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2、气球的视角BAC=2 （ AB、AC 为 O 的切线， B、C 为切点）则气球中心O 离地面的高度OD 为（） （精确到 1m，参考数据：sin1 =0.0175，=1.732） A94m B95m C99m D105m 2 （2014?贵港）如图，在RtABC 中， ACB=90 ，AC=6 ，BC=8 ，AD 是 BAC 的平分线若P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（） AB4 CD5 3 （2014?安顺）如图，MN 是半径为1 的 O 的直径，点A 在 O 上， AMN=30 ，点 B 为劣弧 AN 的 中点 P是直径 MN 上一动点，则PA+PB 的最
3、小值为（） AB1 C2 D2 4 （2012?台州）如图，菱形ABCD 中， AB=2 ， A=120 ，点 P，Q，K 分别为线段BC，CD，BD 上的 任意一点，则PK+QK 的最小值为（） A1 BC2 D+1 5 （2011?本溪）如图，正方形ABCD 的边长是4， DAC 的平分线交DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（） A2 B4 C2D4 二填空题（共17 小题） 6 （2013?泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A 处望见一艘正在作业渔船D 在南偏西45 方向， 海监船航行到B 处时望见渔船D 在南偏东45 方向，又航行
4、了半小时到达C 处，望见渔船D 在南偏东60 方向，若海监船的速度为50 海里 /小时，则A，B 之间的距离为_海里（取，结果 精确到 0.1 海里） 7 （2011?莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y 轴上点 C 反射后经过点B（1，0） ，则光线 从点 A 到点 B 经过的路径长为_ 8 （2014?龙东地区）如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6 ，BD=8 ，M、N 分别是 BC、CD 的中点， P是 线段 BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是_ 9 （2014?无锡）如图，菱形ABCD 中， A=60 ，AB=3 ， A、 B 的半径分别为2 和 1，P、E、F
5、 分别 是边 CD、 A 和 B 上的动点，则PE+PF 的最小值是_ 10 （2014?东营）在 O 中， AB 是 O 的直径， AB=8cm ，=，M 是 AB 上一动点， CM+DM 的 最小值是_cm 11 （2014?莆田）如图，菱形ABCD 的边长为 4， BAD=120 ，点 E 是 AB 的中点，点F 是 AC 上的一 动点，则EF+BF 的最小值是_ 12 （2014?青岛）如图，在等腰梯形ABCD 中， AD=2 ， BCD=60 ，对角线 AC 平分 BCD ，E，F 分别 是底边 AD，BC 的中点，连接EF点 P 是 EF 上的任意一点，连接PA，PB，则 PA+P
6、B 的最小值为 _ 13 （2014?锦州）菱形ABCD 的边长为2， ABC=60 ， E 是 AD 边中点，点P 是对角线BD 上的动点， 当 AP+PE 的值最小时，PC 的长是_ 14 （2014?黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线 y=x 上的动点， A（1，0） ，B（2，0） 是 x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为_ 15 （2013?资阳）如图，在RtABC 中， C=90 ， B=60 ，点 D 是 BC 边上的点， CD=1 ，将 ABC 沿直线 AD 翻折，使点C 落在 AB 边上的点E 处，若点 P是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值
7、 是_ 16 （2013?内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6 和 8，M、N 分别是边BC、CD 的中点， P是对 角线 BD 上一点，则PM+PN 的最小值 =_ 17 （2013?辽阳）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点 P 在 BC 边上，且 BP=1，Q 为对角线 AC 上的 一个动点，则BPQ 周长的最小值为_ 18 （2013?达州）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在AB、 BC 上（含端点） ，且 AB=6 ， BC=10设 AE=x ，则 x 的取值范围是_ 19 （2012?鄂州）在锐角三角形ABC 中， B
8、C=， ABC=45 ，BD 平分 ABC ，M、N 分别是 BD、 BC 上的动点，则CM+MN的最小值是_ 20 （2010?滨州）如图，等边ABC 的边长为6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点， E 是 AC 边上一点，若AE=2 ，EM+CM 的最小值为_ 21 （2008?广安）如图，菱形ABCD 中， BAD=60 ，M 是 AB 的中点， P 是对角线AC 上的一个动点， 若 PM+PB 的最小值是3，则 AB 长为_ 22 （2001?海南）如图，在边长为6 的菱形 ABCD 中， DAB=60 ，E 为 AB 的中点， F是 AC 上的一动 点，则 EF+B
