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1、初中数学竞赛复习1. 过点 P 1，3 作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作 （ C ）A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条解：y kx b将（ 1，3）代入k b 3b k 3y bx k 3与坐标轴交点为k3kkS 2k 3 10 k,0 0,k 33k 3k251 k 02k 3 10k2k 4k 9 00, .无解2 k 02k 3 10k2k 16k 9 00,有两解.有两条直线.2. 已知2 4b ac 是一元二次方程2 0 0ax bx c a 的一个实数根，则 ab的取值范围为（ B ）A.1ab B.81ab C.81ab D.4ab142
2、 解：2b 4ac2b b 4ac2a3 解：x y 5 zxy 3 (5 z)z设2b 4ac y关于x, y的方程为2yb y2a2a 5 z a 3 5 z 0022ay y b 025 z 12 4 5 z z 01 8ab 01ab .8z113z3 13max . 33. 实数 x, y, z满足 x y z 5, xy yz zx 3 ，则 z 的最大值是133.4. 已知二次函数2y ax c ，且当 x 1时， 4 y 1，当 x 2时， 1 y 5，则当 x 3时， y 的取值范围是（ A ）A. 1 y 20 B. 4 y 15 C. 7 y 26 D.28 35 y3
3、3考虑极端情形，即以 1, 4 2,5 两点作二次函数，得2y 3x 7 ，将 x 3代入，得y .又以 1, 1 2, 1 两点作一次函数（无法作二次函数） ，得 y 1，将 x 3代20入， y 1. 1 y 20 .5. 设 f x 是一个函数， 使得对所有整数 x, y，都有 f x y f x f y 6xy 1，和 f x f x ，则 f 3 等于（ A ）A.26 B.27 C.52 D.53解：在中令 x y 0，得 f 0 f 0 f 0 1, f 0 1.在中令 y x，并根据得2f 0 2f x 6x 1.从而2f x 3x 1，2f 3 3 3 1 26.6. 已 知
4、 实 数 a, b, x满 y足 a b x2 , y a ，x 则 b y2 2 2 5. 2a b xy ab x y7 解：a bb a ba x,b y.6 解： 令a 1,则a b2 2a b25b1 52abb 0,1abb22 22 a b ab 5bb1 52aab5 1 2.7. 一个三角形的边长分别为 a,a,b ，另一个三角形的边长分别为 a, b,b ，其中 a b，若两个三角形的最小内角相等，则ab的值等于（ B ）A.3 12B.5 12C.3 22D.5 228. n 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为 a ，当 n 分别乘以 3，5，7，9 后得到四个乘
5、积，如果其每个乘积的个位数的数字之和仍为 a ，那么这样的两位数有（ B ）个 .A.3 B.5 C.7 D.9首先可确定这样的两位数必为 9 的倍数（只有 9 的倍数乘以一个数后仍为 9 的倍数），所以在 18，27，36，45，54，63，72，81，90，99 这几个数中考虑。经检验， 18，36，45，90，99 符合题意 .9. 平面上有 8 个点 A1, A2 , A3 A8 ，其中任意三点不共线，在这些点之间连 25 条线段，则这些线段最多可以构成 41 个以 A1, A2 , A3 A8 为顶点的三角形 .解：8 个点之间的连线有8 72 128条，共组成8 7 63 256个
6、三角形 . 现只有 25 条线段，少了 3 条线段 . 少第一条线段，少 6 个三角形；少第二条线段，至少少 5 个三角形；少第三条线段，至少少 4 个三角形 . 因此， 25 条线段最多组成 56 6 5 4 41个以A1, A2 , A3 A8 为顶点的三角形 . （组合数公式）知识拓展：排列数公式mAnn!n m!组合数公式mCnn!m! n m !10. 如 图，在 梯形 ABCD 中 ， AD / BC BC AD ， D 90 ， BC CD 12 ，ABE 45 . 若 AE 10 ，则CE 6或4 .10D y A F G12-y x CEB FGBAEB AGB 12-x10
7、E 12 y x 10x2 212 x y 100C B 12x 4,x 6.1 211. 如图所示，在 ABC中， DE / AB / FG ，且 FG 到 DE 、 AB 的距离之比为 1 2。若 ABC的面积为 32， CDE 的面积为 2，则CFG 的面积S等于（ B ）A.6 B.8 C.10 D.12CDE CABCH 2 1CJ 32 4CHI 1IJ 2D H ECH HI F I G2S CH1 CDES CICFG4S 2 A J BCDES 8.CFG12. 如图，如果一个等腰梯形能被分成两个等腰三角形，那么称其为黄金梯形，黄金梯形的E5 1四边之比是111： .2A D
8、AB=AD=CD=DE=1BD=BC=x ，AB/CE ABD= EABD DCE1 xB Cx x 113. 如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分，现在栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120 种.14.从 1 分，2 分，5 分的三种硬币中取出 100 枚，总计 3 元，其中 2 分硬币枚数的可能情况有（ C ）A.13 种 B.16 种 C.17 种 D.19 种15. 利用公式2 22 2 2 2a b c d ac bd bc ad 或其他方法找出一组正整数填空：2 22 2 2 22 92 3 4 92 5
9、 1388 92 2 .将292 3 ，292 5 看作23 92 和25 92 即可.16. A,B,C 三个篮球队进行篮球比赛，规定每场比赛后，次日由胜队与另一队进行比赛，而负队则休息一天， 按这个规定， 最后结果是 A 队胜 10 场，B 队胜 12 场，C 队胜 14 场。问每队各打了多少场？解：我们考虑 A 队胜 10 场，B 队胜 12 场， C 队胜 14 场，所以一共赛了 36 场。注意到负一场休息一天， 我们设想最后一场比赛后负队也休息一天， 则每个队的负场和休息总是成对出现的。我们再来考虑 B 队胜 12 场，C 队胜 14 场，共 26 场。在这 26 场中， A或是负或
10、是休息。所以 A 负的场数与休息的天数共 26。所以，A 队负的场数 36 10 2 13.同理， B 队负的场数 36 12 2 12C 队负的场数 36 14 2 11所以 A 队赛了 10+13=23（场），B 队赛了 12+12=24（场），C 队赛了 14+11=25（场）。17. 求所有质数 p,q,r ，使得q rp p 为完全平方数。q r q解:当q r时, p p 2p , p 2.故 2, q,q 为满足条件的一组解 q 3 .q r q s q s当q r时, 不妨设q r .p p p 1 p ,s r q, p ,1 p 1.q sp ,1 p 均为完全平方数 .
