2003年江苏省高考数学试卷.pdf

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1、第 1 页（共 21 页） 2003 年江苏省高考数学试卷 一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分） 1 （ 5分）如果函数yax 2+bx+a 的图象与 x 轴有两个交点，则点（ a，b）在 aOb 平面上的 区域（不包含边界）为（） AB CD 2 （ 5 分）抛物线yax 2 的准线方程是y2，则 a 的值为（） ABC8D 8 3 （ 5 分）已知x （，0） ，cosx，则 tan2x 等于（） ABCD 4 （ 5 分）设函数若 f（x0） 1，则 x0的取值范围是（ ） A （ 1，1）B （ 1，+） C （， 2）（ 0， +）D （， 1）（ 1，+） 5 （

2、 5 分） O 是平面上一定点，A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ，0，+） ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的（） A外心B内心C重心D垂心 6 （ 5 分）函数，x （1，+）的反函数为（） A，x （0，+） 第 2 页（共 21 页） B， x （0，+） C， x （， 0） D，x （， 0） 7（5 分） 棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心， 以这些线段为棱的八面体的体积为（） ABCD 8 （ 5 分）设 a0，f（x） ax 2+bx+c，曲线 yf（x）在点 P（ x 0，f（x0） ）处切线的倾斜 角的取值范围为0，则 P 到曲线 yf（x）对称

3、轴距离的取值范围为（） A0，B0，C0，|D0，| 9 （ 5 分）已知方程（x 22x+m） （x22x+n） 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列， 则|mn|等于（） A1BCD 10 （5 分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0） ，直线 yx1 与其相交于M、 N 两点， MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（） A1B1 C 1D1 11 （5 分）已知长方形的四个项点A（0，0） ，B（ 2，0） ， C（2，1）和 D（0，1） ，一质点 从 AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为 的方向射到BC 上的点 P1后，依次反射到CDDA 和 AB 上的点 P2 P3和

4、P4（入射角等于反射角） ，设 P4坐标为（ x4，0） ，若 1x42，则 tan的取值范围是（） A （，1）B （，）C （，）D （，） 12 （5 分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A3B4C3D6 第 3 页（共 21 页） 二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分 16 分） 13 （4 分）在的展开式中，x 3 的系数是（用数字作答） 14 （4 分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200 辆、 6000 辆和 2000 辆，为检验 该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46 辆进行检验， 这三种型号的轿车依次应 抽取辆、辆、辆 15

5、（4 分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图） 现要栽种4 种不 同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种 （以数字作答） 16 （4 分）对于四面体ABCD，给出下列四个命题 若 ABAC，BDCD，则 BCAD ； 若 ABCD，ACBD，则 BCAD ； 若 ABAC，BDCD，则 BCAD ； 若 ABCD，BD AC，则 BCAD 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题（共6 小题，满分74 分） 17 （12 分）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验 （）求恰有一件不

6、合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率（精确到 0.001） 18 （12 分）已知函数f（x） sin（x+） （ 0，0 ）是 R 上的偶函数，其图象关 于点对称，且在区间上是单调函数，求和 的值 19 （12 分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB90，侧 棱 AA12，D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重 心 G （）求A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （）求点A1到平面 AED 的距离 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）已知常数a0，向量（ 0， a）

7、 ，（ 1，0） ，经过原点O 以+ 为方向 向量的直线与经过定点A （0，a）以2 为方向向量的直线相交于点P，其中 R试 问：是否存在两个定点E、F，使得 |PE|+|PF|为定值若存在，求出E、F 的坐标；若不 存在，说明理由 21 （12 分）已知a0，n 为正整数 （）设y（ xa） n，证明 y n（xa）n1； （）设 fn（x） xn（xa）n，对任意 na，证明 fn+1（ n+1）（ n+1）fn（n） 22 （14 分）设 a0，如图，已知直线l：yax 及曲线 C：y x 2，C 上的点 Q 1的横坐标为 a1（0 a1a） 从 C 上的点 Qn（ n1）作直线平行于

8、x 轴，交直线l 于点 Pn+1，再从点 Pn+1作直线平行于 y 轴，交曲线C 于点 Qn+1Qn（n1，2，3，）的横坐标构成数列 an （）试求an+1与 an的关系，并求an 的通项公式； （）当时，证明； （）当a1 时，证明 第 5 页（共 21 页） 2003 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分） 1 （ 5分）如果函数yax 2+bx+a 的图象与 x 轴有两个交点，则点（ a，b）在 aOb 平面上的 区域（不包含边界）为（） AB CD 【分析】 由 y ax2+bx+a 的图象与 x 轴有两上交点，知0；进一步整

