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1、绝密启用前 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间120 分钟 第卷（选择题共 50 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()sin( 2 1 cossinlccS)( 2 1 台侧 )sin()sin(
2、2 1 sincos其中c、c分别表示上、下底面 )cos()cos( 2 1 coscos周长，l表示斜高或母线长. )cos()cos( 2 1 sinsin球 体 的 体 积 公 式 ： 3 3 4 RV球 ，其中 R 表示球的半径 . 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的. 1设集合BAxxBxxA则|,0log|,01| 2 2 等于（） A 1|xxB0|xx C 1|xxD 11|xxx或 2设 5. 1 3 44.0 2 9.0 1 ) 2 1 (,8,4yyy，则（） Ay3y1y2By2y1y3Cy1y
3、2y3Dy1y3y2 3 “ 2 3 2c o s ”是“ Zkk, 12 5 2 ”的（） A必要非充分条件B充分非必要条件 C充分必要条件D既非充分又非必要条件 4已知 ，是平面， m，n 是直线 .下列命题中不正确的是 （） A若 m ，=n，则 m/n B若 mn，=n，则 n C若 m ，m，则 D若 m，m，则 5如图，直线022:yxl过椭圆的左焦点F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为（） A 5 1 B 5 2 C 5 5 D 5 52 6若Cz且|22|, 1|22|iziz则的最小值是（） A2 B3 C4 D5 7如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面
4、面积的比为（） A2B 2 3 C 3 32 D 2 1 8 若数列 n a的通项公式是 ,2, 1, 2 3) 1(3 na nnn n ， 则 )(lim 21n n aaa 等于 （） A 24 1 B 8 1 C 6 1 D 2 1 9从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（） A24 种B18 种C12 种D6 种 10某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的 编号分别为1，2， k，规定：同意按“1” ，不同意（含弃权）按“0” ，令 .,0 ., 1 号同学
5、当选号同学不同意第第 号同学当选号同学同意第第 ji ji aij 其中 i=1，2，k，且 j=1，2，k，则同时同意第1，2 号同学当选的人数为（） A kk aaaaaa 2222111211 B 2221212111kk aaaaaa C 2122211211kka aaaaaD kka aaaaa 2122122111 第卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. 11已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 12函数xtgxhxxgxxf2)(|,|2)(),1lg()( 2 中，是偶函数 . 13以
6、双曲线1 916 22 yx 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14将长度为1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积 之和最小，正方形的周长应为 三、解答题：本大题共6小题，共84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分13 分） 已知函数 .sincossin2cos)( 44 xxxxxf （）求)(xf的最小正周期； （）求)(xf的最大值、最小值. 16 （本小题满分13 分） 已知数列 n a是等差数列，且.12,2 3211 aaaa （）求数列 n a的通项公式； （）令).(3Rxab n nn 求数列 n b前
7、 n 项和的公式 . 17 （本小题满分15 分） 如图，正三棱柱ABC A1B1C1中， D 是 BC 的中点， AB= a. （）求证：直线A1DB1C1； （）求点D 到平面 ACC1的距离； （）判断A1B 与平面 ADC 的位置关系， 并证明你的结论. C A B C1 A1 B1 D 18 （本小题满分15 分） 如图， A1，A 为椭圆的两个顶点， F1，F2为椭圆的两个焦点. （）写出椭圆的方程及准线方程； （）过线段OA 上异于 O，A 的任一点K 作 OA 的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线 A1P 与 AP1交于点 M. 求证：点M 在双曲线1 925 22 yx 上.
8、B1 x y (5,0)(4,0)(-4,0)(-5,0) O A2 F1F2 B2 A1 19 （本小题满分14 分） 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C 三点处，且AB=AC=13km ，BC=10km. 今计划合建 一个中心医院， 为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处， （建立坐标系 如图） （）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小， 点 P 应位于何处？ （）若希望点P 到三镇的最远距离为最小， 点 P 应位于何处？ x y B(-b,0) P C(b,0) O A 20 （本小题满分14 分） 设)(xfy是定义在区间1 , 1上的函数，且满足条件： （i）;0)1
9、()1(ff （ii）对任意的. |)()(|,1 , 1,vuvfufvu都有 （）证明：对任意的;1)(1,1 , 1xxfxx都有 （）判断函数 1 ,0,1 )0 , 1,1 )( xx xx xg是否满足题设条件； （）在区间 1， 1上是否存在满足题设条件的函数)(xfy，且使得对任意的 .|)()(|,1 , 1,vuvfufvu都有 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 绝密启用前 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类） （北京卷）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 50 分. 1A 2D 3A 4A 5D 6B
10、7C 8B 9B 10C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 113 12 )();(xgxf 13 )4(36 2 xy 14 4 4 三、解答题：本大题共6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分 13 分. （）解：因为xxxxxf 44 sincossin2cos)( ) 4 2cos(22sin2cos 2sin)sin)(cossin(cos 2222 xxx xxxxx 所以)(xf的最小正周期 . 2 2 T （）解：因为),
