椭圆的简单几何性质典型例题.pdf

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1、学习资料欢迎下载 课前思考： 我们是如何定义圆的？又是如何推导出圆的标准方程的？ 1.椭圆的第一定义 平面内与两个定点 1 F 、 2 F 的距离的和等于常数（大于 21 |F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有 21 | 2MFMFa 。 问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d2c 呢？ （1）当 d=2c 时，轨迹是什么？（2）当 d|F1F2|时，是椭圆； （2） 、当 d=|F1F2|时，是线段； （3） 、当 d|F1F2|轨迹不存在 . 3.椭圆的标准方程 步骤 : (1) 建系设点(2) 写出点

2、的集合 (3) 写出代数方程(4) 化简方程 （四）方程推导,学会建系 取过焦点 21,F F 的直线为 x轴，线段21F F 的垂直平分线为 y 轴 设 ),(yxP 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是 c2 （ 0c ）. 则 )0 ,(),0 ,( 21 cFcF ，又设 M 与 21,F F 距离之和等于 a2 ( ca22 )（常数） aPFPFPP2 21 22 1 )(ycxPF又 ， aycxycx2)()( 2222 ， 化简，得 )()( 22222222 caayaxca ， 由定义 ca22 , 0 22 ca 令 222 bca 代入，得 222222 bayaxb ，

3、 两边同除 22b a 得 1 2 2 2 2 b y a x 此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在 x轴上，焦点是 )0 ,()0 ,( 21 cFcF ，中心在 P F2F1 x O y 学习资料欢迎下载 坐标原点的椭圆方程 其中 222 bca 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在 y 轴上（选取方式不同，调换 yx, 轴）焦点则变成 ), 0(),0( 21 cFcF , 只要将方程 1 2 2 2 2 b y a x 中的 yx, 调换，即可得 1 2 2 2 2 b x a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上

4、，且两焦点 的中点为坐标原点；在 1 2 2 2 2 b y a x 与 1 2 2 2 2 b x a y 这两个标准方程中， 都有 0ba 的要求，如方程 ),0,0( 1 22 nmnm n y m x 就不能肯定焦点在哪个轴 上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式 1 b y a x 类比，如 1 2 2 2 2 b y a x 中，由于 ba ，所以在 x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上 (即看 22 , yx 分母的大小 ) 椭圆的标准方程为： 22 22 1 xy ab （ 0ab ） （焦点在 x 轴上）或 1 2 2 2 2 b x a y （ 0ab ） （焦点在y

5、 轴上）。 注：以上方程中 ,a b 的大小 0ab ，其中 222 cab ； 总结 在 22 22 1 xy ab 和 22 22 1 yx ab 两个方程中都有 0ab 的条件， 要分清焦点的位置， 只要看 2 x 和 2 y 的分母的大小。例如椭圆 22 1 xy mn （ 0m ， 0n ， mn）当mn 时表示焦点在 x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在 y 轴上的椭圆。 典型例题一 P F2 F1 x O y 学习资料欢迎下载 例 1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程 分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解： （1）当02，A为长轴端点时

6、，2a，1b， 椭圆的标准方程为：1 14 22 yx ； （2）当02，A为短轴端点时，2b，4a， 椭圆的标准方程为：1 164 22 yx ； 说明： 椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆 的横竖的，因而要考虑两种情况 典型例题二 例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率 解： 3 1 22 2 c a c 22 3ac， 3 3 3 1 e 说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比二是列 含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可 典型例题三 例 3 已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆与直线01y

7、x交于A、B两点，M 为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程 解： 由题意，设椭圆方程为1 2 2 2 y a x ， 由 1 01 2 2 2 y a x yx ，得021 22 2 xaxa， 学习资料欢迎下载 2 2 21 1 2a axx xM， 2 1 1 1 a xy MM ， 4 11 2 ax y k M M OM ，4 2 a， 1 4 2 2 y x 为所求 说明： （ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题 典型例题四 例 4 椭圆1 925 22 yx 上不同

8、三点 11 yxA， 5 9 4，B， 22 yxC，与焦点04，F的 距离成等差数列 （1）求证8 21 xx； （2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k 证明： （1）由椭圆方程知5a，3b，4c 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF 1 2 ， 11 5 4 5xexaAF 同理 2 5 4 5xCF BFCFAF2，且 5 9 BF， 5 18 5 4 5 5 4 5 21 xx， 即8 21 xx （2）因为线段AC的中点为 2 4 21 yy ，所以它的垂直平分线方程为 4 2 21 2121 x yy xxyy y 又点T在x轴上，设其坐标为

