北师大版九年级概率的进一步认识.pdf

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1、用树状图或表格求概率 相关知识点链接： 1、频数与频率 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 2、概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间 发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为 0；不确定事件发生的概率在0 与 1 之间。 【知识点 1】频率与概率的含义 在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数， 而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即 总次数 频数 频率 把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率。 【例 1】不透明的袋

2、中有3 个大小相同的球，其中2 个位白色， 1 个位红色，每 次从袋中摸出一个球， 然后放回搅匀再摸， 在摸球试验中， 得到下表中的部分数 据： 摸球次数40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现红球的频数14 23 38 52 67 86 97 111 120 136 出现红球的频率3532343535 （1）请将表中的数据补充完整。 （2）观察表中出现红球的频率， 随着试验次数的增多， 出现红球的概率（） 【知识点 2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候， 当试验的次数很大时， 某个事件发生的频率稳定在相应的概 率附近。 我们

3、可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。 例 2 三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验 一次，经过多次试验后，结果汇总表如下： 试验总次数10 20 50 100 200 300 400 500 1000 摸出 A 的频数7 13 28 172 198 276 660 摸出 A 的频率7562 （1）将上述表格补充完整； （2）观察表格，估计摸到A 的概率； （3）求摸到 A 的概率； 【只是点 3】利用画树状图或列表法求概率（重难点） 【例 4】有列表法求以下随机事件发生的概率 掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子夫人点数和为7

4、的概率。 例 5 明华外出游玩时带了2 件上衣（白色、米色）和3 条裤子（蓝色、黑色、 棕色） ，他任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色的概率是多少？ 题型一：求事件的概率 例 1 某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内 容。规定：每位考生先在三个笔试题 （题签分别用 321 BBB、表示）中抽取一个， 再在三个上机题（题签分别用代码 321 JJJ、表示）中抽取一个进行考试，小亮 在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机的各抽取一个题签 （1）用画树状图或列表法表示出所有可能的结果。 （2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率。 题型

5、二频率域概率关系的应用 例 2 有两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是1 和 2 。从每组中各抽取 一张记为一次试验， 小明和小红做了 200 次试验后将两张牌的牌面数字之和的情 况做了统计。 制作了相应的频数分布直方图，如图所示， 请估计两牌面数字之和 为 4 的概率是，和为 3 的概率是。 题型三设计方案题 例 3 请设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率为 2 1 ，摸到白球的概率为 3 1 。 综合提升： 1、在一个不透明的中装有5 个完全相同的小球把它们分别标号为1,2,3,4,5，从 中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率是。 2、小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯

6、的机会都相同，小红 希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是。 3、一转盘被等分成三个扇形， 上面分别标有 -1,1,2 中的一个数指针位置固定， 转 动转盘后任其自由停止， 这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得 到这个扇形上的数（若指针恰好停在等分线上，当做指向右边的扇形） （1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率； （2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而 合”用列表法（或画树状图）求两人不谋而合的概率 4、在一个不透明的盒子中放油三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 62,2, 3（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中

7、随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是3 的概率； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数； 卡片不放回， 再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或画树状图法， 求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。 用频率估计概率 【知识点 1】生日相同的概率 50 个人中有 2个人生日相同是不确定事件，可能有、也可能没有，只能通过试 验频率估计概率。但因调查的次数而异。 【知识点 2】用抽取法估计总体数目（重点） 此类问题有两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球， 记下颜色然后将其放入 袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录某一颜色球出现的次数，利用

8、频 率来估算这一颜色球的数目。 依据是：试验频率概率 （2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10 个球，求出其中某一颜色球的个数与 10 的比值，再把球放回袋中，不断重复此过程，摸一定的次数，求出这一颜色 的球的个数与 10 的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色 球的数目。依据是：平均概率概率 例 1 一个不透明的口袋中装有6 个红色的小正方体和若干个黄色的小正方体， 小正方体除颜色外其他都相同， 从口袋中随机摸出一个小正方体，记下颜色后再 把它放回口袋中， 不断重复此过程， 共摸了 300 次，其中有 100 次摸到红色小正 方体，则口袋中大约有个黄色小正方体。 【知识点 3】

9、利用替代物模拟试验估算概率 在估算事件发生的概率时， 有些调查即费力又费时， 但要想使这种估算尽可能准 确，就需要尽可能多的增加调查对象，在这种情况下， 我们可以采用模拟试验的 方法来估计事件发生的概率。 通过模拟试验， 在室内就可以完成收集数据、进行 试验、统计结果等过程。 【例 2】设计一个方案，估计8 个人中只有 2 个人生肖相同的概率。 【知识点 4】用计算器模拟试验估算概率 利用计算器产生随机数的大体步骤是： （1）进入产生随机数状态 （2）输入所产生随机数的范围 （3）按键得出随机数。 【例 3】课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强，让他去办公室取一本 书，但李强不小心把王老