9、F 的最小值为_ 三解答题（共2 小题） 23 （2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部 门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监 船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北 方向， B 的北偏东15 方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船 B 的距离是多少 （结果保留根号） 24 （2013?南充）如图，公路AB 为东西走向，在点A 北偏东 36.5 方向上，距离5 千米处是村庄M；在 点 A 北偏东 53.5 方向上， 距离
10、 10 千米处是村庄N（参考数据； sin36.5 =0.6，cos36.5 =0.8，tan36.5 =0.75） （1）求 M，N 两村之间的距离； （2）要在公路AB 旁修建一个土特产收购站P，使得 M，N 两村到 P 的距离之和最短，求这个最短距离 初三数学中考专题 -对称最短距离 参考答案与试题解析 一选择题（共5 小题） 1 （2002?鄂州）如图，挂着“ 庆祝凤凰广场竣工” 条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m，在地面 A 点 测得气球中心O 的仰角 OAD=60 ，测得气球的视角BAC=2 （AB 、AC 为 O 的切线， B、C 为切点）则气球 中心 O 离地面的高
11、度OD 为（） （精确到1m，参考数据：sin1 =0.0175，=1.732） A94m B95m C99m D105m 考点 ： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 专题 ： 压轴题 分析：连接圆心和切点，利用构造的直角三角形求得OA 长，进而求得所求线段长 解答：解：连接OC 在 RtOAC 中， OC=2， OAC=1 AO=114.2 在 RtOAD 中，有 OD=OA sin6099 故选 C 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，建立数学模型并解直角三角形 2 （2014?贵港）如图，在RtABC 中， ACB=90 ，AC=6 ，BC=8，AD 是 BAC
12、的平分线若P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（） A B4CD5 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 分析：过点 C 作 CM AB 交 AB 于点 M， 交 AD 于点 P， 过点 P作 PQAC 于点 Q， 由 AD 是 BAC 的平分线 得 出 PQ=PM ，这时 PC+PQ 有最小值，即CM 的长度，运用勾股定理求出AB ，再运用 SABC=AB ?CM=AC ?BC，得出 CM 的值，即PC+PQ 的最小值 解答：解：如图，过点C 作 CMAB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q， AD 是 BAC 的平分线 PQ=
13、PM，这时 PC+PQ 有最小值，即CM 的长度， AC=6 ， BC=8， ACB=90 ， AB=10 SABC= AB ?CM=AC?BC， CM=， 即 PC+PQ 的最小值为 故选： C 点评：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ 有最小值时点P 和 Q 的位置 3 （2014?安顺）如图， MN 是半径为 1 的 O 的直径，点A 在 O 上， AMN=30 ，点 B 为劣弧 AN 的中点 P 是直径 MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（） AB1C2D2 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理；垂径定理 分析：作点 B 关于 MN 的对称点B ，连接
14、 OA 、OB、OB 、AB ，根据轴对称确定最短路线问题可得AB 与 MN 的 交点即为PA+PB 的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍求出 AON=60 ，然后求出BON=30 ，再根据对称性可得B ON= BON=30 ，然后求出AOB =90 ，从而 判断出 AOB 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB =OA ，即为 PA+PB 的最小值 解答：解：作点B 关于 MN 的对称点B ，连接 OA、OB、OB、AB ， 则 AB 与 MN 的交点即为PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值 =AB ， AMN=30 ， AON=2 A
15、MN=2 30 =60 ， 点 B 为劣弧 AN 的中点， BON=AON= 60 =30 ， 由对称性，BON= BON=30 ， AOB =AON+ BON=60 +30 =90 ， AOB 是等腰直角三角形， AB =OA= 1=， 即 PA+PB 的最小值 = 故选： A 点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍的性质，作 辅助线并得到AOB 是等腰直角三角形是解题的关键 4 （2012?台州）如图，菱形ABCD 中， AB=2 ， A=120 ，点 P，Q，K 分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点， 则 PK+QK 的最小值为（）
16、 A1BC2D+1 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；菱形的性质 专题 ： 压轴题；探究型 分析：先根据四边形ABCD 是菱形可知， AD BC，由 A=120 可知 B=60 ，作点 P 关于直线BD 的对称点 P ， 连接 PQ，PC，则 P Q 的长即为 PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点 C 重合， CP AB 时 PK+QK 的值最小，再在RtBCP中利用锐角三角函数的定义求出P C 的长即可 解答：解：四边形ABCD 是菱形， AD BC， A=120 ， B=180 A=180 120 =60 ， 作点 P 关于直线BD 的对称点P ，连接 PQ，PC，则 P Q 的长