9、0 0， x，代入上式，得 学习资料欢迎下载 21 2 2 2 1 0 2 4 xx yy x 又点 11 yxA， 22 yxB，都在椭圆上， 2 1 2 1 25 25 9 xy 2 2 2 2 25 25 9 xy 2121 2 2 2 1 25 9 xxxxyy 将此式代入，并利用8 21 xx的结论得 25 36 4 0 x 4 5 4 0 5 9 0 x kBT 典型例题五 例 5 已知椭圆1 34 22 yx ， 1 F、 2 F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到 左准线l的距离MN是 1 MF与 2 MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由 解：假

10、设M存在，设 11 yxM，由已知条件得 2a，3b，1c， 2 1 e 左准线l的方程是4x， 1 4xMN 又由焦半径公式知： 111 2 1 2xexaMF， 112 2 1 2xexaMF 21 2 MFMFMN， 学习资料欢迎下载 11 2 1 2 1 2 2 1 24xxx 整理得048325 1 2 1 xx 解之得4 1 x或 5 12 1 x 另一方面 22 1 x 则与矛盾，所以满足条件的点M不存在 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程 （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断

11、（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成） 典型例题六 例 6 已知椭圆1 2 2 2 y x ，求过点 2 1 2 1 ，P且被P平分的弦所在的直线方程 分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k 解法一： 设所求直线的斜率为k，则直线方程为 2 1 2 1 xky代入椭圆方程，并 整理得 0 2 3 2 1 2221 2222 kkxkkxk 由韦达定理得 2 2 21 21 22 k kk xx P是弦中点，1 21 xx故得 2 1 k 所以所求直线方程为0342yx 分析二： 设弦两端坐标为 11 yx，、 22 yx ，列关于 1

12、 x、 2 x、 1 y、 2 y的方程组，从 而求斜率： 21 21 xx yy 学习资料欢迎下载 解法二： 设过 2 1 2 1 ，P的直线与椭圆交于 11 yxA，、 22 yxB，则由题意得 1. 1 1 2 1 2 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yy xx y x y x ， ， ， 得0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 将、代入得 2 1 21 21 xx yy ，即直线的斜率为 2 1 所求直线方程为0342yx 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹；过定点的弦中点轨迹 （2）解法二是“点差法”

13、，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率 （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲 线问题也适用 典型例题七 例 7 求适合条件的椭圆的标准方程 （1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点62，； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6 分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由1 2 2 2 2 b y a x 求出148 2 a， 37 2 b，在得方程1 37148 22 yx 后，不能依此写出另一方程1 37148 22 xy 解： （1）设椭圆的标准方程为1 2 2 2 2 b y a x 或1 2 2 2 2

14、b x a y 由已知ba2 又过点62，因此有 学习资料欢迎下载 1 62 2 2 2 2 ba 或 1 26 2 2 2 2 ba 由、，得148 2 a，37 2 b或52 2 a，13 2 b故所求的方程为 1 37148 22 yx 或1 1352 22 xy （2）设方程为1 2 2 2 2 b y a x 由已知，3c，3cb，所以18 2 a故所求方程 为1 918 22 yx 说明： 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置 是否确定，若不能确定，应设方程1 2 2 2 2 b y a x 或1 2 2 2 2 b x a y 典型例题八 例 8

15、椭圆1 1216 22 yx 的右焦点为F， 过点31，A， 点M在椭圆上， 当MFAM2 为最小值时，求点M的坐标 分析： 本题的关键是求出离心率 2 1 e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得 最小值一般地，求MF e AM 1 均可用此法 解： 由已知：4a，2c所以 2 1 e，右准线 8xl： 过A作lAQ， 垂 足 为Q， 交 椭 圆 于M， 故 MFMQ2 显然MFAM2的最小值为AQ， 即M 为所求点，因此 3 M y， 且M在椭圆上故32 M x 所 以332，M 说明： 本题关键在于未知式 MFAM2 中的“ 2”的处理事实上，如图， 2 1 e， 学习资料欢迎下载 即