10、师告诉他的开办公室的那把钥匙的特征忘记了，只知道 这串钥匙有 8 把，请你用计算器模拟试验的方法估测一下，他一次试开成功的可 能性有多大。 【知识点 5】模拟试验的应用 （1）概率是对随机现象的一种数学描述，他可以帮助我们更好地认识随机现象， 并对生活中的一些不确定情况做出自己的决策。 （2）从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随 机现象，立即可以发现： 在大量的偶然之中存在着必然的规律。也就是当重复试 验的次数大量增加时， 事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，去哦们 可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 （3）通过模拟试验能估

11、计事件所有可能结果总数n 和其中事件 A 发生的可能的 结果数 m （4）估计概率时，要看频率随试验次数的增加是否趋于稳定，不能随便取其中 一个频率去估计。 例 4 下表给出了一些模拟试验的方法，你觉得这些方法合适吗？若不合适，请 说明理由，另外提出一个新的你认为合理的模拟试验的方法。 （1） （2） 研究的问题 用替代物模拟试验方 法 新的模拟试验 方法 采用实物 不透明袋中。有 2个红球， 2 个白球 1 枚硬币 试验方式摸出 1 个球抛起后落地 考虑随机事件的概率恰好摸出红球的概率正面朝上的概率 题型一估计生日相同的概率 例 1 利用课余时间，让每位同学调查10人的生日，然后从全班同学的

12、调查结 果中随机选取 40 个被调查人，看看他们中有没有2 个人的生日相同，最后将全 班同学的调查数据集中起来，设计出一个方案，估计40 个人中有 2 人生日相同 的概率。 研究的问题用替代物模拟试验的方法新的模拟试验方法 采用实物一枚均匀的骰子一个饮料瓶盖 试验方式抛掷骰子抛掷饮料瓶盖 考虑随机事件的概率奇数点朝上的概率正面朝上的概率 题型二用频率估计袋中球的数目 例 2 一个不透明的口袋中有10 个白球和若干个黑球， 它们除颜色外完全相同， 如果不允许将球倒出来数，如何估计其中的黑球数呢？两位同学是如下操作的： 小芳：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复此过 程，共

13、摸了 100 次，其中有 81 次摸到黑球。 小明：利用抽样调查方法，从口袋中一次摸出10 个球，求出其中白球数与10 的比值，再把球放回口袋中，不断重复上述过程，他共摸了10 次白球数与 10 的比值如下： 次数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每次摸球白球数与10 的比值0.2 0.3 0.2 0.1 0.4 0.1 0.3 0.2 0.1 0.2 问： （1）小芳估计袋中黑球有多少个？ （2）小明估计袋中黑球有多少个？ （3）两位同学操作时每次摸球后，都要放回，如果不放回行吗？为什么？ 题型三设计模拟试验解决问题 例 3 把图中四张纸片放在一个盒子里搅均匀，任取两张，看能拼成菱形

14、还是房 子（如果是两张三角形，则能拼成菱形；如果是一张三角形和一张正方形，则能 拼成房子）想想看哪些方法可以用来模拟试验？通过模拟试验分别估计拼成菱形 和拼成房子的概率。 题型四模拟试验的拓展创新题 例 4 某抽签活动设置了下表所示的翻奖牌，每次抽奖翻开一个数字，考虑”中 奖“的可能性有多大？ 正面反面 （1）如果用试验进行估计但又觉得制作翻奖牌太麻烦，能否用简单的模拟试验 来代替？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 轿车一辆万事如意奖金 100 元 心想事成奖金 100 元洗衣粉一袋 奖金 10元生活愉快奖金 2 万元 （2）估计”未中奖“的可能性有多大， ”中奖“的可能性有多大，你能探索

15、出他 们的关系吗？ 综合提升 1、再用摸球试验来模拟6 人中有 2 人生肖相同的概率的过程中没有如下不同的 观点，其中正确的是（） A、摸出的球不能放回B、摸出的求一定放回 C、可放回，可不放回D、不能用摸球试验来模拟此试验 2、一个布袋中有 15 个黑球和若干个白球，从布袋中一次摸出10 个球，求出其 中黑球数与 10 的比值，再把球放回布袋中摇匀，不断重复此过程，得到黑球数 与 10 的比值的平均数为 5 1 ，因此可估计布袋中大约有个白球。 3、两同学都写出 0-9 中的一个数字，用试验的方法估计两人所写的数字相同的 概率为。 4、小亮给 3 个好朋友写了 3 封信，可是粗心的小亮在装信

