《【优质文档】高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案详解.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、指数函数、对数函数、幂函数专题 1 （2007 北京文、理，5 分）函数( )3 (02) x f xx的反函数的定义域为（） A(0)，B(19，C(01)，D9)， B；解析 函数( )3 (02) x f xx 的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19，。 考点透析 根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数 的定义域问题。 2 （ 2007山 东 文 、 理 ， 5 分 ） 给 出 下 列 三 个 等 式 ：()( )( )()( )( )fxyf xf yf xyf x fy， ( )( ) () 1( )( ) f xf
2、y f xy f x fy 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（） A( )3 x f xB( )sinfxxC 2 ( )logf xxD( )tanf xx B；解析 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()( )( )f xyf x f y，C 满足()( )( )f xyf xfy，而 D 满足 ( )( ) () 1( )( ) f xf y f xy f x f y ，B 不满足其中任何一个等式。 考点透析 根据指数函数、 对数函数， 结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题 之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 3 （2007 全国 2 理，
3、 5 分）以下四个数中的最大者是（） A （ln2） 2 Bln（ln2）C ln2Dln2 D；解析 0ln 21， ln（ ln2）0 恒成立，当 k=0 时， 30 恒成立；当 01216 0 2 kk k 时，即 4 3 0k时也符合题意。 考点透析 把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题，再结合参数的取值情况加以分类解析。 27 （2008 江苏无锡模拟，5 分）给出下列四个命题： 函数 x ay（0a且1a）与函数 x a aylog （0a且1a）的定义域相同； 函数 3 xy和 x y3的值域相同； 函数 12 1 2 1 x y与 x x x y 2 )21( 2 都
4、是奇函数； 函数 2 )1(xy与 1 2 x y在区间),0上都是增函数。 其中正确命题的序号是：_。 （把你认为正确的命题序号都填上） 、； 解析 在中，函数 x ay（0a且1a）与函数 x a aylog （0a且1a）的定义域都是R， 则结论正确；在中，函数 3 xy的值域为R， x y3的值域为R，则结论错误；在中，函数 12 1 2 1 x y与 x x x y 2 )21 ( 2 都是奇函数，则结论正确；在中，函数 2 ) 1(xy在),1 上是增函数， 1 2 x y在 R 上是增函数， 则结论错误。 考点透析 综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质
5、等相关内容。 28 （2008 江苏连云港模拟，5 分）直线ax（0a）与函数 x y 3 1 、 x y 2 1 、 x y2、 x y10的图 像依次交于A、 B、C、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是_。 D、C、B、 A；解析 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A。 考点透析 结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交 点的上下顺序问题。 29（2008 宁夏银行模拟理， 5 分） 若关于x的方程m xx|1| 1| 5425有实根，则实数m的取值范围是 _。 m|4m；解析 令 | 1| 5 x
6、 y，则有10y，则可转化m xx| 1|1| 5425得04 2 myy，根据 题意，由于04 2 myy有实根，则0)(4)4( 2 m，解得4m。 考点透析 通过换元，把指数方程转化为一元二次方程来分析求解，关键要注意换元中对应的参数y 的取值范围， 为求解其他参数问题作好铺垫。 30 （2008 海南大联考模拟文、理）已知lgx+lgy=2lg （x2y） ，求 y x 2 log的值。 分析 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证 x0， y0， x 2y0 这些条件成立。 假如 x=y ， 则有 x 2y=x0， 这与对数的定义不符，从而导致多解。 解析 因为 lgx+lgy=2lg
7、（x2y） ，所以 xy= （x2y） 2， 即 x 25xy+4y2=0，所以（ xy） （x4y）=0，解得 x=y 或 x=4y， 又因为 x0，y0，x2y0，所以 x=y 不符合条件，应舍去， 所以 y x =4，即 y x 2 log=4log 2 =4。 考点透析 在对数式logaN 中，必须满足a0，a1 且 N0 这几个条件。在解决对数问题时，要重视这几个隐 含条件，以免造成遗漏或多解。 31 （ 2008 宁夏大联考模拟理）根据函数|12| x y的图象判断：当实数m为何值时，方程m x |12|无解？有 一解？有两解？ 分析 可以充分结合指数函数的图象加以判断可以把这个问
8、题加以转换，将求方程m x |12|的解的个数转化 为两个函数|12| x y与my的图象交点个数去理解。 解析 函数|12| x y的图象可由指数函数 x y2的图象先向下平移一个单位，然后再作x轴下方的部分关于x 轴对称图形，如下图所示， x y2 |12| x y -1 1O x y 1 函数my的图象是与x轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当0m时，两函数图象没有公共点，所以方程m x |12|无解； 当 0m 或 1m 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程m x |12|有一解； 当10m时，两函数图象有两个公共点，所以方程m x |12|有两解 考点透析 由于方程解的个数与
