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1、2003 年普通高等学校春季招生考试 数学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 2 页 .第卷 3 至 8 页.共 150 分.考试时间120 分钟 . 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式 )sin()sin( 2 1 cossin )sin()sin( 2 1
2、 sincos )cos()cos( 2 1 coscos )cos()cos( 2 1 sinsin 一、选择题： 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1若集合PMxyyPyyM x 则,1|,2|( ) A 1|yyB 1|yyC0|yyD0|yy 2若 x x xf 1 )(，则方程xxf)4(的根是 ( ) A 2 1 B 2 1 C2 D 2 3设复数 2 1 21 arg, 2 3 2 1 ,1 z z iziz则( ) A 12 13 B 12 7 C 12 5 D 12 5 4函数 )1(1 1 )( xx xf
3、 的最大值是 ( ) A 5 4 B 4 5 C 4 3 D 3 4 正棱台、圆台的侧面积公式 lccS)( 2 1 台侧 其中c、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式 3 3 4 RV球 其中 R 表示球的半径 5在同一坐标系中，方程)0(01 22222 babyaxybxa与的曲线大致是 ( ) x y x y x y x y O OO O A BC D 6若 A，B，C 是 ABC 的三个内角， 且) 2 (CCBA，则下列结论中正确的是( ) ACAsinsinBCAcoscosCtgCtgADctgCctgA 7椭圆( sin3 ,cos54 y x 为
4、参数）的焦点坐标为( ) A （0，0） ， （0， 8）B （0，0） ， （ 8，0） C （0，0） ， （0，8）D （0，0） ， （8，0） 8如图，在正三角形ABC 中， D，E，F 分别为各边的中点， G，H，I，J 分别为 AF， AD，BE，DE 的中点 .将 ABC 沿 DE，EF， DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度 数为 ( ) A90B60C45 D0 9某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A42 B30 C20 D12 10已知直线1)0(0 22 yxa
5、bccbyax与圆相切，则三条边长分别为|a|，|b|， |c|的三角形 ( ) A是锐角三角形B是直角三角形C是钝角三角形D不存在 11若不等式6|2| ax的解集为（1，2） ，则实数a 等于 ( ) A8 B2 C 4 D 8 12在直角坐标系xOy 中，已知 AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0yxyx， 则 AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A95 B91 C88 D75 A B C DE FG H J L 2003 年普通高等学校春季招生考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第卷（非选择题共 90 分） 注意事项： 1第卷共6 页，用钢笔或
6、圆珠笔直接答在试题卷中. 2答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数 二、填空题： 本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.把答 案填在题中横线上. 13如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有 适量的水 .若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r，则 r R 14在某报自测健康状况的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（）内 年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱毫米）110 115 120 125 130 135 （）
7、145 舒张压（水银柱毫米）70 73 75 78 80 83 （）88 15如图， F1，F2分别为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 的左、右焦点， 点 P 在椭圆上， POF2是面积为 3的正三角形，则 b 2 的值是 16若存在常数0p，使得函数 )()(pxfxf满足)(),)( 2 (xfRx p pxf则的一个正 周期为 三、解答题： 本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分12 分）解不等式：. 1) 1(log)2(log 2 1 2 2 1 xxx 18 （本小题满分12 分） 已知函数)(, 2cos 4sin5co
8、s6 )( 24 xf x xx xf求 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. r r （ 1） （ 2） x y O P F 1 F 19 （本小题满分12 分） 如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F 分别为棱AB ， BC 的中点， EFBD=G. （）求证：平面B1EF平面 BDD1B1； （）求点D1到平面 B1EF 的距离 d； （）求三棱锥B1 EFD1的体积 V. 20 （本小题满分12 分） 某租赁公司拥有汽车100 辆. 当每辆车的月租金为3000 元时，可全部租出. 当每辆车 的月租金每增加50 元时， 未租出的车将会增加一辆.