16、MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M 到A的距离与到右准线距离之和取最小值 典型例题九 例 9 求椭圆1 3 2 2 y x 上的点到直线06yx的距离的最小值 分析： 先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最 小值 解：椭圆的参数方程为 .sin cos3 y x， 设椭圆上的点的坐标为sincos3，则点到 直线的距离为 2 6 3 sin2 2 6sincos3 d 当1 3 sin 时，22 最小值 d 说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程 典型例题十 例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x

17、轴上，离心率 2 3 e，已知点 2 3 0，P到 这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7 的点的坐标 分析： 本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大 值时，要注意讨论b的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要 善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结 合的思想，提高逻辑推理能力 解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是1 2 2 2 2 b y a x ，其中0ba待定 学习资料欢迎下载 由 2 2 2 22 2 2 2 1 a b a ba a c e可得 2 1 4

18、 3 11 2 e a b ，即ba2 设椭圆上的点yx，到点P的距离是d，则 4 9 31 2 3 2 2 2 2 2 22 yy b y ayxd 34 2 1 3 4 9 334 2 2 22 byyyb 其中byb 如果 2 1 b，则当by时， 2 d（从而d）有最大值 由题设得 2 2 2 3 7b，由此得 2 1 2 3 7b，与 2 1 b矛盾 因此必有 2 1 b成立，于是当 2 1 y时， 2 d（从而d）有最大值 由题设得347 2 2 b，可得1b，2a 所求椭圆方程是1 14 22 yx 由 2 1 y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 2 1 3，点 2 1 3，到点

19、 2 3 0，P的距离是7 解法二： 根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 sin cos by ax ，其中0ba，待定， 20，为参数 由 2 2 22 2 2 2 1 a b a ba a c e可得 2 1 4 3 11 2 e a b ，即ba2 学习资料欢迎下载 设椭圆上的点 yx， 到点 2 3 0，P的距离为d，则 2 22 2 22 2 3 sincos 2 3 bayxd 4 9 s i n3si n34 222 bbb 34 2 1 si n3 2 2 2 b b b 如果1 2 1 b ，即 2 1 b，则当1sin时， 2 d（从而d）有最大值 由题设得 2 2 2 3

20、 7b，由此得 2 1 2 3 7b，与 2 1 b矛盾，因此必有1 2 1 b 成立 于是当 b2 1 sin时 2 d（从而d）有最大值 由题设知347 2 2 b，1b，2a 所求椭圆的参数方程是 sin cos2 y x 由 2 1 sin， 2 3 cos，可得椭圆上的是 2 1 3， 2 1 3， 典型例题十一 例 11 设x，Ry，xyx632 22 ，求xyx2 22 的最大值和最小值 分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程xyx632 22 与椭圆方程的结构一 致设 mxyx2 22 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关 系求得最值 解： 由xyx6

21、32 22 ，得 1 2 3 4 9 2 3 2 2 y x 学习资料欢迎下载 可见它表示一个椭圆，其中心在 0 2 3 ，点，焦点在x轴上，且过（ 0，0）点和（ 3， 0） 点 设mxyx2 22 ，则 11 2 2 myx 它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为 11 mm 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径 最小，即11m， 此时0m； 当圆过（3， 0） 点时，半径最大， 即41m， 15m xyx2 22 的最小值为0，最大值为15 典型例题十二 例 12 已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x C：，A、B是其长轴的两个端点

22、（1） 过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP， 求证：不论a、b如何变化， 120APB （2）如果椭圆上存在一个点Q，使 120AQB，求C的离心率e的取值范围 分析： 本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因 此要从点的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足 的 不 等 式 ， 只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质 ：ax，by， 根 据1 2 0A Q B 得 到 3 2 222 ayx ay ， 将 2 2 2 22 y b a ax代入，消去x， 用a、b、c表示y， 以便利用by 学习资料欢迎下载 列出不等式这里要求思路清楚，

23、计算准确，一气呵成 解： （1）设0，cF，0，aA，0，aB a b cP bayaxb cx 2 222222 ， 于是 aca b kAP 2 ， aca b kBP 2 APB是AP到BP的角 2 2 222 4 22 2 1 tan c a aca b aca b aca b APB 22 ca 2tanAPB 故3tanAPB 120APB （2）设yxQ，则 ax y kQA， ax y kQB 由于对称性，不妨设0y，于是AQB是QA到QB的角 222 22 2 2 1 tan ayx ay ax y ax y ax y AQB 120AQB，3 2 222 ayx ay 整理

