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1、2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分160 分 一、 （15 分） 1、（ 5 分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s。 假设它是由均匀分布的物质构成的球体， 脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 11312 6.67 10Gmkgs，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的 下限是 3 kg m。 2 、 （ 5分 ） 在 国 际 单 位 制 中 ， 库 仑 定 律 写 成 12 2 q q Fk r ， 式 中 静 电 力 常 量 922 8.98 10kN mC，电荷量q1和 q2的单位都是库仑，
2、距离 r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 12 2 q q F r ，式中距离r 的单位是米，作用力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 12 2 q q F r ，式中距离r 的单位是米，作用 力 F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位 时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1 新单位 = C。 3、 （5 分）电子感应加速器（betatron）的基本原理如下：一个圆环真空 室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的 轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边
3、界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场 的磁感应强度B 随时间 t 的变化规律为 0cos(2 /)BBt T， 其中 T 为 磁场变化的周期。B0为大于 0 的常量。当B 为正时，磁场的方向垂直 于纸面指向纸外。若持续地将初速度为v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图）， 则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到 t= 。 二、 （21 分） 嫦娥 1 号奔月卫星与长征3 号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点 离地面高 2 2.05 10 n Hkm，远地点离地面高 4 5.0930 10 f Hkm，周期约为16 小时， 称为 16
4、小时轨道（如图中曲线1 所示） 。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在 远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2 所示） ，以抬高近地点。后来又连续三次在抬 高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24 小时轨道、 48 小时轨 道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5 所示） 。已知卫星质量 3 2.350 10mkg，地 球半径 3 6.378 10Rkm，地面重力加速度 2 9.81/gm s，月球半径 3 1.738 10rkm。 1、试计算16 小时轨道的半长轴a 和半短轴b 的长度，以及椭圆偏心率e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受
5、推力的方向与卫星速度方向相同，而且点 火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N ，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为 200km，周期 Tm=127 分钟，试据此估 算月球质量与地球质量之比值。 三、 （22 分） 足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点 也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到 横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。
6、试问足 球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用 球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角（小于90） 来表示。不计空气及重力的影响。 四、 （20 分） 图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M 为指 针压力表，以VM表示其中可以容纳气体的容积；B 为测温饱，处在待测温度的环境中，以 VB表示其体积； E 为贮气容器，以VE表示其体积；F 为阀门。 M、 E、B 由体积可忽略的毛 细血管连接。 在 M、E、B 均处在室温T0=300K 时充以压强 5 0 5.2 10pPa的氢气。假设氢 的饱和蒸气仍
7、遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题： 1、关闭阀门F，使 E 与温度计的其他部分隔断，于是M、B 构成一简易的气体温度计，用它 可测量 25K 以上的温度，这时 B 中的氢气始终处在气态，M 处在室温中。试导出B 处的温 度 T 和压力表显示的压强p 的关系。除题中给出的室温T0时 B 中氢气的压强P0外，理论上 至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定T 与 p 之间的关系？ 2、开启阀门F，使 M、 E、B 连通，构成一用于测量20 25K 温度区间的低温的蒸气压温度 计，此时压力表M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系， 知道了氢的饱和蒸气压与温度
8、的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确定这一 温区的温度。在设计温度计时，要保证当B 处于温度低于 25 V TK时， B 中一定要有液态 氢存在，而当温度高于25 V TK时， B 中无液态氢。到达到这一目的， ME VV与 VB间应 满足怎样的关系？已知25 V TK时，液态氢的饱和蒸气压 5 3.3 10 V pPa。 3、已知室温下压强 5 1 1.04 10pPa的氢气体积是同质量的液态氢体积的800 倍，试论证蒸 气压温度计中的液态气不会溢出测温泡B。 五、 （20 分） 一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为v 的匀速运动的低速电子组成，电子 在电子束中均匀分布，沿电子束
9、轴线每单位长度包含n 个电子，每个电子的电荷量为 (0)e e，质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，其前 端（即图中的右端）于t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小 孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板A、B 之间加上了如图所示的周期性变化 的电压 AB V（ ABAB VVV，图中只画出了一个周期的图线），电压的最大值和最小值分别为 V0和 V0，周期为 T。若以表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小 值的时间间隔为T。已知的值恰好使在VAB变化的第一个周期内通过电容器到达电容 器右边的所有的电子，能在某一时刻