9、租出的车每辆每月需要维护费150 元， 未租出的车每辆每月需要维护费50 元. （）当每辆车的月租金定为3600 元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21 （本小题满分13 分） 如图，在边长为l 的等边 ABC 中，圆 O1为 ABC 的内切圆，圆O2与圆 O1外切，且 与 AB，BC 相切，圆On+1与圆 On外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆 On的面积为)(Nnan. （）证明 n a是等比数列； （）求)(lim 21n n aaa的值 . 22 （本小题满分13 分） 已知动圆过定点P（1， 0）
10、，且与定直线1: xl相切，点 C 在 l 上 . （）求动圆圆心的轨迹M 的方程； A B C D E F G B 1 C 1 D 1 A 1 A B C O 1 O2 （）设过点P，且斜率为3的直线与曲线M 相交于 A，B 两点 . （i）问： ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii）当 ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围. 2003 年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类） （北京卷）参考答案 一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.
11、D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分. 13 3 32 14 （140） （85）153216 2 p 注：填 2 p 的正整数倍中的任何一个都正确. 三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分 12 分. 解：原不等式变形为 )22(log)2(log 2 1 2 2 1 xxx .所以，原不等式 32 30 , 2 03 , 01 , 0) 1)(2( 222 01
12、 , 02 22 2 x x x xx x xx xxx x xx . 故原不等式的解集为 32|xx . 18本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分 12 分. 解：由 Zk k xkxx, 42 , 2 202cos解得得 . 所以)(xf的定义域为 ., 42 |Zk k xRxx且 因为)(xf的定义域关于原点对称，且 )2cos( 4)(sin5)(cos6 )( 24 x xx xf )(),( 2cos 4sin5cos6 24 xfxf x xx 所以 是偶函数 . 当 x xx xfZk k x 2cos 4sin5cos6 )(,
13、42 24 时 1cos3 2cos )1cos3)(1cos2( 2 22 x x xx ， 所以)(xf的值域为 2 2 1 2 1 1|yyy或 19本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分 12 分. （）证法一： 连结 AC. 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是正方形， AC BD，又 AC D1D，故 AC 平面 BDD1B1. E，F 分别为 AB，BC 的中点，故EFAC， EF平面 BDD1B1， 平面 B1EF平面 BDD1B1. 证法二： BE=BF ， EBD= FBD=45， EFBD. 又 EFD1D EF平面 B
14、DD1B1，平面 B1EF平面 BDD1B1. （）在对角面BDD1B1中，作 D1HB1G，垂足为 H. 平面 B1EF平面 BDD 1B1，且平面 B1EF平面 BDD1B1=B1G， D1H平面 B1EF，且垂足为 H，点 D1到平面 B1EF 的距离 d=D1H. 解法一： 在 RtD1HB1中， D1H=D1B1sinD1B1H. 42222 1111BABD ， , 17 4 14 4 sinsin 22 1 1 111 GB BB GBBHBD . 17 1716 17 4 4 1H Dd 解法二： D1HB1 B1BG， GB BD BB HD 1 11 1 1， . 17 1
15、716 14 4 22 2 1 2 1 1 GB BB HDd 解法三： 连结 D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形 DBB1D1面积的一半， 即 2 111 2 1 2 1 BBHDGB ， . 17 1716 1 2 1 1 GB BB HDd （） EFBEFBDEFDB SdVVV 11111 3 1 . 3 16 172 2 1 17 16 3 1 20本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分 12 分. 解： （）当每辆车的月租金定为3600 元时，未租出的车辆数为 12 50 30003600 ，所以这时租出了 88 辆车 . （）设每辆车的
