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1、学习必备欢迎下载 抽象函数的周期与对称轴 一. 教学内容 抽象函数的周期与对称轴 二. 教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。 三. 具体内容 1. 若 )()(Txfxf 则 )(xf 的周期为T。 2. 若 )()(xbfaxf 则 )(xf 的周期为 abT 证：令axx )()(abxfxf 3. )()(bxfaxf 则 )(xf 的周期 abT2 证：令axx )()(abxfxf 令 bxx )()(xfbaxf 由得： )()(abxfbaxf )()(abxfbaxf abT2 4. 若 )()(xbfxaf 则 )(x
2、f 图象的对称轴为 2 ba x 证：要证原结论成立，只需证 ) 2 () 2 (x ba fx ba f 令 x ab x 2代入 )()(xbfxaf 则 ) 2 () 2 (x ba fx ba f 学习必备欢迎下载 5. 若 )()(xbfxaf 则 )(xf 的图象，以 )0, 2 ( ba 为对称中心。 证： 方法一：要证原结论成立只需证 ) 2 () 2 (x ba fx ba f 令 2 ab xx 代入 )()(xbfxaf 则 ) 2 () 2 (x ba fx ba f 方法二：设 )(xfy 它的图象为C CyxP),( 00 则 P 关于点 )0, 2 ( ba 的对
3、称点 ),( 00 yxbaP )()()()( 0000 xfxbbfxbafxbaf 00) (yxf 00) (yxbaf CP 【典型例题】 例 1 对于 )(xfy ，Rx有下列命题。 （1）在同一坐标系下，函数 )1(xfy 与 )1(xfy 的图象关于直线1x对称。 （2）若 )1()1(xfxf 且 )2()2(xfxf 均成立，则 )(xf 为偶函数。 （3）若 )1() 1(xfxf 恒成立，则 )(xfy 为周期函数。 （4）若 )(xf 为单调增函数，则 )( x afy （0a且1a）也为单调增函数，其中正确 的为？ 解： （2） （3） 例 2 若函数 3 )()(
4、axxf Rx有 )1 ()1(xfxf 求 )2()2(ff 。 解： 学习必备欢迎下载 Rx， )1 ()1 (xfxf 知 )(xf 的图象关于 )0,1 ( 对称 而 3 )()(axxf 的对称中心 )0,( aP 1a 3 )1()(xxf 则 26)3(1)2()2( 3 ff 例 3 设 )(xf 是定义在R 上的函数，Rx均有 0)2()(xfxf 当11x时 12)(xxf ，求当31x时， )(xf 的解析式。 解： 由Rx有 )2()(xfxf 得4T 设 3,1 (x 则 1,1()2(x )()2()42()2(xfxfxfxf 52 1)2(2)2()(xxxfx
5、f 31x时 52)(xxf 例 4 已知 )(xf 是定义在 R 上的函数且满足 1)1()(xfxf ， 当 1,0x 时有 2 )(xxf 则 （1） )(xf 是周期函数且周期为2 （2）当 2,1x 时， 2 2)(xxxf （3）4 3 )5,2004(f 其中正确的是？ 解： （1） （2） （3） 例 5 已知 )(xf 满足 )2()2(xfxf ， )4()4(xfxf ，当26x时， cbxxxf 2 )( 且 13)4(f ，若 ) 3 ( b fm ， ) 2 ( c fn ， )11(fp 求m、n、p的 大小关系？ 学习必备欢迎下载 解： 由已知得4T，对称轴4x
6、 4x也为一条对称轴 4 2 b 8b由 13)4(f 13 4 644c 3c ) 3 8 (fm ， ) 2 3 (fn ， )3()11(ffp pmn 例 6 定义在 R 上的函数 )(xf 既是偶函数又是周期函数，若 )(xf 的最小正周期是，且当 2 ,0x 时， xxfsin)( 求 ) 3 5 (f 的值。 解：2 3 3 sin) 3 () 3 () 3 2 () 3 2 () 3 5 (fffff 例 7 设 )(xfy 定义在 R 上， Rnm， 有 )()()(nfmfnmf 且当0x时， 1)(0xf （1）求证： 1)0(f 且当 0x 时， 1)(xf （2）求证
7、： )(xf 在 R 上递减。 解： （1）在 )()()(nfmfnmf 中，令1m，0n得 )0()1 ()1(fff 1)1 (0f 1)0(f 设 0x，则0x令xm，xn代入条件式 有 )()()0(xfxff 而 1)0(f 1 )( 1 )( xf xf （2）设21 xx 则 0 12 xx 1)(0 12 xxf 令 1 xm ， 2 xnm 则 12 xxn 代入条件式得 )()()( 1212 xxfxfxf 即 学习必备欢迎下载 1 )( )( 0 1 2 xf xf )()( 12 xfxf )(xf 在 R 上递减 【模拟试题】 一. 选择 1. 已知 )(xf 满
8、足 )()3(xfxf ，Rx且 )(xf 是奇函数，若 2)1(f 则 )2000(f （） A. 2 B. 2 C. 23 D. 23 2. 已知 )(xf 是定义在R 上的偶函数，且 )()4(xfxf 对任何实数均成立，当20x 时， xxf)( ，当400398x时， )(xf （） A. 400x B. 398x C. x400 D. x398 3. 若函数 )sin(3)(xxf ，Rx都有 ) 6 () 6 (xfxf 则 ) 6 (f 等于（） A. 0 B. 3 C. 3 D. 3 或 3 4. 函数 )2 2 3 cos(xy 是（） A. 周期为 2的奇函数B. 周期为
9、的偶函数 C. 周期为 的奇函数D. 周期为4的奇函数 5. )2sin(2)(xxf 的图象关于y 轴对称的充要条件是（） A. 2 2k B. k2 C. 2 k D. k 6. 如果 )()(xfxf 且 )()(xfxf 则 )(xf 可以是（） A. x2sin B. xcos C. xsin D. xsin 7. )cos(3)sin(xxy 为偶函数的充要条件是（） 学习必备欢迎下载 A. 3 2k B. 6 k C. 6 2k D. 6 k 8. 设 )(xf 是 R 上的奇函数， )()2(xfxf 当10x时， xxf)( ，则 )5.7(f （） A. 0.5 B. 5.