17、即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点 C 重合， CPAB 时 PK+QK 的值最小， 在 RtBCP中， BC=AB=2 ， B=60 ， P Q=CP =BC?sinB=2 = 故选： B 点评：本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键 5 （ 2011?本溪）如图，正方形ABCD 的边长是4，DAC 的平分线交DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上 的动点，则DQ+PQ 的最小值（） A2B4C2D4 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；正方形的性质 专题 ： 压轴题；探究型 分析：过 D 作 AE 的
18、垂线交AE 于 F，交 AC 于 D，再过 D 作 DPAD ，由角平分线的性质可得出D 是 D 关于 AE 的对称点，进而可知D P即为 DQ+PQ 的最小值 解答：解：作 D 关于 AE 的对称点 D ，再过 D作 D PAD 于 P， DD AE， AFD= AFD ， AF=AF ， DAE= CAE ， DAF D AF， D 是 D 关于 AE 的对称点， AD =AD=4 ， D P即为 DQ+PQ 的最小值， 四边形ABCD 是正方形， DAD =45 ， AP=PD ， 在 RtAPD中， P D 2+AP2=AD 2，AD 2=16， AP=PD， 2P D 2 =AD 2
19、，即 2P D 2=16， P D=2，即 DQ+PQ 的最小值为2 故选： C 点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键 二填空题（共17 小题） 6 （2013?泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A 处望见一艘正在作业渔船D 在南偏西45 方向，海监船航 行到 B 处时望见渔船D 在南偏东45 方向，又航行了半小时到达C 处，望见渔船D 在南偏东60 方向，若海监船的 速度为 50 海里 /小时，则A，B 之间的距离为67.5海里（取，结果精确到0.1 海里） 考点 ： 解直角三角形的应用-方向角问题 专题 ： 应用题；压轴题 分析：过点 D 作 DEA
20、B 于点 E，设 DE=x ，在 Rt CDE 中表示出CE，在 RtBDE 中表示出BE，再由 CB=25 海里，可得出关于x 的方程，解出后即可计算AB 的长度 解答：解： DBA= DAB=45 ， DAB 是等腰直角三角形， 过点 D 作 DEAB 于点 E，则 DE=AB ， 设 DE=x ，则 AB=2x ， 在 RtCDE 中， DCE=30 ， 则 CE=DE=x， 在 RtBDE 中， DAE=45 ， 则 DE=BE=x ， 由题意得， CB=CE BE=xx=25 ， 解得： x=， 故 AB=25 （+1）=67.5（海里） 故答案为： 67.5 点评：本题考查了解直角
21、三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段 的长度，难度一般 7 （2011?莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y 轴上点 C 反射后经过点B（1，0） ，则光线从点A 到 点 B 经过的路径长为5 考点 ： 解直角三角形的应用 专题 ： 计算题；压轴题 分析：延长 AC 交 x 轴于 B 根据光的反射原理，点B、 B 关于 y 轴对称， CB=CB 路径长就是AB 的长度结 合 A 点坐标，运用勾股定理求解 解答：解：如图所示， 延长 AC 交 x 轴于 B 则点 B、B关于 y 轴对称， CB=CB 作 AD x 轴于 D 点则 AD=3 ，D
22、B =3+1=4 AB =AC+CB =AC+CB=5 即光线从点A 到点 B 经过的路径长为5 点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键 8 （2014?龙东地区）如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6 ，BD=8 ，M、N 分别是 BC、CD 的中点， P 是线段 BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是5 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质 专题 ： 几何图形问题 分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接AC ，
23、求出 CP、 PB，根据勾股定理求出BC 长，证出MP+NP=QN=BC ，即可得出答案 解答：解：作 M 关于 BD 的对称点Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接AC ， 四边形ABCD 是菱形， ACBD ， QBP=MBP ， 即 Q 在 AB 上， MQBD， ACMQ， M 为 BC 中点， Q 为 AB 中点， N 为 CD 中点，四边形ABCD 是菱形， BQCD，BQ=CN ， 四边形BQNC 是平行四边形， NQ=BC ， 四边形ABCD 是菱形， CP=AC=3 ，BP=BD=4 ， 在 RtBPC 中，由勾股定理得：BC=5 ，
