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1、2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷） 数学（文史类） 一选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分） 1. 若直线011yxa与圆02 22 xyx相切，则a的值为 1, 1)(A2,2)(B1 )(C1)(D 2. 已知nm,为异面直线，平面m，平面n，l，则l 都 相 交与nmA,)(中至少一条相交与nm,)B( 都 不 相 交与nm,)C(中的一条相交至多与nm,)D( 3. 不等式011xx的解集是（） 10)(xxA10)(xxxB且 11)(xxC11)(xxxD且 4. 函数 x ay在1 , 0上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（） 2 1 )(
2、A2)(B4)(C 4 1 )(D 5. 在2, 0内，使xxcossin成立的x取值范围为（） 4 5 , 2 , 4 ) (A , 4 )(B 4 5 , 4 )(C 2 3 , 4 5 , 4 )(D 6. 设集合 Zk k xxM, 4 1 2 ， Zk k xxN, 2 1 4 则（） NMA)(MB)(NNC)(MNMD)( 7. 椭圆 55 22 kyx的一个焦点是2, 0，那么k（） 1)(A1)(B5)(C5)(D 8. 正六棱柱 111111 FEDCBAABDCEG底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对 角线DE1与 1 BC所成的角是（） o A 90)( o B
3、 60)( o C 45)( o D 30)( 9函数, 0 2 xcbxxy是单调函数的充要条件是（） 0)(bA0)(bB0)(bC0)(bD 10已知10ayx，则有（） 0l o g)(xyA a 1log0)(xyB a 2l o g1)(xyC a 2log)(xyD a 11从正方体的6 个面中选取3个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（） 种8)(A种12)(B种16)(C种20)(D 12 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，O为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点3, 1,1 , 3BA， 若 点C满 足 OBOAOC，其中有R,且1，则点C的轨迹方程为( ) 01123)(
4、yxA521)( 22 yxB 02)(yxC052)(yxD 二填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分） 13. 据新华社2002 年 3 月 12 日电， 1985 年到 2000 年间，我国农村人均居住面积如图所 示，其中， 从年到年的五年间 增长最快 14已知 , 2 sin2sin， 则cot 15甲、乙两种冬小麦试验品种连续5 年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2 ）: 品种第一年第二年第三年第四年第五年 甲9.89.910.11010.2 乙9.410.310.89.79.8 其中产量比较稳定的小麦品种是（复查至此） 16设函数xf在,内有定义，下列函数 x
5、fy1； 2 2xxfy； xfy3；xfxfy4 中必为奇函数的有（要求填写正确答案的序号） 三解答题（本大题共6 小题，共74 分） 17 （本题满分12 分）在等比数列 n a中，已知64,24 5346 aaaa，求 n a前 8 项的 和 8 S 18 （ 本 题 满 分12分 ） 已 知 2 ,0,12coscos2sin2sin 2 ， 求 t a ns i n 与的值 19 （本题满分12 分） （注意：考生在以下（甲）、 （乙）两题中选一题作答，如果两题都答， 只以下（甲）计分） （甲） 如图，正三棱柱 111 CBAABC的底面边长为a，侧棱长为a2 （1）建立适当的坐标系
6、，并写出点 11, ,CABA的坐标； （2）求 1 AC与侧面 11A ABB所成的角 （乙）如图，正方形ABEFABCD ,的边长都是1， 而且平面ABEFABCD ,互相垂直点M 在AC上移动，点N在BF上移动，若20aaBNCM （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小 20 （本题满分12 分） 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （相互独立） ， （1）求至少3 人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3 ？ 21 （本题满分12 分）已知0a，函数, 0,