10、tb形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距 离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且 2 0 6mveV，不计电子之间的相互作用 及重力作用。 1、满足题给条件的和 tb的值分别为 = T，tb= T。 2、试在下图中画出t=2T 那一时刻，在02T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形 成的电流 I，随离开右极板距离x 的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐标 的数字保留到小数点后第二位）。取 x 正向为电流正方向。图中x=0 处为电容器的右极板B 的小孔所在的位置，横坐标的单位 0 eV s m 。 （本题按画出的图评分，不须给出计算过程） 六、 （22 分）
11、 零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的 限制。为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦（温度T=4.2K ）中处于超 导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度TC=7.19K ）中电流的变化。设铅丝粗细均匀， 初始时通有I=100A 的电流，电流检测仪器的精度为1.0ImA，在持续一年的时间内电流 检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认 定 的 上 限 为 多 大 。 设 铅 中 参 与 导 电 的 电 子 数 密 度 203 8.0010nm， 已 知 电 子 质 量 31 9.11 10mkg，基本电荷
12、19 1.60 10eC。 （采用的估算方法必须利用本题所给出的有 关数据） 七、 （20 分）在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R=0.10m、焦距 f=0.50m 的薄 凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可以在 黑色圆盘上形成太阳的像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性极好， 圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩玻尔兹曼定律：在单位时 间内在其单位表面积上向外辐射的能量为 4 WT，式中为斯特藩 玻尔兹曼常量，T 为 辐射体表面的的绝对温度。对太而言， 取其温度 3 5.50 10 s tC。大气对太
13、阳能的吸收率为 0.40。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩玻尔兹曼定 律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆盘到达稳定状 态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？ 八、 （20 分）质子数与中子数互换的核互为镜像核，例如 3 He是 3 H的镜像核， 同样 3 H是 3 He 的镜像核。已知 3 H和 3 He原子的质量分别是 3 3.016050 H mu和 3 3.016029 He mu，中子 和质子质量分别是1.008665 n mu和1.007825 p mu， 2 931.5 1uMeV c ，式中 c 为光速， 静电力常量 2
14、1.44 kMeVfm e ，式中 e 为电子的电荷量。 1、试计算 3 H和 3 He的结合能之差为多少MeV 。 2、已知核子间相互作用的“ 核力 ” 与电荷几乎没有关系，又知质子和中子的半径近似相等，试 说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径rN。 3、实验表明，核子可以被近似地看成是半径rN恒定的球体；核子数 A 较大的原子核可以近 似地被看成是半径为R 的球体。根据这两点，试用一个简单模型找出R 与 A 的关系式；利用 本题第 2 问所求得的rN的估计值求出此关系式中的系数；用所求得的关系式计算 208 Pb核的 半径 pb R。 第 25 届全
15、国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答 一、答案 1. 14 103.1 2. 31 1 22 kgms 5 1. 0 61 0(答 5 1.05 10也给分 ) 3. 3 4 TT 二、 参考解答： 1. 椭圆半长轴a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆 指卫星到地心的距离） n r与 f r的算术平均值，即有 nfnfnf 111 222 arrHRHRHHR(1) 代入数据得 4 3.194610akm (2) 椭圆半短轴b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 n f br r (3) 代入数据得 4 1.942 10 kmb(4) 椭圆的偏心率 a
16、 ba e 22 (5) 代入数据即得 0.7941e (6) 2. 当卫星在16 小时轨道上运行时，以 n v和 f v分别表示它在近地点和远地点的速度，根 据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 22 nf nf 11 22 GMmGMm mm rr vv(7) 式中M是地球质量，G是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心 的连线垂直，根据角动量守恒，有 n nff mrmrvv(8) 注意到 g R GM 2 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 f n nfn 2rg R r rr v (10) nn fn fffn 2rrg R rr rr vv(11)
17、当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有 nn rRH ff rRH 由(11)式并代入有关数据得 f 1.198vkm/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方 向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星 所在处将是新轨道的远地点. 所以新轨道远地点高度 4 ff 5.0930 10HHkm， 但新轨道近 地点高度 2 n 6.00 10Hkm. 由 (11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f 1. 23 0vkm/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力F 的冲量，设发动机点火时间
