北师大版初中数学八年级上册《二元一次方程组》专题专练.pdf

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1、北师大版初中数学八年级上册二元一次方程组专题专练 二元一次方程组是初中数学中重要的一章，在中考中也越来越 受到重视，主要考查方程组的解法、列方程组解应用题，利用方程的 定义和特征构造新的方程组等，为了达到更好的复习效果， 特分五个 专题来进行复习。 专题一二元一次方程组的有关概念 一二元一次方程组的概念 35 20 xy xy ，像这样含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方 程叫做二元一次方程组。 重点提示： 二元一次方程组是一个从整体上把握的概念，它的本 质是：在这个方程组中，只有两个未知数，并且含未知数的项的次数 都是 1.它并不要求每个方程都含有两个未知数。 二二元一次方程组的解的概念

2、 二元一次方程中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 重点提示：判断一组数是不是一个二元一次方程组的解，就是看 这就组数是否适合每个方程，若适合就是，若不适合，就不是。 典例分析： 例 1 下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) A 1 2 zx yx B 4 4 yx xy C 2 1 1 yx y x D 103 52 yx yx 析解：通过观察，发现A中含有三个未知数，所以不是二元一次 方程组， B中第一个方程为二次方程，所以不是二元一次方程组，C 中第一个方程组中的 y 1 的次数不是 1，所以不是二元一次方程组， 运 用排除法，故选 D。 例 2 判断下列各组数是不是二元一次

3、方程组 103 52 yx yx 的解。 （1） 7 7 y x (2) 1 3 y x 析解：要想判断一组数是不是方程组的解，一是将其代入，二是 把方程组解出来，此题中只要把两组数分别代入既可知道（1）不是 方程组的解，（2）是方程组的解。 例 3 已知12)2( 3 2 yxk k 是二元一次方程， 求 k 的值。 析解：此题是利用二元一次方程的定义来出的题，因为是二元一 次方程，所以各未知数的指数应为1， 所以 x 的系数为 1， 既13 2 k, 所以,4 2 kk=2. 例 4 （08 杭州）已知 1 1 x y 是方程23xay的一个解， 那么a 的值是（）A1B3C3D1 析解：

4、析解：此题是利用二元一次方程组的解的定义，需要转换 未知数，解题时可将 1 1 x y 代入2 3xay，既可得： 2+a=3,a=1,故选 A. 练习一 1 已知132 4nmnm yx是关于x、y 的二元一次方程，则 m=_,n=_. 2 已知 1 2 y x 是关于 x、y 的二元一次方程组 1 2) 1(2 ynx ymx 的解， 试求 2008 )(nm的值。 专题二二元一次方程组的解法 一解二元一次方程组的基本思路和基本方法 解二元一次方程组的基本思想是“消元”，既把“二元”变为“一 元” ，解二元一次方程组的基本方法有两种：一是代入消元法，二是 加减消元法。 在代入消元法中，选择

5、一个系数较简单的变形，用一个求知数代 替另一个求知数，代入另一个方程实现消元求解 在加减消元法中， 使两个方程中对应的同类项系数变成相等或互为相 反数，对应相减或相加消去一个求知数求解。 解二元一次方程组时到底采用哪种方法，要对具体方程组进行 具体分析，一般地说，当方程组中有一个方程的某一个求知数的绝对 值是 1 或有一个方程的常数项为 0 时，用代入法简单；当两个方程 中某一个求知数的系数的绝对值相等或成倍数时，用加减法简单。 典例分析 : 例 1（08 怀化）方程组 3 , 5 yx yx 的解是_ 分析：结合方程组特点， 因为方程组中两个未知数的系数一个相 等，一个互为相反数，所以可以用

6、加减法来解。 解： )2(3 ),1(5 yx yx (1)+(2)得：2x=8,所以 x=4，把 x=4 代入（1）得： y=1,所以方程组的解是： 1 4 y x 。 例 2（08 临沂）已知 x、y 满足方程组 , 42 , 52 yx yx 则 xy 的值为 _ 析解：因为题中要求的是xy 的值，所以可先把方程组解出来， 因为代入既可，但仔细观察可以发现，这两个方程中的x、y 的系数 恰好对称，若直接相减，便可得到答案， ),2(42 ),1(52 yx yx ,(1) (2)得： xy=1. 二二元一次方程组的特殊方法-图像法。 第一步将二元一次方程组中的两个方程转化为一次函数表达式

7、。 第二步在同一座标系中作出这两个一次函数的图像，交点就是方程组 的解。 重点提示： 由于作图难以十分准确， 因而这样得到的解只能是近 似解，所以这种做法的考点往往是已知图像来解二元一次方程组。同 时由于直线有两种位置关系，当两直线平行时，方程组无解；当两直 线相交时，方程组有唯一解。 例 3（08 南通）用图象法解某二元一次方程 组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次 函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程 组是【】 A 20 3210 xy xy ， B 210 3210 xy xy ， P（1，1） 1 1 2 2 3 3 1 1 O x y （第 16 题） C 210 32