9、理为a、b 的二 元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可 【解答】 解：因为函数yax2+bx+a 的图象与 x 轴有两个交点， 所以 a0， b24a20，即（ b+2a） （b2a） 0， 即或， 则其表示的平面区域为选项C 故选： C 【点评】 本题主要考查由二元一次不等式组（数）画出其表示的平面区域（形）的能力 2 （ 5 分）抛物线yax 2 的准线方程是y2，则 a 的值为（） ABC8D 8 【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2my 的形式，再根据其准线方程为y 即可求之 【解答】 解：抛物线yax2的标准方程是x2y， 则其准线方程为y2， 第 6 页（共 21 页）

10、 所以 a 故选： B 【点评】 本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式 3 （ 5 分）已知x （，0） ，cosx，则 tan2x 等于（） ABCD 【分析】 先根据 cosx，求得 sinx，进而得到tanx 的值，最后根据二倍角公式求得tan2x 【解答】 解： cosx，x （， 0） ， sinx tanx tan2x 故选： D 【点评】 本题主要考查了三角函数中的二倍角公式属基础题 4 （ 5 分）设函数若 f（x0） 1，则 x0的取值范围是（ ） A （ 1，1）B （ 1，+） C （， 2）（ 0， +）D （， 1）（ 1，+） 【分析】 将变量 x0按分段函数的

11、范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将 满足的条件进行合并 【解答】 解：当 x00 时，则 x0 1， 当 x00 时，则 x01， 故 x0的取值范围是（，1）（ 1，+） ， 故选： D 【点评】 本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数 不等式的解法，属于常规题 5 （ 5 分） O 是平面上一定点，A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 第 7 页（共 21 页） ，0，+） ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的（） A外心B内心C重心D垂心 【分析】 先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+ 的方向与 BAC 的角平分线一致，

12、再由 可得到 （+） ，可得答案 【解答】 解：、分别表示向量、方向上的单位向量 +的方向与 BAC 的角平分线一致 又， （+） 向量的方向与 BAC 的角平分线一致 一定通过ABC 的内心 故选： B 【点评】 本题主要考查向量的线性运算和几何意义属中档题 6 （ 5 分）函数，x （1，+）的反函数为（） A，x （0，+） B， x （0，+） C， x （， 0） D，x （， 0） 【分析】 本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的 第 8 页（共 21 页） 值域等函数知识和方法； 将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x （1，+）求出原函数的值

13、 域，即为反函数的定义域 【解答】 解：由已知，解 x 得， 令， 当 x （1，+）时， m （1，+） ， 则， 函数， x （1，+）的反函数为，x （ 0，+） 故选： B 【点评】 这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注 意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x （1，+）值域 的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得 7（5 分） 棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心， 以这些线段为棱的八面体的体积为（） ABCD 【分析】 画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积 【解答】 解：画出图就可以了，这个八面体

14、是有两个四棱锥底面合在一起组成的 一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为， 所以八面体的体积为： 故选： C 【点评】 本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力， 体积的计算公式，考查转化思想， 是基础题 第 9 页（共 21 页） 8 （ 5 分）设 a0，f（x） ax 2+bx+c，曲线 yf（x）在点 P（ x0，f（x0） ）处切线的倾斜 角的取值范围为0，则 P 到曲线 yf（x）对称轴距离的取值范围为（） A0，B0，C0，|D0，| 【分析】 先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围 【解答】 解：过P（x0，f（x0） ）的切线的倾斜角的取值范

15、围是0， f（ x0） 2ax0+b 0，1， P 到曲线 yf（x）对称轴x的距离 dx0（） x0+ x0 ， d x0+ 0， 故选： B 【点评】 本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心 9 （ 5 分）已知方程（x 22x+m） （x22x+n） 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列， 则|mn|等于（） A1BCD 【分析】 设 4 个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和 x3+x4的值，进而根据等差 数列的性质，当m+np+q 时， am+anap+aq设 x1为第一项， x2必为第 4 项，可得数 列，进而求得m 和 n，则答案可得 【解答