11、q 2(2为唯一的偶质数 ).s 2 s设1 p u , 则p u 1 u 1 , u 1,u 1 u 1,2 2或1.当 时u 1,u 1 2 , p 2. u 1 2,u 3,s 3 s r q ,r 5.满足条件的解 2,2,5 2,5, 2 .为 和s当 u 1,u 1 1时, u 1 1,p 3, p 3,s 1. r 3,q 2.满足条件的解为 和3,2,3 3,3,2 .18. 已知 a,b 是实数， 关于 x, y的方程组3 2y x ax bxy ax b有整数解 x, y ，求a,b满足的关系式。解：将 y ax b 代入 y x3 ax2 bx ，消去 a,b ，得 y
12、x 3 xy ，于是 x 1 y x3 .若 x 1 0 ，即 x 1 ，则上式左边为 0，右边为 -1 不可能。所以 x 1 0。于是3x 1 2y x x 1x 1 x 1.因为 x, y都是整数，所以 x 1 1，即 x 2或 x 0，进而 y 8或 y 0.当xy82时，代入 y ax b 得2a b 8 0；当xy00时，代入 y ax b 得b 0 .综上所述， a,b满足关系式是 2a b 8 0，或者 b 0， a 是任意实数。19. 已知 a 0,b 0,c 0 ，且2 4 2b ac b ac，求2 4b ac 的最小值。解：令2y ax bx c ，由 a 0,b 0,
13、c 0 ，判别式2 4 0b ac ，所以这个二次函数的图像是一条开口向下的抛物线， 且与 x 轴有两个不同的交点A x B x ，1,0 , 2,0 c因为 x1x2 0 ab，不妨设 x1 x2 ，则 x1 0 x2 ，对称轴 x 02a。于是2 2b b 4ac b b 4acx c12a 2a，所以2 2 24ac b b b 4ac b 4ac c4a 2a 2a，故2 4 4b ac ，当 a 1,b 0,c 1时，等号成立。所以，2 4b ac 的最小值是 4。A20. 如图， ABC是等腰直角三角形，直角边长为 1，P 是斜边上一点，过点 P 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分
14、别为点 QP Q 1-X和 R，考虑 APQ 和 PBR以及矩形 QCRP 的面积， 证明X X不管怎样选择点 P ，这三个面积中至少有一个不小于29.BXRC解：令 x BR RP QC, ，则 1 x RC PQ AQ,（1）如果2x , 则321 1 2 22S xBRP2 2 3 9.（2）如果1x ,则321 x .321 1 2 22S 1 x .AQP2 2 3 9（3）如果 1 2 ,x 则3 321 1 1 1 1x , x ，6 2 6 2 36这时22 1 2 1 1 1 1 1 2S x 1 x x x x x x .PQCR4 4 4 2 4 36 9（此题应逆向考虑
15、）A21. 如图，点 A为半圆上一个三等分点，点 B 为BAN 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点， O的半径为 1，则 AP BP 的最小值为（ C ）M O P P NA.1 B.22C. 2 D. 3 1Q22. 如图， POQ 20 ， A为 OQ 上一点， B 为Q0OP 上一点， 且OA 1，OB 2，在OB 上取一点PA ，在 AQ 上取一点 A2 ，设l AA 1 AA1 2 AB2 ，1求 l 的最小值 .A0 A1B解：如图，分别以 OP ,OQ 所在直线为对称轴，作OAA2QPOQ , QOP 的对称图形 POQ0 , QOP0 ，这B0时， A关于 OP 的对称点为OQ 上的 A0 ，点 B 关0P0于 OQ 的 对 称 点 为OP 上 的 B0 点 ， OA0 1,OB0 2 ， A0OB0 60 。 则0A0 A A1,A 0B 2A B，A l AA1 A1A2 A2 B1 A0 A1 A1A2 A2B0 A0 B0 , 在A OB 中. OA0 1,OB0 2, A0OB0 60 ， OA0 B0 90 ,0 02A0B0 2 1 3即 l 的最小值（A B 长）为 3 .0 0（以上两题皆运用了轴对称原理）