8、50 xy xy ， D 20 210 xy xy ， 分析: 从图象上可以看出，方程组的解是 1 1 y x ，只要把解代入方 程组试一下就可以了，通过代入可以知道所解的二元一次方程组是 D. 练习： 1 解方程组 )2( , 862 ) 1( ,023 yx yx （提示：用代入法。） 2 解方程组 )5(3) 1( 5 5) 1( 3 xy yx 考点三利用二元一次方程组解图象题 本专题主要涉及有关图象问题，解决的关键在于从图象中读出条 件，列出相关的方程组解决问题。 例 1 （08 白银等九市州试题） 中央电视台 2 套“ 开 心辞典 ” 栏目中，有一期的题目如图6 所示，两个天 平都

9、平衡，则与 2 个球体相等质量的正方体的个数为 （） A5 B4 C3 D2 分析：从图中可以看出，两个球的质量等于五个圆柱体的质量， 两个正方体的质量等于两个圆柱的质量，列方程组可得。 解：我们可以设球的质量为x，圆柱的质量为 y, 正方体的质量为 z，所以 )2(22 ) 1(52 zy yx 由(2)可得，y=z,代入（1）得：2x=5z，所以正方 体的个数为 5，故选 A. 练习三： 1（08河北省）右图所示的两架天平保持平衡，且 每块巧克力的质量相等， 每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 _g 专题四列二元一次方程组解实际问题 列二元一次方程组解应用题是体现学生能力的重要题型

10、，它的一 般步骤是：弄清题意和题中的数量关系，特别注意隐含条件。设 出求知数如（x,y ） 。 找出能够表示应用题全部含义的两个等量关系， 根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程 组。解这个方程组，求出求知数的值。检验是否符合实际并写出 答案。 典例分析： 例 1 （08 山东日照）为迎接2008 年奥运会，某工艺厂准备生 产奥运会标志 “ 中国印 ” 和奥运会吉祥物 “ 福娃” 该厂主要用甲、乙两 种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5 盒和 10 盒该厂购进甲、 乙原料的量分别为20000盒

11、和 30000 盒，如果所进 原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 分析：在本题中，存在两个等量关系，分别是两种原料的数量， 当生产结束时，两种原料正好用完，所以根据题意可得方程组。 解：设生产奥运会标志x 套，生产奥运会吉祥物y 套根据题意， 得 巧克力果冻 50g 砝码 00300103 0020054 .yx ,yx 2得： 5x=10000 x=2000 把 x=2000代入得： 5y=12000 y=2400 答： 该厂能生产奥运会标志2000 套， 生产奥运会吉祥物2400套 例 2（08 威海）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援 灾区我市某企业向灾

12、区捐助价值94 万元的 A，B 两种帐篷共 600 顶已知 A 种帐篷每顶 1700 元，B 种帐篷每顶 1300 元，问 A，B 两 种帐篷各多少顶？ 分析：本题存在两个等量关系，一个两种帐篷总数为600，二是 捐助钱数为 94 万元，因此可列方程组解决. 解：设 A 种帐篷 x 顶，B 种帐篷 y 顶，根据题意，列方程组 9 4 0 0 0 01 3 0 01 7 0 0 6 0 0 .yx ,yx 解，得 =400, =200. x y A 种帐篷 400顶，B 种帐篷 200顶 例 3（08 益阳）5 12 汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成 了许多堰塞湖据中央电视台报道：唐家山堰

13、塞湖危险性最大为 了尽快排除险情， 决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出 土石方 134 万立方米，开挖2 天后，为了加快施工进度，又增调了 大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2 倍还多 1 万立方米， 结果共用 5 天完成任务，比计划时间大大提前 根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设 备后每天挖土石方多少万立方米？ 分析：众志成城，抗震救灾，是每一个中国人共同的心声，消除堰 塞湖危险刻不容缓，本题中原计划的工效和加速后的工效关系是一 个等量关系，挖出的总土石方是固定的，所以可列方程组。 解：设原计划每天挖土石方x 万立方米，增调人员和设备后每天 挖 y

14、万立方米 可列出方程组： 4.13)25(2 12 yx xy 解之得： 6.3 3. 1 y x 答：原计划每天挖土石方1.3 万立方米，增调人员和设备后 每天挖 3.6 万立方米 例 4（08 济南）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛 勤工作的教师献一束鲜花， 每 束由 4 支鲜花包装而成，其中 有象征母爱的康乃馨和象征 尊敬的水仙花两种鲜花，同一 种鲜花每支的价格相同请你 根据第一、二束鲜花提供的信 息，求出第三束鲜花的价格 分析：此题是一个图象信息题，由图可知，第一束花有3 支康乃 馨 1 支水仙花，第二束花有 2 支康乃馨和 2 支水仙花， 由前两束花的 价格就可求出康乃馨和