24、得 023 222 ayayx 2 2 2 22 y b a ax 0213 2 2 2 ayy b a 0y， 2 2 3 2 c ab y by，b c ab 2 2 3 2 学习资料欢迎下载 2 32cab， 2222 34ccaa 0444 4224 acac，0443 24 ee 2 32 e或2 2 e（舍） ，1 3 6 e 典型例题十三 例 13 已知椭圆1 98 22 y k x 的离心率 2 1 e，求k的值 分析： 分两种情况进行讨论 解：当椭圆的焦点在x轴上时，8 2 ka，9 2 b， 得1 2 kc 由 2 1 e， 得4k 当椭圆的焦点在y轴上时，9 2 a，8

25、2 kb，得kc1 2 由 2 1 e，得 4 1 9 1k ，即 4 5 k 满足条件的4k或 4 5 k 说明： 本题易出现漏解排除错误的办法是：因为8k与 9 的大小关系不定，所以椭 圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上故必须进行讨论 典型例题十四 例 14 已知椭圆1 4 2 2 2 2 b y b x 上一点P到右焦点 2 F的距离为b) 1(b， 求P到左准线 的距离 分析： 利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解 解法一： 由1 4 2 2 2 2 b y b x ，得ba2，bc3， 2 3 e 由椭圆定义，baPFPF42 21 ，得 bbbPFbPF344

26、 21 由椭圆第二定义，e d PF 1 1 ， 1 d为P到左准线的距离， 学习资料欢迎下载 b e PF d32 1 1 ， 即P到左准线的距离为b32 解法二： e d PF 2 2 ， 2 d为P到右准线的距离， 2 3 a c e， b e PF d 3 32 2 2 又椭圆两准线的距离为b c a 3 38 2 2 P到左准线的距离为bbb32 3 32 3 38 说明： 运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解 椭圆有两个定义， 是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如 一般地， 如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直

27、线的距离问题，则用 椭圆的第二定义 典型例题十五 例 15 设椭圆 .sin32 ,cos4 y x (为参数 )上一点P与x轴正向所成角 3 POx，求 P点坐标 分析： 利用参数与POx之间的关系求解 解： 设 )sin32,cos4(P ，由P与x轴正向所成角为 3 ， cos4 sin32 3 tan，即2tan 而0sin，0cos，由此得到 5 5 cos， 5 52 sin， P点坐标为) 5 154 , 5 54 ( 典型例题十六 学习资料欢迎下载 例 16 设),( 00 yxP是离心率为e的椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0(ba上的一点，P到左焦 点 1 F和右

28、焦点 2 F的距离分别为 1 r和 2 r，求证： 01 exar， 02 exar 分析： 本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离 解：P点到椭圆的左准线 c a xl 2 ：的距离， c a xPQ 2 0 ， 由椭圆第二定义，e PQ PF1 ， 01 exaPQer，由椭圆第一定义， 012 2exarar 说明： 本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问 题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式 典型例题十七 例 17已知椭圆1 59 22 yx 内有一点)1,1(A， 1 F、 2 F分

29、别是椭圆的左、右焦点，点 P是椭圆上一点 (1)求 1 PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标； (2)求 2 2 3 PFPA的最小值及对应的点P的坐标 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当， 即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解 学习资料欢迎下载 解： (1) 如 上 图 ，62a，)0,2( 2 F，2 2 AF， 设P是 椭 圆 上 任 一 点 ， 由 62 21 aPFPF， 22 AFPFPA， 262 22211 AFaAFPFPFPFPA

30、， 等号仅当 22 AFPFPA时成 立，此时P、A、 2 F共线 由 22 AFPFPA，262 22211 AFaAFPFPFPFPA，等 号仅当 22 AFPFPA时成立，此时P、A、 2 F共线 建立A、 2 F的直线方程02yx，解方程组 4595 , 02 22 yx yx 得两交点 )2 14 15 7 5 ,2 14 15 7 9 ( 1 P、)2 14 15 7 5 ,2 14 15 7 9 ( 2 P 综上所述，P点与 1 P重合时， 1 PFPA取最小值26，P点与 2 P重合时， 2 PFPA取最大值26 (2)如下图， 设P是椭圆上任一点， 作PQ垂直椭圆右准线，Q为