18、为t，有 ff mFtvv(14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 t= 2 1.5 10 s(约 2.5 分) (15) 这比运行周期小得多. 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以 r 表示它所在处矢径的大小，v 表示其速度的大小，表 示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 sin2Lrmmv(16 ) 其中 1 sin 2 rv（17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度. 由于角动量是守恒的， 故是恒量 . 利用远地点处的角动量，得 ff 1 2 r v(18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 Sab(19) 所以卫星沿轨道运动的周期 S T(20)
19、 由(18)、(19)、(20) 式得 ff 2 ab T r v (21) 代入有关数据得 4 5. 6 7 81 0Ts (约 15 小时 46 分)(22) 注： 本小题有多种解法 . 例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T 与 T0之比的平方等 于它们的轨道半长轴a 与 a0之比的立方，即 23 00 Ta Ta 若 0 a是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 2 02 00 2GMm ma aT 得 222 0 32 0 44T aGMgR 从而得 2 aa T Rg 代入有关数据便可求得(22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 2 m m
20、2 mm 2 () GMm mr rT (23) 这里 mm rrH是卫星绕月轨道半径， m M是月球质量 . 由(23)式和 (9)式，可得 23 m m 22 m 4r MM gR T (24) 代入有关数据得 m 0. 0 1 2 4 M M (25) 三、 参考解答： 足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂 直于横梁轴线） . 图中 B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线； 11 O O为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球， O2 为其球心； O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点 O的位置由直 线O1OO2与水平线 11 OO的夹角表示 . 设足球射到横梁上时 球心速度的大
21、小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向 用它与水平方向的夹角表示 如图 . 以碰撞点 O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与 O2OO1重合 . 以表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以表示碰后速度的方向与y轴 (负方向 )的夹角，足球 被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角的大小 . 以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方 向的分量的大小，t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有 x0xx Ftmmvv(1) yy0y Ftmmvv(2) 式中 0x v、 0y v、 x v和 y v分别是碰前和碰后
22、球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小. 根据摩擦 定律有 xy FF (3) 由（ 1）、（ 2）、（ 3）式得 0xx y0y vv vv (4) 根据恢复系数的定义有 y0y evv（ 5） 因 0x 0 0y tan v v （ 6） x y tan v v （7） 由（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）各式得 ee 1 1tan 1 tan 0 （8） 由图可知 （9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 90 (10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时 90. 由（ 9）式得 tan 90tan (11) 因足球是沿水平方向射到横梁上的，故 0 ，有 ee
23、 1 1tan 1 tan 1 (12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置所满足的方程. 解（ 12）式得 2 2211 114 tan 2 eee ee (13) 代入有关数据得 tan1.6 (14) 即 58 (15) 现要求球落在球门线内，故要求 58 (16) 四、 参考解答： 1. 当阀门 F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当 B处的温度为 T 时，压力 表显示的压强为p，由理想气体状态方程，可知B和M 中氢气的摩尔数分别为 RT pV n B B1 (1) 0 M M1 RT pV n(2) 式中 R为普适气体恒量. 因 1M1B1 nnn(3) 解（ 1）
24、、（ 2）、（ 3）式得 1M BB0 11n RV TVpV T (4) 或 1M BB0 p T n RV p VV T (5) ( 4) 式表明， T 1 与 p 1 成线性关系， 式中的系数与仪器结构有关. 在理论上至少要测得两个已知 温度下的压强，作 T 1 对 p 1 的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强 p0，故至 少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与 p之间的关系式. 2. 若蒸气压温度计测量上限温度 v T时有氢气液化， 则当 B处的温度 v TT时，B、M 和E 中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔
25、数 0BME 2 0 pVVV n RT （6） 假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为 vB 2B v p V n RT （7） 在（7）式中， 已忽略了 B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温 中，其中氢气的摩尔数为 ME 2 M2 E 0 pVV nn RT （8） 根据要求有 2B2M2E2 nnnn （9） 解（ 6）、（ 7）、（ 8）、（ 9）各式得 B vv0 v00v EM V Tpp TpTp VV (10) 代入有关数据得 MEB 18VVV (11) 五、 答案与评分标准： 159.022 12 2 (3 分) 2 (2
26、分) 2如图 (15 分. 代表电流的每一线段3 分，其中线段端点的横坐标占1 分，线段的长度占1 分， 线段的纵坐标占1 分) 六、 参考解答： 如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间t内电流通过线圈因 发热而损失的能量为 RtIE 2 （1） 以表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有 S l R（2） 电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有 IS nev （ 3） 所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不 会超过电流检测仪器的精度I，即电流变化的上限为mA0.1I.