10、 0 C. 1.5 D. 5.1 9. 设 cbxxxf 2 )( ，tx有 )2()2(tftf 那么（） A. )4()1()2(fff B. )4()2()1 (fff C. )1()4()2(fff D. )1 ()2()4(fff 10. )(xfy 定义在 R 上，则 )1(xfy 与 )1(xfy 的图象关于（） A. 0y 对称B. 0x对称C. 1y 对称D. 1x对称 二. 填空 1. )(xf 是 R 上的奇函数，且 )()2(xfxf ，则 )3()2()(fff )2003(f 。 2. 函数 ) 3 2sin(xy 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是。 3. )(xf
11、 为奇函数，且当0x时， 2)(xxxf 则当0x时 )(xf 。 4. 偶函数 )(xf 的定义域为R，且在 )0,( 上是增函数，则 （1） )1() 4 3 ( 2 aaff （2） )1() 4 3 ( 2 aaff （3） )1() 4 3 ( 2 aaff 学习必备欢迎下载 （4） )1() 4 3 ( 2 aaff 中正确的是。 三. 解答题 1. 设 )(xf 是定义在R 上的偶函数，图象关于1x对称， 1x 、 2 1 ,0 2 x 都有 )()()( 2121 xfxfxxf 且 0)1(af （1）求 ) 2 1 (f 、 ) 4 1 (f （2）证明： )(xf 是周期
12、函数 2. 如果函数 )(xfy 的图象关于ax和 )(babx 都对称，证明这个函数满足 )()(2xfxbaf 3. 已知 cbxxxf 2 )( 对任意实数t 都有 )1 ()1(tftf ， 比较 ) 2 1 (f 与 )2(f 的大小。 4. 定义在实数集上的函数 )(xf ，对一切实数x 都有 )2()1(xfxf 成立，若方程 0)(xf 仅有 101 个不同实根，求所有实根之和。 学习必备欢迎下载 【试题答案】 一. 1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10. D 二. 1. 0 2. 12 x 3. 2xx 4.（2） 三
13、. 1. 解： （1） 2 1 ,0, 21 xx 都有 )()()( 2121 xfxfxxf 0) 2 () 2 ()( x f x fxf 1,0x 2 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 () 2 1 2 1 ()1 (fffff 2 1 ) 2 1 (af ， 2 ) 4 1 () 4 1 4 1 () 2 1 (fff 4 1 ) 4 1 (af （2）由已知 )(xf 关于1x对称 )11()(xfxf 即 )2()(xfxf ，Rx 又由 )(xf 是偶函数知 )()(xfxf ， Rx )2()(xfxf ，Rx将上式中x以x代换得 )2()(xfxf )(xf 是 R
14、上的周期函数，且2 是它的一个周期 2. 证： )(xf 关于 ax 和 bx 对称 )2()(xafxf ， )2()(xbfxf 学习必备欢迎下载 )2()2(xbfxaf 令Axb2，则 Abaxa)(22 )()(2AfAbaf 即 )()(2xfxbaf 3. 解：由 )1()1 (tftf 知抛物线 cbxxxf 2 )( 的对称轴是1 ) 2 3 () 2 1 (ff 而 2 3 2 根据 )(xf 在 ),1( 上是增函数得 ) 2 3 ()2(ff 即 ) 2 1 ()2(ff 4. 解：设xu2即ux2 )3()(ufuf Rx 有 )3()(xfxf 所有实根之和为2 303 2 3 101 注： 一个结论：设 )(xfy ，Rx都有 )2()(xafxf 且 0)(xf 有 k 个实根 )2(k ， 则所有实根之和为ka