16、】 解：设 4 个根分别为x1、x2、x3、x4， 则 x1+x22， x3+x42， 由等差数列的性质，当m+np+q 时， am+anap+aq 设 x1为第一项， x2必为第 4 项，可得数列为， m，n |mn| 故选： C 【点评】 本题主要考查了等差数列的性质解题的关键是运用了等差数列当m+np+q 时， am+anap+aq的性质 10 （5 分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0） ，直线 yx1 与其相交于M、 第 10 页（共 21 页） N 两点， MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（） A1B1 C 1D1 【分析】 先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方

17、程组，经消元得二元一次方程， 再根据韦达定理及MN 中点的横坐标可得a、b 的一个方程，又双曲线中有c2a2+b2， 则另得 a、b 的一个方程，最后解a、b 的方程组即得双曲线方程 【解答】 解：设双曲线方程为 1 将 yx1 代入 1，整理得（ b 2a2）x2+2a2xa2a2b20 由韦达定理得x1+x2，则 又 c2a2+b27，解得 a2 2，b25， 所以双曲线的方程是 故选： D 【点评】 本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等 11 （5 分）已知长方形的四个项点A（0，0） ，B（ 2，0） ， C（2，1）和 D（0，1） ，一质点 从 AB

18、的中点 P0沿与 AB 夹角为 的方向射到BC 上的点 P1后，依次反射到CDDA 和 AB 上的点 P2 P3和 P4（入射角等于反射角） ，设 P4坐标为（ x4，0） ，若 1x42，则 tan的取值范围是（） A （，1）B （，）C （，）D （，） 【分析】先画草图， 帮助理解， 取 BC 上的点 P1为中点，则 P4和中点 P0重合，tan ， 用排除法解答 【解答】 解：考虑由P0射到 BC 的中点上，这样依次反射最终回到P0， 此时容易求出tan ，由题设条件知，1x42， 第 11 页（共 21 页） 则 tan ，排除 ABD， 故选： C 【点评】 由于是选择题，因而可

19、以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判 定答案 12 （5 分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A3B4C3D6 【分析】 本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶 点在同一球面上， 可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球 的直径，即球的半径R，代入球的表面积公式，S球4 R2，即可得到答案 【解答】 解：借助立体几何的两个熟知的结论： （1）一个正方体可以内接一个正四面体； （2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径 则球的半径R， 球的表面积为3 ， 故选： A 【点评】 棱长

20、为a 的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对 角线长a 二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分 16 分） 13 （4 分）在的展开式中，x 3 的系数是（用数字作答） 【分析】 首先根据题意，写出的二项展开式，可得9 2r3，解可得r3， 将其代入二项展开式，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，对于， 有 Tr+1C99 r?x9r? （ ） r（ ） r?C 9 9r?x92r， 令 92r3，可得 r 3， 当 r3 时，有 T4x3， 故答案 【点评】 本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别 第 12 页（共 21 页） 14 （4 分）某公司生

21、产三种型号的轿车，产量分别为1200 辆、 6000 辆和 2000 辆，为检验 该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46 辆进行检验， 这三种型号的轿车依次应 抽取6辆、30辆、10辆 【分析】 由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的 数目 【解答】 解：因总轿车数为9200 辆，而抽取46 辆进行检验，抽样比例为， 而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例， 故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6 辆、 30 辆、 10 辆 故答案为： 6，30， 10 【点评】 本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定 的比例样本容量

22、和总体容量的比值，在各层中进行抽取 15 （4 分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图） 现要栽种4 种不 同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120种 （以数字作答） 【分析】 由题意来看6 部分种 4 种颜色的花，又从图形看知必有2 组同颜色的花，从同 颜色的花入手分类求 与 同色，则 也同色或 也同色， 与 同色，则 或 同色， 与 且 与 同色，根据分类计数原理得到结果 【解答】 解：从题意来看6 部分种 4 种颜色的花， 又从图形看知必有2 组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 （1） 与 同色，则 也同色或 也同色， 所以

23、共有N143221 48 种； （2） 与 同色，则 或 同色， 所以共有N243221 48 种； （3） 与 且 与 同色，则共有N343 2124 种 共有 NN1+N2+N3 48+48+24120 种 故答案为： 120 第 13 页（共 21 页） 【点评】 这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D 四色，先 安排 1，2，3 有 A43种不同的栽法， 不妨设 1，2，3 已分别栽种A，B， C，则 4， 5，6 栽种方法共5 种， 由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理，不同栽种方法有NA435120 16 （4 分）对于四面体ABCD，给出下列四个命题 若