27、 由于导电电子的数密度n 是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为v-v，对应的 电流变化 IneS v （4） 导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动 能为 2 2 11 22 k ElSnmmvvv l Sn m v v （5） 由于II，所以v v，式中v的平方项已被略去. 由（ 3）式解出v，（ 4）式解出v， 代入（ 5）式得 1 2 3 4 x/s I/nev O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0.83 1.17 2.00 2.83 4.00 2k lmII E ne S (6) 铅丝中所有导电电子减少
28、的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即 EEk（7） 由(1)、(2)、(6)、(7)式解得 2 m I ne It （8） 式中 7 3 6 52 43 6 0 0 s = 3. 1 51 0 st（9） 在（ 8）式中代入有关数据得 26 1.4 10 m(10) 所以电阻率为 0的结论在这一实验中只能认定到 m104.1 26 (11) 七、 参考解答： 按照斯特藩 -玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为 4 ss WT(1) 其中为斯特藩 -玻尔兹曼常量，Ts为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为Rs，则单位时间 内整个太阳表面向外辐射的能量为 2 sss 4P
29、R W(2) 单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是 s P. 设太阳到地球的距离为rse，考 虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R的透镜接收到的太阳辐射的能量为 2s 2 se 1 4 P PR r (3) 薄凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收. 另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量. 设圆盘的半径为 D R ，温度为 D T ，注意到簿圆盘 有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为 24 DDD 2 PRT(4) 显然，当 D PP(5) 即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温 度达到最高 . 由(
30、1)、 (2)、(3)、(4)、(5)各式得 1 22 4 s Ds 22 seD 1 2 R R TT r R (6) 依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径 s R的 2 倍，即 D 2 s RR . 由透镜成像公式知 ss se RR fr (7) 于是有 s D se 2 R Rf r (8) 把(8)式代入 (6)式得 1 2 4 Ds2 1 8 R TT f (9) 代入已知数据，注意到 ss (273.15)TtK， TD=1.410 3K (10) 即有 3 o DD 273.151.1 10CtT(11) 八、 参考解答： 1根据爱因斯坦质能关系， 3H 和3He 的结合能差为
31、33 2 np HHe Bmmmmc (1) 代入数据，可得 763.0BMeV (2) 2 3He 的两个质子之间有库仑排斥能，而3H 没有 . 所以3H 与3He 的结合能差主要来自 它们的库仑能差. 依题意，质子的半径为 N r，则 3He 核中两个质子间的库仑排斥能为 2 C N 2 e Ek r (3) 若这个库仑能等于上述结合能差， C EB，则有 2 N 2 ke r B (4) 代入数据，可得 N 0.944rfm (5) 3粗略地说， 原子核中每个核子占据的空间体积是 3 N (2)r. 根据这个简单的模型，核子 数为 A 的原子核的体积近似为 33 NN (2)8VArAr(6) 另一方面，当A较大时，有 34 3 VR（7） 由（ 6）式和（ 7）式可得 R 和 A 的关系为 1/3 1/31/3 N0 6 Rr Ar A(8) 其中系数 1/3 0N 6 rr(9) 把(5)式代入 (9)式得 17.1 0 rfm (10) 由(8)式和 (10)式可以算出Pb 208 的半径 Pb 6.93fmR