16、月租金定为x元，则租赁公司的月收益为 A B C D E F G B 1 C1 D 1 A1 B 1 BG D D 1 H B 1 BG D D 1 H 50 50 3000 )150)( 50 3000 100()( x x x xf ， 整理得 307050)4050( 50 1 21000162 50 )( 2 2 xx x xf 所以，当 x=4050 时，)(xf最大， 最大值为 307050)4050(f ， 即当每辆车的月租金定为4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050 元. 21本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分 1
17、3 分. （）证明：记rn为圆 On的半径，则 , 6 3 30 2 1 ltg l r . 2 1 30sin 1 1 nn nn rr rr 所以 , 12 ),2( 3 1 2 2 111 l ranrr nn 于是 9 1 )( 2 11n n n n r r a a 故 n a成等比数列 . （）解：因为 ),() 9 1 ( 1 1 Nnaa n n 所以 . 32 3 9 1 1 )(lim 2 1 21 la aaa n n 22本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系， 考查运用解析几何的方法解决数学问题的能 力. 满分 13 分. 解： （）依题意，曲线M 是以点
18、 P 为焦点，直线l 为准线 的抛物线，所以曲线M 的方程为xy4 2 . （） （i）由题意得，直线AB 的方程为 xy xy xy 4 ) 1(3 )1(3 2 由 消 y得 .3, 3 1 ,03103 21 2 xxxx解得 所以 A 点坐标为 ) 3 32 , 3 1 ( ，B 点坐标为（ 3， 32 ） ， . 3 16 2| 21 xxAB 假设存在点C（ 1，y） ，使 ABC 为正三角形，则 |BC|=|AB| 且|AC|=|AB| ，即 222 222 ) 3 16 () 3 2 () 1 3 1 ( ,) 3 16 ()32() 13( y y B O n-1 On A
19、C ) 3 32 , 3 1 ( )32,3( xy4 2 l 32 3 32 x y A O B P(1,0) -1 由得 ,) 3 32 () 3 4 ()32(4 2222 yy . 9 314 y解得 但 9 314 y 不符合，所以由，组成的方程组无解. 因此，直线 l 上不存在点C，使得 ABC 是正三角形 . （ii ）解法一： 设 C（ 1，y）使 ABC 成钝角三角形， 由 32 1 )1(3 y x xy 得 ， 即当点 C 的坐标为（ 1， 32 ）时， A，B，C 三点共线，故 32y . 又 2222 3 34 9 28 ) 3 32 () 3 1 1(|y y yA
20、C ， 2222 3428)32() 13(|yyyBC， 9 2 5 6 ) 3 16 (| 22 AB . 当 222 |ABACBC ，即 9 256 3 34 9 28 3428 22 yyyy ， 即CABy,3 9 2 时为钝角 . 当 222 |ABBCAC ，即 9 256 3428 3 34 9 2822 yyyy ， 即 CBAy时3 3 10 为钝角 . 又 222 |BCACAB，即 22 3428 3 34 9 28 9 256 yyy y ， 即 0) 3 2 ( ,0 3 4 3 3 422 yyy . 该不等式无解，所以ACB 不可能为钝角 . 因此，当 ABC
21、 为钝角三角形时，点C 的纵坐标 y 的取值范围是 )32( 9 32 3 310 yyy或 . 解法二： 以 AB 为直径的圆的方程为 222 ) 3 8 ()3 3 2 () 3 5 (yx . 圆心 )3 3 2 , 3 5 ( 到直线1: xl的距离为 3 8 ， 所以，以 AB 为直径的圆与直线l 相切于点 G ) 3 32 , 1( . 当直线 l 上的 C 点与 G 重合时， ACB 为直角，当C 与 G 点不重合，且A，B，C 三点不共线时， ACB 为锐角，即 ABC 中 ACB 不可能是钝角 . 因此，要使 ABC 为钝角三角形，只可能是CAB 或 CBA 为钝角 . 过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 9 32 1). 3 1 ( 3 3 3 32 yxxy得令 . 过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 ) 3( 3 3 32xy . 令 3 3 10 1yx得 . 又由 32 1 ) 1(3 y x xy 解得 ，所以，当点C 的坐标为（ 1， 32 ）时， A，B，C 三点 共 线，不构成三角形. 因此，当 ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标 y 的取值范围是 ).32( 9 32 3 310 yyy或