24、即 NQ=5 ， MP+NP=QP+NP=QN=5 ， 故答案为： 5 点评：本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的 关键是能根据轴对称找出P的位置 9 （ 2014?无锡）如图，菱形ABCD 中， A=60 ，AB=3 ， A、 B 的半径分别为2 和 1，P、E、F 分别是边 CD、 A 和 B 上的动点，则PE+PF 的最小值是3 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质 专题 ： 几何图形问题；压轴题 分析：利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值，进而求出即可 解答：解：由题意
25、可得出：当P与 D 重合时， E 点在 AD 上， F 在 BD 上，此时PE+PF 最小， 连接 BD ， 菱形 ABCD 中， A=60 ， AB=AD ，则 ABD 是等边三角形， BD=AB=AD=3 ， A、 B 的半径分别为2 和 1， PE=1，DF=2， PE+PF 的最小值是3 故答案为： 3 点评：此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P 点位置是解题关键 10 （2014?东营）在 O 中，AB 是 O 的直径， AB=8cm ，=，M 是 AB 上一动点， CM+DM 的最小值是 8cm 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理；垂径定理 分析
26、：作点 C 关于 AB 的对称点 C ， 连接 C D 与 AB 相交于点M， 根据轴对称确定最短路线问题，点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C D 为直径，从而得解 解答：解：如图，作点C 关于 AB 的对称点C，连接 C D 与 AB 相交于点M， 此时，点M 为 CM+DM的最小值时的位置， 由垂径定理，=， =， =，AB 为直径， C D 为直径， CM+DM 的最小值是8cm 故答案为： 8 点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM 的最小值等于圆 的直径的长度是解题的关键 11 （2014?莆田）如
27、图，菱形ABCD 的边长为4， BAD=120 ，点 E 是 AB 的中点，点F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值是2 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；菱形的性质 分析：首先连接DB ，DE，设 DE 交 AC 于 M，连接 MB ，DF证明只有点F 运动到点M 时， EF+BF 取最小值， 再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值 解答：解：连接DB ，DE，设 DE 交 AC 于 M，连接 MB ，DF，延长 BA，DH BA 于 H， 四边形ABCD 是菱形， AC，BD 互相垂直平分， 点 B 关于 AC 的对称点为D， FD=FB ， FE+FB=FE+FD DE 只有当
28、点F 运动到点M 时，取等号（两点之间线段最短）， ABD 中， AD=AB ， DAB=120 ， HAD=60 ， DHAB ， AH=AD ，DH=AD ， 菱形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 的中点， AE=2，AH=2 ， EH=4，DH=2， 在 RtEHD 中， DE=2， EF+BF 的最小值为2 故答案为： 2 点评：此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF 成为最小值是解本题的关键 12 （2014?青岛）如图，在等腰梯形ABCD 中， AD=2 ， BCD=60 ，对角线 AC 平分 BCD ，E，F 分别是底边 AD ，BC 的中点，连接E
29、F点 P 是 EF 上的任意一点，连接PA，PB，则 PA+PB 的最小值为2 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；等腰梯形的性质 专题 ： 几何动点问题 分析：要求 PA+PB 的最小值， PA、PB 不能直接求，可考虑转化PA、PB 的值，从而找出其最小值求解 解答：解： E，F 分别是底边AD，BC 的中点，四边形ABCD 是等腰梯形， B 点关于 EF 的对称点C 点， AC 即为 PA+PB 的最小值， BCD=60 ，对角线AC 平分 BCD ， ABC=60 ， BCA=30 ， BAC=90 ， AD=2 ， PA+PB 的最小值 =AB ?tan60 = 故答案为： 2 点评：
30、考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用综合运用这些知识是解决本题的关键 13 （2014?锦州）菱形ABCD 的边长为 2， ABC=60 ，E 是 AD 边中点，点P是对角线BD 上的动点，当AP+PE 的值最小时， PC 的长是 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；菱形的性质 专题 ： 几何综合题 分析：作点 E 关于直线 BD 的对称点E ，连接 AE，则线段AE 的长即为 AP+PE 的最小值，再由轴对称的性质可 知 DE=DE =1，故可得出 AE D 是直角三角形， 由菱形的性质可知PDE=ADC=30 ，根据锐角三角函 数的定义求出PE的长，进而可得出PC 的长 解答：解：如图
31、所示， 作点 E 关于直线 BD 的对称点E ，连接 AE，则线段AE 的长即为 AP+PE 的最小值， 菱形 ABCD 的边长为 2，E 是 AD 边中点， DE=DE =AD=1 ， AED 是直角三角形， ABC=60 ， PDE=ADC=30 ， PE=DE?tan30 =， PC= 故答案为： 点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键 14 （2014?黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线 y=x 上的动点， A（1， 0） ，B（2，0）是 x 轴 上的两点，则PA+PB 的最小值为 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；