9、它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往 用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键 32 （2008 山东淄博模拟理）已知 1 x是方程 xlgx=2008 的根， 2 x是方程 x10 x=2008 的根，求 12 x x的值 分析 观察此题，易看到题中存在lg x和10 x ，从而联想到函数1ygx与10x y而 1 x可以看成1ygx和 x y 2008 交点的横坐标， 同样 2 x可看成10 x y和 x y 2008 交点的横坐标， 若利用函数1ygx与10 x y的对称性， 此题便迎刃而解了 解析 令1 a ygx， x
10、yb 2008 ，设其交点坐标为 11 (,)xy， 同样令10 x c y，它与 x yb 2008 的交点的横坐标为 22 (,)xy， 由于反比例函数关于直线yx对称，则有 11 (,)xy和 22 (,)xy关于直线yx对称， 点 11 (,)xy即点 12 (,)x x应该在函数 x yb 2008 上，所以有 12 x x=2008 考点透析 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的而有效的利用指数函数和对数函数 的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题以上求解过程不能算此题超纲 33 （2008 山东泰安模拟文、理）已知实数a、b、c 满足 2b=a+
11、c，且满足2lg（ b1）=lg（a+1）+lg（c1） ，同 时 a+b+c=15，求实数a、b、c 的值。 分析 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取 算术平方根，那么往往会出现漏解。 解析 因为 2b=a+c， a+b+c=15，所以 3b=15，即 b=5， 由于 2b=a+c=10，则可设a=5d，c=5+d， 因为 2lg（b1）=lg（a+1）+lg（c1） ， 所以 2lg4=lg （6d） +lg（4+d） ，即 16=25（ d1） 2，则有（ d 1）2=9， 所以 d1=3，则 d=4 或 d= 2， 所以实数a、
12、b、c 的值分别为1， 5，9 或 7，5，3。 考点透析 在一些实际运算中，要注意运算时所满足的条件，利用正确的公式加以变形求解。特别对于对数运算、 无理式的运算等，最终结果要进行必要的验证，否则容易出现增、减根。还要注意对数的运算法则等相关知识，否则 容易导致出错。 34 （2008 江苏苏州模拟）已知 x x xf a 1 1 log)() 1,0(aa。 （1）求)(xf的定义域；（2）判断)(xf的奇偶性；（3）求使0)(xf的x的取值范围。 分析 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题， 综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不
13、等式问题。 解析 （1）0 1 1 x x ，即0 1 1 x x ，等价于0)1)(1(xx，得11x， 所以)(xf的定义域是)1 ,1(； （2） x x x x xfxf aa 1 1 log 1 1 log)()(=1loga=0， 所以)()(xfxf，即)(xf为奇函数； （3）由0)(xf，得0 1 1 log x x a ， 当1a时，有1 1 1 x x ，解得10x； 当10a时，有1 1 1 0 x x ，解得01x； 故当1a时，)1 ,0(x；当10a时，)0, 1(x。 考点透析 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、 图象以及主要性质，应用指数函数与对数
14、函数的性 质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。 35 （2008 江苏盐城模拟，12 分）已知函数x x fxf 2 log) 1 (1)(。 （1）求函数)(xf的解析式；（2）求)2(f的值；（3）解方程)2()(fxf。 分析 通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。 解析 （1）由于x x fxf 2 log) 1 (1)(， 上式中，以 x 1 代x可得： x xf x f 1 log)(1) 1 ( 2 ，则有xxf x f 2 log)(1) 1 (， 把xxf x f 2 log)(1) 1 (代入x x fxf
15、 2 log) 1 (1)(可得： xxxfxf 22 loglog)(11)(，解得 x x xf 2 2 2 log1 log1 )(； （2）由（ 1）得 x x xf 2 2 2 log1 log1 )(，则1 2log1 2log1 )2( 2 2 2 f； （3）由（ 1）得 x x xf 2 2 2 log1 log1 )(，则（ 2）得1)2(f， 则有1)2( log1 log1 )( 2 2 2 f x x xf，即xx 2 22 log1log1， 解得0log 2x 或1log2x，所以原方程的解为：1x或2x。 考点透析 对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式，要
16、合理选取比较适合的方法加以分析处理，关键是要 结合抽象函数关系式的特征，这里用到的是以 x 1 代x的方式来达到求解函数解析式的目的。 36 （2008 广东广州模拟理，12 分）已知函数)(log)( x a aaxf（ 1a） 。 （1）求)(xf的定义域、值域； （ 2）判断)(xf的单调性； （3）解不等式)()2( 21 xfxf 。 分析 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综 合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 解析 （1）要使函数)(log)( x a aaxf（1a）有意义，则需要满足0 x aa， 即a
17、a x ，又1a，解得1x，所以所求函数)(xf的定义域为)1 ,(； 又1log)(logaaa a x a ，即1)(xf，所以所求函数)(xf的值域为)1 ,(； （2）令 x aa，由于1a，则 x aa在) 1 ,(上是减函数， 又 a ylog是增函数，所以函数)(log)( x a aaxf 在)1 ,(上是减函数； （3）设)(log x a aay，则 xy aaa，所以 yx aaa，即)(log y a aax， 所以函数)(xf的反函数为)(log)( 1x a aaxf， 由于)()2( 21 xfxf ，得 )(log)(log 2 2 x a x a aaaa ， 由于1a，则 xx aaaa 2 2 ，即 xx aa 2 2 ， 所以xx2 2 ，解得21x， 而函数)(xf的定义域为)1 ,(，故原不等式的解集为 11|xx。 考点透析 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的 性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。