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1、学习必备欢迎下载 简单的线性规划 【考纲要求】 1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 3. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组； 4. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 5. 熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点 】 考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By
2、+C=0某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边界直线） 要点诠释： 画二元一次不等式0(0)AxByC或0(0)AxByC表示的平面区域的基本步骤： 画出直线:0lAxByC（有等号画实线，无等号画虚线）； 当0C时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C时，另取一特殊点判断； 确定要画不等式所表示的平面区域。 简称： “ 直线定界，特殊点定域”方法。 考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数 Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某 一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点
3、(0,0)最简便） . 把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的 符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c0(或0(或0(或0) 表示直线的哪一侧. 考点三：线性规划的有关概念： 线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、 y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数： 关于 x、y 的一次式z=ax+by(a，b R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性 目标函数 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y ）
4、叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 要点诠释： 在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件： 一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。 一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在； 所求的目标函数是有约束（限制）条件的； 必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组） ， 并将目标函数表示成为线性函数。 考点四：解线性规划问题总体步骤： 设变量找约束条件，找目标函数 作图，找出可行域 运动变化 求出最优解 要点诠释： 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 在人力、物力、资
5、金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 【典型例题】 类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例 1画出 3x+y-30 所表示的平面区域. 【解析】 学习必备欢迎下载 举一反三： 【变式 1】下面给出四个点中，位于 10 10 xy xy ， 表示的平面区域内的点是（） (0 2)，( 2 0)，(02)，(2 0)， 【答案】 C 【变式 2】(21)(4)0xyxy表示的平面区域为（） A B C D 【答案】 B；原不等式可转化为 04 012 yx yx 或 04 012 yx yx
6、【变式 3】画出不等式240xy表示的平面区域。 【解析】先画直线240xy（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24xy得200440, 原点不在240xy表示的平面区域内， 不等式240xy表示的区域如图： 例 2画出下列不等式组表示的平面区域。 学习必备欢迎下载 （1） 3 2 326 26 x yx xy yx ； （2） 2 23 0 0 xy xy x y ；（3） 23 24 0 0 xy xy x y . 【解析】 （ 1）（2）（3） 举一反三： 【变式 1】用平面区域表示不等式(1)(40xyxy） 【解析】 【变式 2】求不等式组 3220, 440, 260 xy xy
7、xy 的整数解。 【解析】如图所示， 作直线 1:3 220lxy， 2 :440lxy， 3 : 260lxy， 在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域， 此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)， (2,0)，(1,1)，(2,1)，(3,1)即为原不等式组的整数解。 类型二：图解法解决简单的线性规划问题. 【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一 】 学习必备欢迎下载 例 3设变量, x y满足约束条件 3 1 1 xy xy y ，则目标函数42zxy的最大值为（） A12 B 10 C8 D 2 【解析】由约束条件 3 1 1 xy xy y 可知可行域如图： 平移2y
8、x知在(2,1)A处取得最大值 10z 答案： B 举一反三： 【变式 1】已知 052 04 02 yx yx yx ，求； (1) 42yxz的最大值； (2) 1 12 x y z的范围 . 【解析】作出可行域如图, 并求出顶点坐标)9,7(),1 , 3(),3, 1(CBA. 学习必备欢迎下载 (1) 将 )9,7(C 代入z得最大值 21; (2) ) 1( ) 2 1 ( 2 x y z表示可行域内一点到定点) 2 1 , 1(Q的斜率的2 倍, 因为 8 3 , 4 7 QBQA kk, z的范围是 2 7 , 4 3 . 例 4. 已知x、y满足约束条件1 1 yx xy y
9、 ，求下列各式的最大值和最小值. （1）2zxy；（2）z xy. 【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示： 求出交点(2,1)A，( 1, 1)C，(0.5,0.5)B， 作过点(0,0)的直线 0 l:20xy， 平移直线 0 l， 得到一组与 0 l平行的直线l:2zxy,zR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中， 当l经过点(2, 1)A时的直线l所对应的z最大，所以 max 2213z； 当l经过点( 1, 1)C时的直线l所对应的z最小，所以 min 2( 1)13z. （2）不等式组表示的平面区域如图所示： x y 0 x-y+2=0 x+y-4
10、=0 2x-y-5=0 A B C 学习必备欢迎下载 作过点(0,0)的直线 0 l:0xy，平移直线 0 l，得到一组与 0 l平行的直线l:zxy,zR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l的直线中， 当l经过线段AB上的所有点时的直线l所对应的z最大，所以 max 211z； 当l经过点( 1, 1)C时的直线l所对应的z最小，所以 min ( 1)12z. 举一反三： 【变式 1】求35zxy的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 5315 1 53 xy yx xy . 【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示： 从图示可知，直线35zxy在经过不等式组所表
11、示的公共区域内的点时， 以经过点( 2,1)B的直线所对应的z最小， 以经过点 3 5 (, ) 2 2 A的直线所对应的z最大 . 所以 min 3( 2)5( 1)11z， max 35 3517 22 z. 类型三：实际应用问题中的线性规划问题. 例 5. 家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子， 八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆 一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15 元 和 20 元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获
12、得最大利润? 【解析】 设制作 x 把椅子， y 张桌子约束条件： Ny,Nx 1300yx2 8000y8x4 ， 学习必备欢迎下载 目标函数： z=15x+20y. 如图：目标函数经过A点时， z 取得最大值 1300yx2 8000y8x4 900y 200x 即 A(200, 900) 当 x=200, y=900时， zmax=15200+20900=21000(元) 答：安排生产200 把椅子， 900 张桌子时，利润最大为21000 元。 举一反三： 【变式 1】某企业生产A、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表： 产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦） A
13、产品3 9 4 B 产品10 4 5 已知生产每吨A 产品的利润是7 万元，生产每吨B 产品的利润是12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳 动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电200 千瓦，试问该企业生产A、 B 两种产品各多少吨，才能 获得最大利润？ 【解析】 设生产 A、B两种产品各x、 y 吨，利润为z 万元 则 310300 94360 45200 0,0 xy xy xy xy ，目标函数712zxy 作出可行域，如图所示， 作出在一组平行直线7x+12y=t （t 为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线， 此直线经过点M（20，24） 故 z 的最优解为（ 20，24）， z 的最大值为720+1224=428（万元）。