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1、学习必备欢迎下载 2.9 指数 指数函数 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1. 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2. 掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(Nnaaaaa n n 个 零指数幂)0(1 0 aa； 负整数指数幂 1 0, n n aanN a (2)正分数指数幂0,1 m nm n aaam nNn； (3)负分数指数幂 11 0,1 m n m nm n aam nNn a a (4)0 的正分数指数幂等于0,0 的负
2、分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： 10, , rsrs a aaar sQ 20, , s rrs aaar sQ30 ,0, r rr aba babrQ 3.根式 （1）根式的定义 :如果ax n 1,nnN，那么x叫做a的n次方根，用 n a表 示, n a叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数。 (2) 根式的性质 : 当n是奇数，aa nn ； 当n是偶数， 0 0 aa aa aa nn 负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义： y=ax(a0 且 a1) ，叫指数函数， x 是自变量， y 是 x 的函数。 （2）图象： 学习必备欢迎下载 （
3、3）性质： 定义域 (-,+ )；值域(0,+ )； 过定点（， 1） ； 单调性a 1 时为增函数 a1,01 和 00 且 a1),在区间 0,+)上是增函数 ,那么实数 a 的 取值范围是( ) A. 2 (0, 3 B. 3 ,1) 3 C.(1, 3D. 3 ,) 2 学习必备欢迎下载 5. 计算： 0.75 2 2 3 1 0.258 16 _ 6. 若 ln 2ln 3ln 5 , 235 abc,则 a、b、c 的大小顺序是 简答.精讲: 1-4. ABBB; 1. 3 a 6 a=a 3 1 （ a） 6 1 =（ a） 6 1 3 1 =（ a） 2 1 ; 3. 令 x=
4、1，由图知c 1d1a1b1; 4.记 u=a x,则 f(x)=uu-(3a2+1)=g(u) 对称轴为 u=(3a2+1)/2,要使 f(x) 在 x0,+)时递增 , 当 01 时无解 .故选 B; 5.12; 6.只须看 111 352 2 ,3 ,5的大小 ,把 11 32 2 ,36 次乘方 , 把 11 52 2 ,510 次乘方可知c0,又 a1, 21 1 xx a,而 10, x2+10, f(x2) f( x1)0, f( x) 在( 1,+) 上为增函数。 （2 ）设x0为方程f( x)=0的负根 ，则有 00 0 2 0 1 x x a x 即 000 000 23(
5、1)3 1 111 x xx a xxx 显然， 0 1x， 若 00 00 33 01,110,3, 12 11 xx xx 则 与 0 1 1 x a a 矛盾； 若 x00,a1)在区间 -1,1上的最大值为14，求 a 的值。 解:设 t=ax,则 y=t 2+2t-1,在 t-1 时递增 .而 x-1,1. 若 a1,则 a -1t a, ymax=a 2+2a-1=14, 解得 a=3, (-5 舍) 若 0a1,则 ata-1, ymin=a-2+2a-1-1=14, 解得 1 ) 3 a 1 ( 或-舍 5 9. 设 f（x）= 1 2 14 x x 2x+1，已知 f（m）=
6、2，求 f（ m）. 解：设 g(x)= 1 2 14 x x 2x, 则 g（ x）= 1 41 2 x x +2x= 1 1 4 1 2 2 x x +2x = 1 14 42 x xx +2x= 1 14 2 x x +2x= 1 41 2 x x + 2x=g(x) g(x)是奇函数 ,g(m)= 2-1, f（ m）=g(-m)+1 =g(m)+1=2 2. 学习必备欢迎下载 10.设0a，( ) x x ea f x ae 是R上的偶函数 （1）求a的值；（2）证明( )fx在(0,)上为增函数 解： （1）依题意，对一切xR，有()( )fxf x，即 1 x x xx ea a
7、e aeae 11 ()() x x ae ae 0对一切xR成立，则 1 0a a ， 1a，0a，1a （2）(定义法 )设 12 0xx，则 12 12 12 11 ()() xx xx f xf xee ee 21 21121 1221 11 ()(1)(1) xx xxxxx xxxx e eeee ee ， 由 1221 0,0,0xxxx，得 21 12 0,10 xx xxe， 21 10 xx e， 12 ()()0f xf x， 即 12 ()()f xf x，( )f x在(0,)上为增函数 （导数法） 1a ，(0,)x 2 11()1 ( )()0 x xx xxx
8、e fxee eee ( )f x在(0,)上为增函数 【探索题】定义在R 上的奇函数f(x) 满足 f(x+2)=f(-x), 当 x(0,1时, 2 ( ) 41 x x f x; (1)求证 :f(x) 是以 4 为周期的周期函数; (2)求 f(x) 在 -1,0上的解析式 ; (3)若 xa,a+4,(aR),求使关于 x 的方程 f(x)= 有解的 的取值范围 . 解(1) f(x+4)=f(x+2)+2=f(-x-2)=f(x+2)=f(x) f(x) 的周期为4. (2)显然 f(0)=0, 当 x-1,0)时 x(0,1. 学习必备欢迎下载 22 ( )() 4141 0(0
9、) ( ) 2 ( 1,0) 41 xx xx x x fxfx x f x x (3) 2 (0,1,2(1,2,( )( ) 1 x t xtf xg t t 记 当时 令则 12211 2 1 221 1222 12 12,0,1, (1)() ( )( )0 (1)(1) ttttt t t ttt g tg t tt 当时 ( )g t在(1,2上是减函数 , 2 12 1 ( ),)( ),) 5 25 2 g tf x即 由( )f x是奇函数 , 1,1,x 2 112 ( ),)(,0 5 225 fx 又 f(x+2)=f(-x), x=1 是 f(x) 的对称轴 . 1,3x当时, 2 112 ( ),)(,0 5 225 f x 当 ,4xa a时,( )f x的周期为4, 2 112 ,)(,0 5 225 当时,在a,a+4上可使方程( )f x有解 .