11、 4 2cos(2)(xxf所以)(xf的最大值为2,最小值为2 16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分 13 分. （）解：设数列 n a公差为d，则,1233 1321 daaaa 又.2,2 1 da 所以 .2nan （）解：由 ,323 nn nn nab得 ,323)22(3432 12nn nnnS .323) 22(34323 132nn n nnS 将式减去式，得 .32) 13(332)333( 22 112nnnn n nnS 所以 .3 2 )31( 3 1n n nnS 17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱
12、的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力 . 满分 15 分. （）证法一：点D 是正 ABC 中 BC 边的中点， ADBC， 又 A1A底面 ABC ， A1DBC ， BCB1C1， A1DB1C1. 证法二：连结A1C1，则 A1C=A1B. 点 D 是正 A1CB 的底边中BC 的中点， A1DBC ， BCB1C1， A1DB1C1. （）解法一：作DEAC 于 E， 平面 ACC1平面 ABC， DE平面 ACC1于 E，即 DE 的长为点 D 到平面 ACC1的 距离 . 在 RtADC 中， AC=2CD= . 2 3 ,aADa 所求的距离 . 4 3
13、 a AC ADCD DE C A B C1 A1 B1 D E 解法二：设点D 到平面 ACC1的距离为 x， 体积 111 ACCDACDC VV . 2 1 3 1 8 3 3 1 11 2 xCCaCCa , 4 3 ax 即点 D 到平面 ACC1的距离为 a 4 3 . （）答：直线A1B/ 平面 ADC1，证明如下： 证法一：如图1，连结 A1C 交 AC1于 F，则 F 为 A1C 的中点， D 是 BC 的中点， DFA1B， 又 DF平面 ADC1，A1B平面 ADC1， A1B平面 ADC1. 证法二：如图2,取 C1B1的中点 D1，则 AD A1D1，C1DD1B，
14、AD 平面 A1D1B，且 C1D平面 A1D1B， 平面 ADC1平面 A1D1B， A1B 平面 A1D1B， A1B平面 ADC1. 图（ 2） 图（ 1） F C A B C1 A1 B1B1 A1 C1 B A CDD D1 18本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分 15 分. （）解：由图可知, . 3ab, 4,5 22 cca所以 该椭圆的方程为 , 1 925 22 yx 准线方程为 . 4 25 x B1 x y (5,0) (0,3) (0,-3) (-5,0) K M P O A2 B2 A1 P1 （）证明：设K 点坐标 )0
15、,( 0 x ,点 P、P1的坐标分别记为),(),( 0000 yxyx ， 其中 ,50 0 x 则 , 1 925 2 0 2 0 yx 直线 A1P，P1A 的方程分别为： ),5()5( 00 xyyx).5()5( 00 xyyx 式除以式得 , 5 5 5 5 0 0 x x x x 化简上式得, 25 0 x x代入式得, 5 0 0 x y y 于是，直线A1P 与 AP1的交点 M 的坐标为 ). 5 , 25 ( 0 0 0 x y x 因为 .1) 25 1( 2525 ) 5 ( 9 1 ) 25 ( 25 1 2 0 2 0 2 0 2 0 02 0 x xxx y
16、 x 所以，直线A1P 与 AP1的交点 M 在双曲线 上1 925 22 yx . 19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （）解：设P 的坐标为（ 0，y） ，则 P 至三镇距离的平方和为 .146)4(3)12()25(2)( 222 yyyyf 所以，当4y时，函数)(yf取得最小值 . 答:点 P 的坐标是).4,0( （）解法一：P至三镇的最远距离为 . |12|25|,12| |,12|25,25 )( 2 22 yyy yyy xg 当 当 由|12|25 2 yy解得, 24 119 y 记 , 24 119 *
17、y 于是 .|,12| ,25 )( * *2 yyy yyy xg 当 当 因为 2 25y 在 ), * y上是增函数，而y,(-|12| * 在y 上是减函数 . 所以 * yy 时,函数 )(yg 取得最小值 . 答:点 P 的坐标是 ); 24 119 , 0( 解法二： P至三镇的最远距离为 . |12|25|,12| |,12|25,25 )( 2 22 yyy yyy xg 当 当 由 |12|25 2 yy解得, 24 119 y 记 , 24 119 * y 于是 .|,12| ,25 )( * *2 yyy yyy xg 当 当 函数)(ygx的图象如图)(a，因此， 当
18、 * yy时，函数)(yg取得最小值 .答:点 P 的坐标是); 24 119 ,0( 解法三：因为在ABC 中， AB=AC=13, 且， (b)., 4 ,512 22 如图ACBOCOCAC 所以 ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为) 24 119 ,0(, 且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上，记 P 为 P1；当 P 在射线 MA 的反向延长线上，记P为 P2， 这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A，且 P1CMC，P2AMA ，所以点 P 与外心 M 重合时， P到三镇的最远距离最小. 答:点 P 的坐标是); 24 119 ,0(
19、 20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （）证明：由题设条件可知，当 1 , 1x 时，有 ,1|1|)1 ()(|)(|xxfxfxf 即.1)(1xxfx （）答：函数)(xg满足题设条件 .验证如下：).1 (0) 1(gg 对任意的 1 , 1,vu， 当 |;|)1()1( | )()(|,0,1,uvuvuvgugv有时 当|;|)()(|,01- ,uvuvgugv同理有时 当0,u v不妨设,1 , 0(),0, 1vu 有. |)1()1(|)()(|uvvuvuvgug 所以，函数 )(xg 满足题设条件 . （）答：这样满足的函数不存在.理由如下： 假设存在函数)(xf满足条件，则由,0)1 ()1(ff得,0|)1()1(|ff 由于对任意的 1 ,1,vu，都有. |)()(|vuvfuf 所以，.2|) 1(1|)1()1(|ff与矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.