是参数 p 的一个 UMVUE 得 分 优秀资料欢迎下载！ 17、设 1, , n XX是来自两参数指数分布 ()/ 1 ( ;,),0 x p xex 的样本，证明 (1) (,)X X是(, )充分统计量 . 五、综合分析题（本大题共10分） 18、现收集了 16 组合金钢中的碳含量X 及强度 Y 的数据，求得 16 2 1 1616 2 11 0.125,45.788,
8、()0.3024, ()()25.5218,()2432.4566. i i iii ii xyxx xxyyyy (1) 建立 Y 关于 X 的一元线性回归方程xy 10 ? ?; (2) 对Y 与 X 的线性关系做显著性检验（05.0,60.4)14, 1( 05.0 F, 1448.2)14( 025.0 t, 7613.1)14( 05.0 t）. 得 分 优秀资料欢迎下载！ 安徽大学 20112012 学年第一学期 数理统计 （B 卷）考试试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题2 分，共 10 分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、B 二、填空题（每小题2 分，共 10 分）
9、 6、)9( t7、 1212 ? ()(), ()()EEDD8、 2/ n 9、 2 0 2 10、 1 ? 2 Cov()=()X X 三、计算题（本大题共5 小题，每小题 10 分，共 50 分） 11、解： （1） 1 0 1 ( ) x vE Xxf x dxxedx，用1 1 1 n i i vXX n 代替，所以 n i i XX n 1 1 ? 5 分 （2） 1 1 ? ( )()()() n i i EE XE XE X n ， 所以该估计量是无偏估计 10 分 12、解: 总体 X 的分布律为( ,),1,2, ! x p xP Xxex x 设 12 (,) n x
10、xx为样本 12 (,) n XXX的一个观察值，似然函数 111 ( )(), ! ii xxnnn n i iiiii LP Xxee xx 4 分 对数似然函数 1 ln( )lnln(!) n ii i Lnxx， 11 11 ? (ln( )0,0, nn ii ii d Lnxx dn 2 22 1? 1 (ln( )0 n i i x dn Lx dx ， 所 以 ? x是的 最 大 似 然 估 计 值 ，的 最 大 似 然 估 计 量 为 ? X . 10 分 13、解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体YXSS 2 2 2 1, 优秀资料欢迎下载！ /2121/21
11、2 (1,1)(1,1)1P FnnFFnn， 则 22222 12112 2 1/2122/ 212 / 1 (1,1)(1,1) SSSS P FnnFnn ， 所求 2 2 2 1 的置信度为1的置信区间为 2222 1212 1/ 212/212 / , (1,1)(1,1) SSSS FnnFnn 10 分 14、解： （1） 2 222 0 2 1 :0.005,8 nS H，则应有： 222 0.050.05 80.005,(8)15.507P， 具体计算得： 2 2 2 80.007 15.6815.507, 0.005 所以拒绝假设 0 H，即认为苹果重量标准差 指标未达到要
12、 求 5 分 （2）新设 2 0: 0.005,H由 2 22 0.0252 8 0.007 17.535,15.6817.535, 0.005 则接受 假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要 求 10 分 15、解：似然函数为 n i i aX n n eaxxL 1 2 )( 2 1 2/ 1 )2( 1 );,(， 从而 n i i aX n n eaxxL 1 2 0) ( 2 1 2/ 01 )2( 1 );,( 又参数a的极大似然估计为X ，于是 n i i XX n n Ra eaxxL 1 2 )( 2 1 2/ 1 )2( 1 );,(sup 得似然比函数为 )( 2 ex
13、p );,( );,(sup ),( 2 0 01 1 1 aX n axxL axxL xx n n Ra n ， 5 分 给定05. 0，得 )ln2)()|),(05.0 0 2 00001 aXnPaaxxP n ， 因为当 0 H成立时， 2 0) (aXn)1( 2 ，此即 0 2 05. 0 ln284.3) 1(， 从而上述问题的拒绝域是 84.3)( 2 00 aXnW. 10 分 四、证明题（本大题共2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 16、证明：X 的分布律为 1 ( ;)(1),0,1 xx f x pppx 容易验证( ;)fx p满足正则条件，于是 优秀资料
14、欢迎下载！ 2 1 ( )ln( ;) (1) I pEf x p ppp 5 分 另一方面 1(1)1 Var()Var() () pp XX nnnIp ， 即 X 得方差达到 C-R下界的无偏估计量，故 X 是 p 的一个 UMVUE 10 分 17、证明 样本的联合密度函数为 1 (1)(1) () 1 11 (,; ,)()(). n i i x nxn nn nxx P xxeIeI 5 分 取 (1) (1)1 1 ( ,),( ; )(), (,)1, 2 nxn n xn tx xg teIh xx 故由因子分解定理， (1) (,)X X是(,)充分统计 量. 10 分 五
15、、综合分析题（本大题共10分） 18、解: (1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为 16 1 116 2 1 01 ()() 25.5218 84.3975, 0.3024 () 45.78884.39750.12535.2389. ii i i i xxyy xx yx 故Y对X的回归方程为 ?35.238984.3975 .yx. 5 分 (2) 该问题即需要检验假设 0: 10 H 由于 4805.278 ? 1 xyyy llQ ， 从而9761.2153QlU yy 于是2863.108 )2/(nQ U F， 又60.4)14, 1 ( 05.0 F， 可见)14,1 ( 05. 0 FF， 因此拒绝原假设，即回归效果显 著。 10 分