32、一次函数图象上点的坐标特征 分析：利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA =1，进而利用勾股定理得出即可 解答：解：如图所示：作A 点关于直线y=x 的对称点A ，连接 AB，交直线y=x 于点 P， 此时 PA+PB 最小， 由题意可得出：OA =1，BO=2 ，PA=PA， PA+PB=A B= 故答案为： 点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键 15 （2013?资阳）如图，在RtABC 中， C=90 ， B=60 ，点 D 是 BC 边上的点， CD=1 ，将 ABC 沿直线 AD 翻折，使点C 落在 AB 边上的点E 处，若
33、点P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是1+ 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；含30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题） 专题 ： 几何动点问题 分析：连接 CE， 交 AD 于 M， 根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小， 即可此时 BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可 解答： 解：连接CE，交 AD 于 M， 沿 AD 折叠 C 和 E 重合， ACD= AED=90 ， AC=AE ， CAD= EAD ， AD 垂直平分CE，即 C 和 E 关于 A
34、D 对称， CD=DE=1 ， 当 P和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时 BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE， DEA=90 ， DEB=90 ， B=60 ，DE=1 ， BE=，BD=， 即 BC=1+， PEB 的周长的最小值是BC+BE=1+=1+， 故答案为： 1+ 点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质 的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中 16 （2013?内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6 和 8， M、N 分别是边BC、CD 的中点， P
35、是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值 =5 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；菱形的性质 专题 ： 压轴题 分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接AC ，求出 CP、 PB，根据勾股定理求出BC 长，证出MP+NP=QN=BC ，即可得出答案 解答： 解： 作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接AC， 四边形ABCD 是菱形， ACBD ， QBP=MBP ， 即 Q 在 AB 上， MQBD， ACMQ， M 为 BC 中点， Q 为 AB
36、 中点， N 为 CD 中点，四边形ABCD 是菱形， BQCD，BQ=CN ， 四边形BQNC 是平行四边形， NQ=BC ， 四边形ABCD 是菱形， CP=AC=3 ，BP=BD=4 ， 在 RtBPC 中，由勾股定理得：BC=5 ， 即 NQ=5 ， MP+NP=QP+NP=QN=5 ， 故答案为： 5 点评：本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的 关键是能根据轴对称找出P的位置 17 （2013?辽阳） 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点 P 在 BC 边上，且 BP=1，Q 为对角线AC 上的一个动点， 则BPQ 周长的最小
37、值为6 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；正方形的性质 分析：根据正方形的性质，点B、D 关于 AC 对称，连接PD 与 AC 相交于点Q，根据轴对称确定最短路线问题， 点 Q 即为所求的使 BPQ 周长的最小值的点，求出PC，再利用勾股定理列式求出PD，然后根据 BPQ 周 长 =PD+BP 计算即可得解 解答：解：如图，连接PD 与 AC 相交于点Q， 此时 BPQ 周长的最小， 正方形ABCD 的边长为4，BP=1， PC=41=3， 由勾股定理得，PD=5， BPQ 周长 =BQ+PQ+BP =DQ+PQ+BP =PD+BP =5+1 =6 故答案为： 6 点评：本题考查了轴对称确定最
38、短路线问题，正方形的性质，熟记正方形的性质并确定出点Q 的位置是解题的关 键 18 （2013?达州）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在AB、BC 上（含 端点） ，且 AB=6 ，BC=10设 AE=x ，则 x 的取值范围是2 x 6 考点 ： 翻折变换（折叠问题） 专题 ： 压轴题 分析：设折痕为PQ，点 P 在 AB 边上，点 Q 在 BC 边上分别利用当点P 与点 A 重合时，以及当点Q 与点 C 重 合时，求出AE 的极值进而得出答案 解答：解：设折痕为PQ，点 P在 AB 边上，点Q 在 BC 边上 如图 1，当点 Q 与点 C