24、 ABAC，BDCD，则 BCAD ； 若 ABCD，ACBD，则 BCAD ； 若 ABAC，BDCD，则 BCAD ； 若 ABCD，BD AC，则 BCAD 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【分析】 证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直 的证明可转借化证明BC面 AHD 的证明可转化为证垂心，然后再证明BC面 AED 来证明 BCAD 条件 下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对 【解答】 证明：如图 对于 取 BC 的中点 H，连接 AH 与 DH，可证得BC面 AHD ，进而可得BCAD，故 对； 对于 条件不足备，证明不出结论； 对

25、于 条件不足备，证明不出结论； 对于 作 AE面 BCD 于 E，连接 BE 可得 BE CD，同理可得CEBD，证得 E 是垂 心，则可得出DEBC，进而可证得BC面 AED，即可证出BCAD 综上知 正确，故应填 第 14 页（共 21 页） 【点评】 本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是 一个常用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明， 三、解答题（共6 小题，满分74 分） 17 （12 分）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验 （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率（精确到 0.001） 【

26、分析】（ 1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据PP（ A?B? ）+P（A?C）+P （?B?C） ，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解 （2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P P（A? ?）+P（?B?）+P（? ?C）+P（? ） ，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解也可 以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P1P（A?B?C） +P（A?B? ） +P（A? ? C）+P（?B?C）进行求解 【解答】 解：设三种产品各抽取一件， 抽到合格产品的事件分别为A、B 和 C （） P（A） 0.90，P（B） P（C） 0.95 P0.10，P

27、P0.05 因为事件A，B，C 相互独立， 恰有一件不合格的概率为 P（A?B? ）+P（A?C）+P（?B?C） P（A） ?P（B） ?P（）+P（ A） ?P（） ?P（C）+P（） ?P（B） ?P（C） 20.900.950.05+0.100.950.950.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176； （）解法一：至少有两件不合格的概率为 P（A? ）+P（?B? ）+P（? ?C）+P（? ?） 第 15 页（共 21 页） 0.900.052+20.100.050.95+0.100.052 0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012 解法二：三件产品都合格的概率为 P

28、（A?B?C） P（A） ?P（B） ?P（C） 0.900.952 0.812 由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176， 所以至少有两件不合格的概率为 1 P（A?B?C）+0.176 1（ 0.812+0.176） 0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012 【点评】 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要 想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分 几步） ，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解 18 （12 分）已知函数f（x） sin（x+） （ 0，0 ）是 R 上的偶函数，其图象关 于点对称，且在区间上是

29、单调函数，求和 的值 【分析】 由f（x）是偶函数可得? 的值，图象关于点对称可得函数关系 ，可得 的可能取值，结合单调函数可确定 的值 【解答】 解：由 f（ x）是偶函数，得f（ x） f（x） ， 即 sin（ x+） sin（x+ ） ， 所以 cossinxcos sinx， 对任意 x 都成立，且w0， 所以得 cos0 依题设 0 ，所以解得 ， 由 f（x）的图象关于点M 对称， 得， 第 16 页（共 21 页） 取 x0，得 f（） sin（） cos， f（） sin（） cos， cos0， 又 w0，得+k ， k0，1，2，3， （2k+1） ，k0， 1，2， 当

30、 k0 时， ，f（x） sin（）在 0，上是减函数，满足题意； 当 k1 时， 2，f（x） sin（ 2x+） cos2x，在 0，上是减函数，满足题意； 当 k2 时， ，f（x） sin（x+）在 0，上不是单调函数； 所以，综合得 或 2 【点评】 本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和 推理计算能力 19 （12 分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB90，侧 棱 AA12，D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重 心 G （）求A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果

31、用反三角函数值表示） ； （）求点A1到平面 AED 的距离 【分析】（1）连接 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，易证EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角，设F 为 AB 中点，连接EF、 FC，在三角形EBG 中求出此角； （2）连接 A1D，有 ，建立等量关系，求出点A1到平面 AED 的距离 即可 第 17 页（共 21 页） 【解答】 解： （）连接BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影， 即 EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角 设 F 为 AB 中点，连接EF、FC， D，E 分别是 CC1，A1B 的中点， 又 DC平面 ABC， CDEF