15、水仙花的单价，进而求出第三束花的价格。 共计 19 元共计 18 元 第三束 水仙花 康乃馨 解：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元 由题意得： 319 2218 xy xy 解得： 5 4 x y 第三束花的价格为 353417xy 答：第三束花的价格是17 元 练习四1 （08 湘潭） 四川的强烈地震，牵动着花蕊小朋友的心 . 花 蕊小朋友用 280 元，买了每支 0.2元的铅笔和每支5 元的钢笔一共 200 支， 寄给灾区的小朋友， 请你计算出她买的铅笔和钢笔的支数. 2（08 长沙） “512”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服 装厂原有 4 条成衣生产线和 5 条童装生产线， 工厂决

16、定转产， 计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区。若启用1 条成衣生产线和2 条 童装生产线，一天可以生产帐篷105 顶；若启用 2 条成衣生产线和 3 条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶. （1） 每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？ （2）工厂满负荷全面转产， 是否可以如期完成任务？如果你是厂 长，你会怎样体现你的社会责任感？ 3（08 义乌）已知A、B互余，A比B大30.设A、B的度数分 别为x、y，下列方程组中符合题意的是（） A 180, 30 xy xy B 180, 30 xy xy C 90, 30 xy xy D 90, 30 xy xy 4（0

17、8 烟台）据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.20.5之 间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大 现将 4.94kg的衣服放入最大容量为15kg 的洗衣机中，欲使洗衣 机中洗衣粉的含量达到0.4%，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多 少匙洗衣粉？（ 1 匙洗衣粉约 0.02kg，假设洗衣机以最大容量洗涤） 专题五二元一次方程组与一次函数 二元一次方程组与一次函数在本质上一样的，都包含两个未知 数，因此我们既可以用一次函数的图像来解二元一次方程组，也可以 用列二元一次方程组的方法来求解一次函数的解析式。前者在文中已 有所述，在此只说一下利用列二元一次方程组来求一次函数的问题。 例 1（0

18、8 河北省）如右图，直线 1 l的解析表达式为33yx， 且 1 l与x轴交于点D，直线 2 l经过点AB，直 线 1 l， 2 l交于点C （1）求点D的坐标； （2）求直线 2 l的解析表达式； （3）求ADC的面积； （4）在直线 2 l上存在异于点C的另一点P，使 得 ADP与ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标 分析：此题体现了方程组与一次函数的关系，要解决这个问题， 就要运用方程思想， 建立起 k 与 b 间二元一次方程组， 解之既得函数 解析式，在第四问中，因为要满足两三角形面积相等，就得使C、P 两点关于点 A 对称，这样就可以写出P点坐标了。 解： （1）由33yx，令0y

19、，得330x1x(10)D ， （2） 设直线 2 l的解析表达式为ykxb， 由图象知：4x，0y；3x， l1 l2 x y D O 3 B C A 3 2 （4，0） 3 2 y 40 3 3. 2 kb kb ，3 2 6. k b ， 直线 2 l的解析表达式为 3 6 2 yx （3）由 33 3 6. 2 yx yx ， 解得 2 3. x y ， (23)C， 3AD， 19 33 22 ADC S （4）因为两三角形面积相等，所以C、P 关于 A 点对称，所以 P 点 纵坐标与 C 点相反，横坐标与 C 点到点 A 的距离相等且分居A 点两 旁，所以点坐标为(6 3)P， 练

20、习 1 （08 中山）已知直线 1 l：54xy和直线 2 l： ：4 2 1 xy，求两条 直线 1 l和 2 l的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪 一个象限上 附练习答案： 练习一 1 .2,3 nm 2 把 1 2 y x 代入方程组，既可得到一个关于m 、n 的新的二元一次方 程组， 112 2)1(4 n m 解之得： 0 1 n m , 所以 2008 )(nm=1)1( 2008 . 练习二 1 解是 1 1 y x 2 提示：先把每一个方程化简得 2035 83 xy yx ，然后用加减法解之得： 7 5 y x 练习三20 练习四 1 解：设买的铅笔为x 支，买的

21、钢笔为y 支 根据题意得 : 200 0.25280 xy xy 解得 150 50 x y 2 解：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x、y 顶，则 17832 1052 yx yx ， 解得 x=41，y=32 答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41 顶，每条童装生产线平均 每天生产帐篷 32 顶 (2)由 3（4 41+5 32）=9721000知，即使工厂满负荷全面转产， 还不能如期完成任务 可以从加班生产、 改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其 它厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献 3C 4 解：设洗衣机中需加入x千克水， y匙洗衣粉 由题意得 0.024.9415 0.0215 0.4 xy y ， % 解得 10 3 x y ， 所以，洗衣机中需加入10 千克水， 3 匙洗衣粉 练习五：1 解：由题意得， 45, 1 4. 2 yx yx 解得， 2, 3. x y 直线 1 l和直线 2 l的交点坐标是（ 2，3） 交点（ 2，3）落在平面直角坐标系的第四象限上