31、垂足， 由3a，2c， 3 2 e由椭圆第 二定义知 3 22 e PQ PF ， 2 2 3 PFPQ， PQPAPFPA 2 2 3 ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离 右 准线方程为 2 9 x 学习资料欢迎下载 A到右准线距离为 2 7 此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条 件的点P坐标)1, 5 56 ( 说明：求 2 1 PF e PA的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段巧 用焦点半径 2 PF与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段 典型例题十八 例 18(1)写出椭圆1 49 22 yx 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最

32、大面积 分析： 本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆 的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题 解： (1) sin2 cos3 y x )(R (2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设 )sin2,cos3(为矩形在第一象限的顶点，) 2 0(， 则122sin12sin2cos34S 故椭圆内接矩形的最大面积为12 说明： 通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地， 与圆锥曲线有关的最 值问题，用参数方程形式较简便 典型例题十九 例 19 已知 1 F， 2 F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6

33、0 21PF F (1)求椭圆离心率的取值范围； 学习资料欢迎下载 (2)求证 21F PF的面积与椭圆短轴长有关 分析： 不失一般性，可以设椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x （0ba） ，),( 11 yxP（0 1 y） 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即 3 1 60tan 12 12 PFPF PFPF KK KK ，设 ),( 11 yxP，)0,( 1 cF，)0,( 2 cF， 化 简 可 得03233 2 1 2 1 2 1 ccyyx 又 1 2 2 1 2 2 1 b y a x ，两方程联立消去 2 1 x得0323 4 1 2 2 1 2 bc

34、ybyc，由,0( 1 by，可以 确定离心率的取值范围；解出 1 y可以求出 21F PF的面积，但这一过程很繁 思路二： 利用焦半径公式 11 exaPF， 12 exaPF，在 21F PF中运用余弦定理， 求 1 x，再利用, 1 aax，可以确定离心率e的取值范围，将 1 x代入椭圆方程中求 1 y，便 可求出 21F PF的面积 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合aPFPF2 21 求解 解：(法 1)设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x （0ba） ， ),( 11 yxP，)0,( 1 cF，)0,( 2 cF， 0c， 则 11 exaPF， 12 exaPF 在

35、 21F PF中，由余弦定理得 )(2 4)()( 2 1 60cos 11 22 1 2 1 exaexa cexaexa ， 解得 2 22 2 1 3 4 e ac x (1),0( 22 1 ax， 2 2 22 3 4 0a e ac ，即04 22 ac 学习资料欢迎下载 2 1 a c e 故椭圆离心率的取范围是)1, 2 1 e (2)将 2 22 2 1 3 4 e ac x代入1 2 2 2 2 b y a x 得 2 4 2 1 3c b y，即 c b y 3 2 1 2 2 21 3 3 3 2 2 1 2 1 21 b c b cyFFS FPF 即 21F PF的

36、面积只与椭圆的短轴长有关 (法 2)设mPF1 ，nPF2， 12F PF， 21F PF， 则120 (1)在 21F PF中，由正弦定理得 60sin 2 sinsin cnm 60sin 2 sinsin cnm anm2， 60sin 2 sinsin 2ca ， 2 cos 2 sin2 60sin sinsin 60sin a c e 2 1 2 cos2 1 当且仅当时等号成立 故椭圆离心率的取值范围是)1, 2 1 e (2)在 21F PF中，由余弦定理得： 60cos2)2( 222 mnnmc 学习资料欢迎下载 mnnm 22 mnnm3)( 2 anm2， mnac34

37、4 22 ，即 222 3 4 )( 3 4 bcamn 2 3 3 60sin 2 1 21 bmnS FPF 即 21F PF的面积与椭圆短轴长有关 说明： 椭圆上的一点P与两个焦点 1 F， 2 F构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有 关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形，使之出现 21 PFPF的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问 题找到解决思路 典型例题二十 例 20椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P， 使APOP(O为坐标原点 )，求其离心率e的取值范围 分析： O、

38、A为定点，P为动点， 可以P点坐标作为参数，把APOP，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于 e的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程 解： 设椭圆的参数方程是 sin cos by ax )0(ba， 则椭圆上的点)sin,cos(baP，)0,(aA， APOP，1 cos sin cos sin aa b a b ， 即0coscos)( 22222 baba，解得1cos或 22 2 cos ba b ， 1cos11cos（舍去），11 22 2 ba b ，又 222 cab 20 2 2 c a ， 学习资料欢迎下载 2 2 e，又10e，1 2 2 e 说明： 若已知椭圆离心率范围) 1, 2 2 (，求证在椭圆上总存在点P使APOP如何 证明？