16、时将3 封信随意放到 了 3 个不同的信封中， 请问，能否出现 3 个好朋友都没有收到应该是自己的信的 情况？你能设计一个模拟试验估计出现3 个好朋友都没有收到应该是自己的信 的概率吗？ 本章大归纳 行模拟试验估计概率用计算器产生随机数进 法估计概率用替代物模拟试验的方 用试验的方法估计概率 用试验估计概率 概率来估计这一事件发生的个随机事件发生的频率用频率估计概率：用一 方法求概率用画树状图或列表格的 概率的进一步认识 思想方法归纳： 1、数形结合思想： 在概率知识中，数形结合思想主要体现在与扇形图相结合及利用数轴表示概率 等。 例 1 下面是对某校 10 名女生进行身高测量的数据表（单位：

17、cm） ，但其中的一 个数据不慎丢失（用x 表示） 身高156 162 x 165 157 168 165 163 170 159 从这 10 名女生中任意抽取一名，身高不低于162cm的事件的可能性，可以用图 中的点表示（从 A,B,C,D,E 五个字母中选择一个符合题意的） 例 2 如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针 同时落在偶数上的概率是。 2、方程思想 在概率中方程思想主要应用于求总体或各部分的数目 例 3 一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色外没有其它任何区 别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球是黄球的概率是 5 2 （1）取出一个球是绿

18、球的概率是多少？ （2）如果袋中的黄球有18 个，那么袋中的绿球有多少个？ 例 4 一个布袋中有 8 个红球和 16个白球，它们除颜色外都相同 （1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率。 （2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使 从布袋中摸出一个球是红球的概率是 8 5 ，问取走了多少个白球？ （要求通过列式 或方程解答） 3、列举法 列举法在丘事件发生的概率中的应用主要体现在将所有可能的情况运用画树状 图或列表一一列举出来 例 5 图中是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃和方块，将它们分别重 新洗牌后背面朝上， 从两组排钟各摸出一张， 那么摸出的两张牌的牌面数

19、字之和 等于 5 的概率是多少？ 考点 1 概率的计算 考点突破：求简单事件发生的概率主要是用列举法把所有可能的情况列举出来， 利用概率公式求解。 例 1 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球把它们分别标号为1,2,3,4，随机地摸 出一个小球然后放回， 再随机的摸出一个小球， 则两次摸出的小球的标号之和等 于 4 的概率是。 例 2 现有完全相同的四张卡片，上面分别标有数字-1，-2,3,4把卡片背面朝上洗 匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 例 3 我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中”立定跳远“”100 米跑“” 肺活量测试 “为必测项目， 另一项为”引

20、体向上“和“推铅球” 中选择一项测试。 小亮、小明和大刚从中选择同一个测试项目的概率是。 考点 2 概率的应用 考点突破：概率的应用主要是利用概率的计算公式求有关未知量的值，解决这类 问题的关键是根据其计算公式列方程求解。 例 4 在一个不透明口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3 只， 白球 n 只，若从口袋中任取一个球，摸出白球的概率是 4 3 ，则 n= 。 考点 3 概率与其它数学知识的综合 考点突破：概率常与其它数学知识综合考察， 其中与函数结合是最为常见的题目， 综合性较强，属于中考题目中的中等题。 例 5 四张小卡片上分别写有数字1,2,3,4它们除数字外没有任何区别，

21、 现将它们 放在盒子里搅匀。 （1）随机的从盒子里抽取一张，求抽到数字为3 的概率； （2）随机的从盒子里抽取一张，将数字记为x，不放回，再抽取第二张将数字 标为 y，请你用画树状图或列表的方法表示所有有可能的结果，并求出点（x,y） 在函数 x y 2 图像上的概率 综合训练 1、下列说法正确的是（） A、在同一年出生的367 名学生中，至少有两人的身日是同一天 B、彩票中奖的机会是1，买 100张一定会中奖 C、天气预报说明天下雨的概率是50，所以明天将有一半的时间在下雨 D、抛一枚图钉钉尖着地和钉帽着地的概率一样大。 2、柜子里有 2 双鞋，随机的取出两只刚好配成一双鞋的概率是。 3、某

22、城市有 10000辆自行车，其编号为00001到 10000，则某人偶然遇到一辆 自行车，其牌照号大于9000 的概率是。 4、一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3 个红球和两个绿球，随机从 中摸出一球，不在放回袋中， ，充分搅匀后再随机摸出一球，两次都摸出红球的 概率是。 5、投掷两枚普通的正方体骰子，求： （1）点数之和为” 11“的概率 （2）点数之和为” 3 的倍数”的概率 6、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为 估计白球的个数， 小明向其中放入 8 个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜 色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400 次，其中 80 次摸到黑球，试估计 盒中白球的个数。 7、这是一个两人转盘游戏，准备3 个如图所示的可以自由转动的转盘。甲、乙 两人中甲转动转盘， 乙记录指针停下时所指的数字， 当三个数字中有数字是相同 的时，就算甲赢；否则就算乙赢，请判断这个游戏是否公平。