32、 为矩形，连接DE， G 是 ADB 的重心， G DF ，在直角三角形EFD 中， EF 2FG?FD FD 2， EF1， FD 于是 ED，EG FC，CD1 AB2，A1B2 ，EB， A1B 与平面 ABD 所成的角是 arcsin； （）连接A1D，有 ED AB，EDEF，又 EFABF， ED平面 A1AB，设 A1到平面 AED 的距离为h， 则， ， ， 即 A1到平面 AED 的距离为 【点评】 本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理 运算能力 20 （12 分）已知常数a0，向量（ 0， a） ，（ 1，0） ，经过原点O 以+ 为方向 第

33、 18 页（共 21 页） 向量的直线与经过定点A （0，a）以2 为方向向量的直线相交于点P，其中 R试 问：是否存在两个定点E、F，使得 |PE|+|PF|为定值若存在，求出E、F 的坐标；若不 存在，说明理由 【分析】 根据和，求得+ 和2 进而可得直线OP 和 AP 的方程，消去参数 ， 得点 P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x 和 y 的方程，进而看当时， 方程为圆不符合题意；当时和当时， P 的轨迹为椭圆符合两定点 【解答】 解：（ 0，a） ，（ 1，0） ， + （ ，a） ，2 （ 1， 2 a） 因此，直线OP 和 AP 的方程分别为 yax 和 y a 2 a

34、x 消去参数 ，得点 P（x，y）的坐标满足方程y（ya） 2a2x2 整理得 因为 a0，所以得： （i）当时，方程 是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和 F； （ ii ） 当时 ， 方 程 表 示 椭 圆 ， 焦 点和 为合乎题意的两个定点； （ iii ） 当时 ， 方 程 也 表 示 椭 圆 ， 焦 点和 为合乎题意的两个定点 【点评】 本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利 用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力 21 （12 分）已知a0，n 为正整数 （）设y（ xa） n，证明 y n（xa）n1； （）设 fn

35、（x） xn（xa）n，对任意 na，证明 fn+1（ n+1）（ n+1）fn（n） 【分析】（I）这里用导数的定义证明 （II）我们易得当xa0 时， fn（x） xn（ xa）n是关于 x 的增函数，且na 时， 第 19 页（共 21 页） 有： （ n+1） n（ n+1a）nnn（ n a）n，求出 f n+1（n+1）后，用不等式的性质即 可得到结论 【解答】 解： （）解：本题可以对y（ xa）n展开后“逐项”求导证明；这里用导数 的定义证明：yn（xa） n1 （）证明：fn（ x） nxn 1n（x a）n1nxn1（ xa）n1， a0，x0， fn（ x） 0， fn（

36、x）在（ 0， +）单调递增， 当 na 时，有：（n+1）n（ n+1a） nnn（ na）n， fn+1（ x）（ n+1）xn（ x+a）n， fn+1（ n+1）（ n+1）（ n+1） n （ n+1a） n（ n+1）nn（ na）n（ n+1） n n（ na） （ na）n1， （ n+1）fn（n）（ n+1）nnn 1（ na）n1（ n+1）nnn（na）n1， （ n+2） n， fn+1（n+1）（ n+1）fn（n） ， 【点评】 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求 出导函数的解析式，是解答问题的关键 22 （14 分）设 a0，如

37、图，已知直线l：yax 及曲线 C：y x 2，C 上的点 Q1 的横坐标为 a1（0 a1a） 从 C 上的点 Qn（ n1）作直线平行于 x 轴，交直线l 于点 Pn+1，再从点 Pn+1作直线平行于 y 轴，交曲线C 于点 Qn+1Qn（n1，2，3，）的横坐标构成数列 an （）试求an+1与 an的关系，并求an 的通项公式； （）当时，证明； （）当a1 时，证明 第 20 页（共 21 页） 【分析】（）根据Qn，Pn+1，Qn+1的坐标进而求得，进而通过公式法求得 an的通项公式 （）把a 1 代入，根据可推断，由于当k 1时，进而可知 （）由（）知，当a1 时，代入中，进而根据 证明原式 【解答】 （）解： ， ， （）证明：由a1 知 an+1an2， ， 当 k1 时， 第 21 页（共 21 页） ； （）证明：由（）知，当a1 时， 因此 【点评】 本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析 问题和解决问题的能力，