39、 重合时，根据翻折对称性可得 EC=BC=10 ， 在 RtCDE 中， CE2=CD 2+ED2， 即 102=（10AE） 2+62， 解得： AE=2 ，即 x=2 如图 2，当点 P 与点 A 重合时，根据翻折对称性可得 AE=AB=6 ，即 x=6； 所以， x 的取值范围是2 x 6 故答案是： 2 x 6 点评：本题考查的是翻折变换（折叠问题）、勾股定理注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题 关键 19 （2012?鄂州）在锐角三角形ABC 中，BC=，ABC=45 ，BD 平分 ABC ，M、N 分别是 BD、BC 上的动 点，则 CM+MN 的最小值是4 考点 ：
40、 轴对称 -最短路线问题 专题 ： 压轴题；探究型 分析：过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M ，过点 M作 MNBC，则 CE 即为 CM+MN 的最小值，再根据 BC=， ABC=45 ，BD 平分 ABC 可知 BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出 CE 的长 解答：解：过点C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M ，过点 M作 M N BC，则 CE 即为 CM+MN的最小值， BC=， ABC=45 ，BD 平分 ABC ， BCE 是等腰直角三角形， CE=BC?cos45 =4=4 故答案为： 4 点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，根据
41、题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数 的定义求解是解答此题的关键 20 （2010?滨州）如图，等边ABC 的边长为6，AD 是 BC 边上的中线， M 是 AD 上的动点， E 是 AC 边上一点， 若 AE=2 ，EM+CM 的最小值为 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理 专题 ： 压轴题；动点型 分析：要求 EM+CM 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM ，CM 的值，从而找出其最小值求解 解答：解：连接BE，与 AD 交于点 M则 BE 就是 EM+CM 的最小值 取 CE 中点 F，连接 DF 等边 ABC 的边长为6，AE=2 ， CE=AC AE=6
42、2=4， CF=EF=AE=2 ， 又 AD 是 BC 边上的中线， DF 是 BCE 的中位线， BE=2DF ，BEDF， 又 E 为 AF 的中点， M 为 AD 的中点， ME 是ADF 的中位线， DF=2ME ， BE=2DF=4ME ， BM=BE ME=4ME ME=3ME ， BE=BM 在直角 BDM 中， BD=BC=3 ，DM=AD=， BM=， BE= EM+CM=BE EM+CM 的最小值为 点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用 21 （2008?广安）如图，菱形ABCD 中， BAD=60 ，M 是 AB 的中点， P 是对角线AC 上的一
43、个动点，若PM+PB 的最小值是3，则 AB 长为2 考点 ： 轴对称的性质；平行四边形的性质 专题 ： 压轴题；动点型 分析：先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD 是 PM+PB 的最小值的情况，再利用特殊角60 的三角函数 值求解 解答：解：连接PD，BD， PB=PD， PM+PB=PM+PD ， 连接 MD ，交 AC 的点就是 P 点，根据两点间直线最短， 这个 P点就是要的P 点， 又 BAD=60 ， AB=AD ， ABD 是等边三角形， M 为 AB 的中点， MD AB， MD=3 ， AD=MD sin60 =3=2， AB=2 点评：本题考查的是平行四边形的性质及
44、特殊角的三角函数值，属中等难度 22（2001?海南）如图，在边长为6 的菱形 ABCD 中，DAB=60 ， E 为 AB 的中点， F 是 AC 上的一动点， 则 EF+BF 的最小值为3 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；菱形的性质；特殊角的三角函数值 专题 ： 压轴题；动点型 分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，点B 关于 AC 的对称点是点D，连接 ED ，EF+BF 最小值 =ED，然后解直 角三角形即可求解 解答：解：在菱形ABCD 中， AC 与 BD 互相垂直平分， 点 B、D 关于 AC 对称， 连接 ED，则 ED 就是所求的EF+BF 的最小值的线段， E 为 AB 的
45、中点， DAB=60 ， DEAB ， ED=3， EF+BF 的最小值为3 故答案为： 3 点评：本题主要考查了三角形中位线定理和解直角三角形，关键是判断出当F 是 AC 的中点时， EF+BF 最小 三解答题（共2 小题） 23 （2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼 岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B 船在 A 船的正东方向， 且两船保持20 海里的距离， 某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向， B 的北偏东 15 方向有一 我国渔政执法船C，求此时船C 与船 B 的距离是多少 （结果保留根号） 考点 ： 解直角三角形的应用-方向角问题 专题 ： 压轴题 分析：首先过点B 作 BDAC 于 D，由题意可知，BAC=45 ， ABC=90 +15 =105 ，则可求得 ACB 的度数， 然后利用三角函数的知识求解即可求得答案 解答：解：过点B 作 BDAC 于 D 由题意可知，BAC=45 ， ABC=90 +15 =105 ， ACB=180 BAC ABC=30 ， 在 RtABD