7、3 xaxxf，设0 1 x，记曲线 xfy在点 11, xfx处的切线为l （1）求l的方程； （2）设l与x轴交点为0 , 2 x 证明： （） 3 1 2 ax；（）若 3 1 2 ax则 12 3 1 xxa 22 （本题满分14 分）已知两点0 , 1,0, 1NM，且点P使MNMP，PNPM， NPNM成公差小于零的等差数列 （1）点 P的轨迹是什么曲线？ （2）若点 P坐标为 00,y x，记为PM与PN的夹角，求tan 一、 1、D 2 、 B 3 、D 4 、B 5、C6、B 7、B 8 、 B 9 、A 10、D 11、B 12、D 二、填空题 13、 1995，2000；
8、14、 3 3 ； 15、甲种；16、 （2） ， （4） ； 三、解答题 17、设数列 n a的公比为q，依题意， .85 1 1 , 1,2 ,255 1 1 , 1, 2 .2, 31,)1(8 ,2, 31) 1(8 8 ,64 ) 1(,.241 8 1 81 8 1 81 23 1 223 1 3 1 2 3 153 23 146 q qa Saq q qa Saq qqqa qqqa qa qaaa qqaaa 当 当 得式代入到将 舍去。式，得代入到将 18、由倍角公式, 1cos22cos,cossin22sin 2 及原式得 0c o s2c o ss i n2c o ss
9、 i n4 2222 ，即 01sinsin2cos2 22 ，也即 01sin1sin2cos2 2 0cos,01sin, 2 ,0 2 ， 01sin2，即 2 1 sin 6 ， 3 3 tan 19.（甲） （1） 如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，以 1 AA所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面 11A ABB垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系 由已知得)0 ,0 ,0(A，)0,0(aB， )2, 0,0( 1 aA，)2, 2 , 2 3 ( 1 a a aC （2）坐标系如上，取 11B A的中点M，于是有)2, 2 ,0(a a M，连AM， 1 MC
10、有 1 MC)0,0, 2 3 (a，且AB)0 ,0(a， 1 AA)2,0, 0(a， 由 1 MCAB0， 1 MC 1 AA0，所以， 1 MC面 11A ABB， 1 AC与AM所成的角就是 1 AC与侧面 11A ABB所成的角 1 AC)2, 2 , 2 3 (a a a，AM)2, 2 ,0(a a ， 1 ACAM 22 2 4 9 2 4 0aa a ， | 1 AC 2 22 2 44 3 a aa a3，| AMaa a 2 3 2 4 2 2 ， AMAC ,cos 1 2 3 2 3 3 4 9 2 aa a ， 所以， 1 AC与AM所成的角，即 1 AC与侧面
11、11A ABB所成的角为30 （乙） （1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得 MPNQ，且MPNQ，即MNQP是平行四边形 MNPQ 由已知aBNCM，1BEABCB 2BFAC 又 2 1 aCP ， 2 1 aBQ ，即 2 a BQCP MNPQ 22 )1(BQCP 22 ) 2 () 2 1 ( aa 2 1 ) 2 2 ( 2 a)20(a （）由（） ，MN 2 1 ) 2 2 ( 2 a 所以，当 2 2 a时，MN 2 2 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 2 2 （）取MN的中点G，连结AG、BG， ANAM，B
12、NBM，G为MN的中点 AGMN，BGMN，AGB即为二面角的平面角 又AGBG 4 6 ，所以，由余弦定理有 3 1 4 6 4 6 2 1 4 6 4 6 cos 22 故所求二面角 3 1 arccos 20 （1）至少 3 人同时上网的概率等于1 减去至多2 人同时上网的概率， 即 66 6 61 6 60 6 )5 .0()5 .0()5.0(1CCC 32 21 64 1561 1 （2）至少 4 人同时上网的概率为 66 6 65 6 64 6 )5 . 0()5.0()5. 0(CCC3.0 32 11 ， 至少 5 人同时上网的概率为 66 6 5 6 )5 .0)(CC3.
13、0 64 7 ， 因此，至少5 人同时上网的概率小于3.0 21. （1）)(xf的导数 2 3)(xxf，由此得切线l的方程 )(3)( 1 2 1 3 1 xxxaxy， （2）依题意，在切线方程中令0y，得 2 1 3 1 2 1 3 1 12 3 2 3x ax x ax xx， （） )32( 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 axax x ax0)2()( 3 1 3 1 1 2 3 1 1 2 1 axax x ， 3 1 2 ax，当且仅当 3 1 1 ax时取等成立 （）若 3 1 1 ax，则0 3 1 ax，0 3 2 1 3 1 12 x ax xx，且由（） 3 1 2 ax， 所以 12 3 1 xxa